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文档简介
2.3.1 双曲线及其标准方程课堂探究探究一 双曲线的定义及应用若F1,F2分别表示双曲线的左、右焦点,点P满足|PF1|PF2|2a,则点P在双曲线的右支上;若点P满足|PF2|PF1|2a,则点P在双曲线的左支上,反之亦成立如果遇到动点到两定点的距离之差的问题,应联想到利用双曲线的定义来解,但要注意x的范围【典型例题1】 已知双曲线1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得F1PF290,求F1PF2的面积思路分析:利用双曲线的定义,结合勾股定理来求解解:由1,知a3,b4,所以c5.由双曲线定义及勾股定理,得|PF1|PF2|6,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2102100,所以(|PF1|PF2|)21002|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|32.所以|PF1|PF2|16.探究二 求双曲线的标准方程解决求双曲线的标准方程问题,主要关注三个问题:(1)注意焦点的位置,以确定双曲线标准方程的类型;(2)求方程的关键是确定a2,b2的值;(3)充分利用a2b2c2.【典型例题2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点;(2)焦距为2,经过点(5,2),且焦点在x轴上;(3)与双曲线1有相同的焦点,且经过点(3,2);(4)过点P,Q且焦点在坐标轴上思路分析:先根据条件确定焦点的位置再设出方程,确定参数的值解:(1)依题意,双曲线的焦点在x轴上,且a,c2,所以b2c2a25.所以双曲线的标准方程为1.(2)因为焦点在x轴上,且c,所以设方程为1.又因为过点(5,2),所以1.解得a25或a230(舍去)所以方程为y21.(3)设所求双曲线方程为1(416)因为双曲线过点(3,2),所以1,解得4或14(舍去)所以所求双曲线方程为1.(4)设双曲线方程为1(mn0)因为P,Q两点在双曲线上,所以解得所以所求双曲线方程为1.点评:在(3)中,运用了与双曲线1有公共焦点的双曲线系方程1后,便可迅速求解(4)中,焦点位置无法判断,可把双曲线方程设为1(AB0)或设为mx2ny21(mn0),可避免分类讨论探究三 易错辨析易错点忽略双曲线方程中含有的字母的符号【典型例题3】 已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3),求k的值错解:将双曲线方程化为标准方程为1.由题意知焦点在y轴上,所以a2,b2,所以c3,即9,所以k.错因分析:上述解法有两处错误:一是a2,b2确定错误,应该是a2,b2;二是a,b,c的关系式用错了,在双曲线中应为c2a2b2.正解:将双曲线方程化为k
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