利息理论(金融数学)

利息理论InterestTheory讲授 南京财经大学曾卫 使用教材 21世纪保险精算系列教材金融数学孟生旺中国人民大学出版社 课程概述 利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进行定量分析的理论 它是精算学的主要基础之一 也是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础 利息理论 是金融学 保险等专业的一门基础课 它要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应用问题 本课程由理论部分和应用部分两部分组成 理论部分介绍了利息理论的主要内容 包括利率 贴现率 利息力 贴现函数和累积函数等利息的度量工具 并讨论了各种年金的计算等 应用部分探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用 包括收益率 债务偿还 证券价值 衍生工具 利率风险 利率期限结构等内容 这门课程所涉及的内容以及所提供的方法具有极为广泛的适用性 其应用范围已远远超出了保险精算领域 在投资分析 资产定价 财务管理 理财规划等方面都有很大的应用价值 课程简介 利息理论 又称复利数学 它是以经济理论为基础 应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法 美国耶鲁大学著名经济理论家欧文 费雪 IrvingFisher 在1930年出版的 利息理论 TheTheoryofInterest 1930 标志着利息理论学科的诞生 费雪 I Fisher 在其 利息理论 中对利息的概念刻划得淋漓尽致 任何物品都是不同程度的耐用品 耐用品能在未来某个时段内提供一连串的服务 而其全部价值的折现之和 构成这物品的现值 这个观点解释了人们为什么会悉心照顾一桶十年后才开的红酒 为什么要盖一所能用上两百年的房子 随着社会经济的发展 利息理论已经渗透到保险精算 财务分析 证券投资 资产定价 金融风险管理等各个领域 课程简介 中华人民共和国保险法 2009年修订 第八十五条规定 保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员 建立精算报告制度 保险公司应当聘用专业人员 建立合规报告制度 中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格考试 当年有43人获得中国精算师资格 中国精算师考试科目共有19门课 其中准精算师有9门课 精算师10门课 北美精算学会 SocietyofActuaries SOA 的精算师资格考试课程是为寿险精算人员所设计的 其考试分为两部分 准精算师课程和精算师课程 2000年学会开始实行新的考试制度 一共包括8门课程 利息理论是中国准精算师和北美精算学会准精算师的必考科目 也是许多财经类大学保险精算专业研究生入学考试的必考科目 中国精算师资格考试 中国精算师资格考试 金融数学 考试形式 选择题考试要求 本科目要求考生具有较好的数学知识背景 通过学习本科目 考生应该熟练掌握利息理论 利率期限结构与随机利率模型 金融衍生工具定价理论 投资组合理论的主要内容 在了解基本概念 基本理论的基础上 掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧 考试内容 结构 A 利息理论 分数比例约为30 1 利息的基本概念 分数比例约为4 2 年金 分数比例约为6 3 收益率 分数比例约为6 4 债务偿还 分数比例约为4 5 债券及其定价理论 分数比例约为10 B 利率期限结构与随机利率模型 分数比例约为16 1 利率期限结构理论 分数比例约为10 2 随机利率模型 分数比例约为6 C 金融衍生工具定价理论 分数比例约为26 1 金融衍生工具介绍 分数比例约为16 2 金融衍生工具定价理论 分数比例约为10 D 投资理论 分数比例约为28 1 投资组合理论 分数比例约为12 2 资本资产定价 CAPM 与套利定价 APT 理论 分数比例约为16 中国精算师资格考试 世界主要国家的保险精算资格考试 北美精算学会 世界主要国家的保险精算资格考试 英国精算学会 利息理论在保险专业课程体系中的地位 教学目的 在保险专业开设 利息理论 这门课 其目的是为学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基础 同时也为学习金融学 保险学的其他相关课程提供理论和方法支撑 学习这门课程 要求掌握它的基本理论 基本方法和基本技能 通过对本课程的学习 能够比较完整地掌握利息理论的基本理论框架和基本方法体系 并将它们运用于现代保险 银行 投资分析 财务管理 理财规划等领域的实务工作中去 教材和参考书目 教材 孟生旺 金融数学 第二版 中国人民大学出版社 2009年 参考书目 1 美 S G Kellison 利息理论 上海科学技术出版社 1995年版 2 刘占国 利息理论 南开大学出版社 2000年版 3 李晓林 利息理论 经济科学出版社 1999年版 4 孟生旺袁卫 利息理论及其应用 中国人民大学出版社 2001年版 5 熊福生 利息理论 武汉大学出版社 2004年版 6 张连增 利息理论 南开大学出版社 2005年版 7 张运刚 利息理论与应用 西南财经大学出版社 2006年版 第1章利息的度量 内容提要 利息是借款人使用他人资金所需支付的代价 或贷款人出让资金所获得的报酬 对利息恰当的度量是利息理论应用于金融和保险领域的基础 度量利息与计算利息的方式 单利 复利 连续时间复利 有关 任何时刻资金的累积值依赖于其所经历的时间 不同时刻资金价值是不能直接比较的 须按一定的计算 折现 累积 把不同时刻的资金价值换算到同一时刻进行比较 本章要解决以下问题 复利和单利有何区别 复利产生的利息是否总大于单利产生的利息 如果复利在一年内有多次利息结转 甚至按时间连续结转利息时 复利的利息会有何变化 贴现率和利率有何关系 实际利率与名义利率有何关系 实际贴现率和名义贴现率有何关系 关键词 累积函数 金额函数 单利 复利 实际利率 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息力 贴现力 累积因子 贴现因子 第1章利息的度量 教学要求 本章的重点是围绕利息的度量和利息问题的求解这两大问题展开讨论 要求掌握有关利息的各种度量工具以及与此相联系的累积函数和贴现函数 能够熟练地运算与利息有关的一些问题 特别要求重点掌握与复利有关的计算问题 要求对利息的各种度量工具之间的相互关系比较熟悉 教学内容 1 1累积函数与实际利率1 2单利1 3复利1 4累积函数的证明1 5贴现函数1 6贴现率1 7名义利率1 8名义贴现率1 9利息力1 10贴现力1 11利率概念辨析 1 1累积函数与实际利率 关于利息的几个基本概念本金 principal 初始投资的资本金额 累积值 accumulatedvalue 过一段时期后收到的总金额 利息 interest 累积值与本金之间的差额 1 1 1累积函数 Accumulationfunction 累积函数a t 及其性质累积函数 0时刻的1单位货币到t时刻时的累积值 记为a t 累积函数a t 也称为t期累积因子 因为它是单位本金在t期末的累积值 性质 1 a 0 1 2 a t 通常是时间t的递增函数 3 如果按时间连续结转利息 a t 是时间t的连续函数 如果间断结转利息 a t 为间断函数 若在每期末结转利息 则是以结转利息时刻为间断点的阶梯函数 注 一般假设利息是连续产生的 1 1累积函数与实际利率 1 1 1累积函数金额函数 Amountfunction 当原始投资不是1个单位的本金 而是k个单位时 则把k个单位本金的原始投资在时刻t的累积值记为A t 称为金额函数 也称为总额函数 总量函数 金额函数 0时刻的k单位货币到t时刻时的累积值 记为A t 性质 1 A 0 k 2 A t k a t k 0 t 0 3 如果按时间连续结转利息 A t 为关于时间t的连续函数 金额函数和累积函数可以互相表示 A t A 0 a t 1 2 1 1累积函数与实际利率 1 1 1累积函数利息 interest 的数学定义金额函数A t 在时间段 t1 t2 内所获得的利息金额为I t1 t2 A t2 A t1 从投资之日算起 在n个时期所获得的利息金额记为I n A n A 0 A 0 a n 1 n 1 1 3 其中A s A s 1 表示金额函数在时间段 s 1 s 上产生的利息 注 利息金额I n 在整个时期内产生 但在最后时刻实现 支付 获取 1 1累积函数与实际利率 1 1 2实际利率 effectiverateofinterest 利息率的基本含义利息率 是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比率 简称为利率 利息率的具体形式年利率 用本金的 表示 月利率 用本金的 表示 日利率 用本金的 0表示 实际利率的概念某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比 实际利率常用字母i表示 实际利率与名义利率的根本区别用实际利率表示的利息只在给定的时期期末支付一次 而名义利率计算的利息在一期内可能进行多次支付 1 1累积函数与实际利率 1 1 2实际利率实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额 累积函数a t 必然通过两点 0 1 和 1 1 i 实际利率的表示形式单期 单阶段 实际利率计算公式 多期 多阶段 实际利率计算公式 第n个度量期 时间段 n 1 n 实际利率相关的关系式 A n A 0 1 i1 1 i2 1 in a n 1 i1 1 i2 1 in 注 若无特别说明 实际利率是指年利率 因此实际利率通常用 表示 1 2单利 simpleinterest 1 2 1单利的定义单利的概念 只有本金产生利息 投资期内任何时期已经产生的利息在后期不再计算利息 单利条件下的累积函数 a t 1 it t 0 1 2 1 7 1 2 2单利与实际利率的关系单利率为常数i时 实际利率it是时间t的单调减函数 1 2 3常数单利率下的若干结论在常数单利率i下 累积函数a t 1 it金额函数A t A 0 a t A 0 1 it A 0 A 0 it利息总额I t A t A 0 A 0 it 是时间t的单调增函数 每期利息额A 0 i 常数 1 2单利 simpleinterest 单利的应用 投资时间t的确定 1 严格单利规则 实际 实际 即投资天数按两个日期之间的实际天数计算 每年按实际天数计算 2 精确单利规则 实际 365 即投资天数按两个日期之间的实际天数计算 每年按365天计算 3 银行家规则 banker srule 实际 360 投资天数按两个日期之间的实际天数计算 而每年按360天计算 4 常规单利规则 30 360 在计算投资天数时 每月按30天计算 每年按360天计算 在此规则下 两个给定日期之间的天数可按下述公式计算 360 Y2 Y1 30 M2 M1 D2 D1 其中支取日为Y2年M2月D2日 存入日为Y1年M1月D1日 1 3复利 compoundinterest 1 3 1复利的定义复利的概念复利条件下的累积函数 a t 1 i t t 0 1 2 1 3 1 常数复利率下的若干结论在常数复利率i下 累积函数a t 1 i t金额函数A t A 0 a t A 0 1 i t利息总额I t A t A 0 A 0 1 i t 1 1 3 2复利与实际利率的关系复利率为常数i时 实际利率it等于复利率 it i 1 3复利 compoundinterest 例 如果本金为2000元 年利率为5 分别计算在单利和复利的计息方式下 1 9个月后的累积值 2 2年零3个月后的累积值 解 单利计息方式下 1 2000 1 0 05 0 75 2075 元 2 2000 1 0 05 2 25 2225 元 复利计息方式下 1 2000 1 0 05 0 75 2074 54 元 2 2000 1 0 05 2 25 2232 06 元 注 无论是单利或复利 在使用其累积函数和金额函数进行计算时 时间t的单位要与利率i对应的时间单位一致 如果时期不足1年 则单利的累积值比较大 如果时期超过1年 则复利的累积值比较大 1 3复利 compoundinterest 1 3 3复利与单利的区别基本意义的比较 单利下 只有本金生利息 复利下 本金和已生利息均能生息 实际利率与时间的关系 在常数利率i下 单利条件下的实际利率it是时间t的单调减函数 复利条件下的实际利率it等于常数复利率 与时间无关 累积函数之间的关系 当t 0ort 1时 1 it 1 i t 当0 t 1时 1 it 1 i t 当t 1时 1 it 1 i t 1 it是t的线性函数 1 i t是t的凸函数 利息增长的特征 在同样长时期内 单利利息增长的绝对金额为常数 复利利息增长的相对比率为常数 思考与讨论 1 1 1 累积函数和金额函数各有什么作用 相互之间有什么联系 2 某一段时期的实际利率是指这段时期末得到的利息金额与期末累积值之比吗 3 累积函数a t 的曲线必然通过哪两点 4 复利和单利有何区别 复利产生的利息是否总大于单利产生的利息 5 单利条件下的实际利率it相对于时间t表现出什么特征 复利条件下的实际利率it相对于时间t表现出什么特征 1 4累积函数的证明 1 4 1单利的累积函数单利的性质 单利利息具有可加性 i t s it is t 0 s 0 单利条件下累积函数的性质 a t s a t a s 1单利条件下累积函数的变化率为常数 单利条件下的累积函数 a t 1 it t 0 1 4 2复利的累积函数复利条件下累积函数的性质 复利累积函数具有可积性 1 i t s 1 i t 1 i s t 0 s 0 复利条件下累积函数的单位变化率为常数 复利条件下的累积函数 a t 1 i t t 0 1 5贴现函数 discountfunction 现值 presentvalue 未来的一笔资金在现在的价值 贴现过程和贴现函数的概念为了在t期末得到某个累积值 而在开始时投资的本金额称为该累积值的现值 折现值 显然 t期末的累积值A t 的现值为A 0 由期末累积值求其现值的过程称为贴现 折现 过程 累积和贴现 折现 是互逆的过程 a t 表示1单位的本金在t期末的累积值 而a 1 t 表示为了在t期末得到累积值1 而在开始时投资的本金额 累积函数a t 的倒数a 1 t 称为t期贴现因子或贴现函数 折现函数 特别地 把一期贴现因子a 1 1 简称为折现因子 贴现因子 记为v 1 5贴现函数 discountfunction 贴现函数的常见形式常数单利率下的贴现函数 1 12 常数复利率下的贴现函数 1 13 其中 t 0 是贴现因子 除非特别申明 今后一概用复利计算现值 贴现函数与累积函数的关系期初1元在t时期末的累积值为 1 i t 而t时期末支付1元的现值为vt 1 i t 几个术语 贴现因子 discountfactor v 1 i 1t年贴现因子 t yeardiscountfactor vt累积因子 accumulationfactor 1 i t年累积因子 t yearaccumulationfactor 1 i t 1 6贴现率 1 6 1实际贴现率 effectiverateofdiscountwithcompoundinterest 实际贴现率的定义一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可收回金额 期末累计值 之比 记为d 实际贴现率的表达式 1 14 注 实际利率大于实际贴现率 d i 贴现率是利率的增函数 利率与贴现率的比较利息是在期末收取的 而贴现值 贴现利息 是在期初收取 扣除 的 利率是利息与期初本金的比率 贴现率是贴现值与期末累积值的比率 利率说明了资本在期末获得利息的强度 贴现率说明了资本在期初获得利息的强度 用实际贴现率表示实际利率 1 15 1 6贴现率 例 若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元 同时 一年期储蓄的利率为5 25 如何进行投资选择 存款还是购买债券 解 从贴现的角度看 零息债券的贴现率 d 100 95 100 5 储蓄的贴现率 d i 1 i 5 25 1 5 25 4 988 5 因此投资债券合算 从利息的角度看 零息债券的利率 d 5 1 20 i d 1 d 1 19 5 26 储蓄的利率为5 25 5 26 因此投资债券合算 1 6贴现率 1 6 2实际贴现率与实际利率的一些重要关系重要关系式 d iv 1 16 d 1 v v 1 d 1 17 d iv i 1 d i id i d id 1 20 用实际贴现率表示贴现函数和累积函数a 1 t vt 1 d t 1 18 a t v t 1 d t 1 19 累积函数和贴现函数的有关结论 1 6贴现率 1 6 3单贴现率用单贴现率d表示贴现函数a 1 t 1 dt 0 t 1 d 1 21 有关结论 当单利利率等于单贴现率 i d 时 根据单贴现率计算的现值小于根据单利利率计算的现值 即1 dt 1 it 1 当实际贴现率等于实际利率 d i 时 根据贴现率计算的现值小于根据利率计算的现值 即 1 d t 1 i t 0 t 1时 1 dt 1 d t t 1时 1 dt 1 d t t 0ort 1时 1 dt 1 d t 利息度量问题的求解 利息度量问题的基本变量 1 原始投资额或本金A 0 2 投资时期n 3 利率i 实际利率 4 投资期末的累积值A n 需要求解的相关问题 1 投资本金问题或现值问题 2 投资时期问题或时间问题 3 利率问题 4 累积值问题 价值等式 价值方程 是连接利息度量问题的4个基本变量的重要关系式 是求解以上4个相关问题的基本工具 思考与讨论 1 2 1 累积函数和贴现函数各有什么作用 相互之间有什么联系 2 根据复利利率计算的现值是否总大于根据单利利率计算的现值 3 某一段时期的实际贴现率是指这段时期末得到的利息金额与期末累积值之比吗 实际贴现率与实际利率之间有什么联系 4 贴现率与利率有什么差别 5 累积函数是否只能用利率表示 贴现函数是否只能用贴现率表示 1 7名义利率 nominalrateofinterest 名义利率的定义实际利率 是指在每个度量时期末结转一次利息的利率 名义利率是指在一个度量期内分多次结转利息的利率 定义名义利率的意义定义名义利率的目的是为了给出在不足一年的一个时间区间内的实际利率 名义利率度量了资本在一个小区间内获取利息的能力 名义利率必须和单位度量期内的结转次数 计息期个数 结转利息的时间区间的个数 相联系 年名义利率 月实际利率 12 季度实际利率 4 半年实际利率 2 1 7名义利率 nominalrateofinterest 名义利率的表述 季度的实际利率为3 年名义利率为12 每年结转4次利息 年名义利率为12 每年复利4次 年名义利率为12 每个季度结转一次利息 年名义利率为12 每个季度复利一次 相关术语利息结转期 interestconversionperiod 每月结转一次 convertiblemonthly 每季支付一次 payablequarterly 每半年复利一次 compoundsemiannually 1 7名义利率 nominalrateofinterest 等价的名义利率与实际利率的相互转换 1 22 1 23 注 1 在年名义利率一定的条件下 每年结转利息的次数越多 年实际利率将越大 2 在年实际利率一定的条件下 每年结转利息的次数越多 年名义利率将越小 当mi n 因此 当m 1时 i i 1 i m 当m 1时 i i 1 i m Excel应用 由每年复利m次的年名义利率j计算年实际利率 可以使用EXCEL命令 EFFECT j m 由年实际利率i计算每年复利m次的年名义利率 可以使用EXCEL的命令 NOMINAL i m 每年的利息结转次数小于1时的名义利率 在n个时期支付一次利息的名义利率 即每年结转1 n次利息 可以表示为i 1 n 其中n是大于1的正整数 名义利率i 1 n 是指每n个时期支付一次利息 且每n个时期的实际利率为i 1 n n 例 2年期定期存款的年利率为3 06 其含义为i 1 2 3 06 2年期的实际利率为i 1 2 2 3 06 2 6 12 问题 等价的1年期的实际利率i为多少 1 6 12 1 i 2 i 1 6 12 1 2 1 3 015 存款利率 名义利率和实际利率的比较 注 小于一年时 年实际利率大于年名义利率 超过一年时 年实际利率小于年名义利率 例 假设储蓄业务的年利率如下 如何比较这些利率 问题 1万元可以投资一年 请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款 哪个合算 当3个月期的年利率为多少时 两种投资没有差异 分析 3个月的实际利率为1 80 4 0 45 1年下来的累积值为 1 0 45 4 1 01812 万元 1年期存款的实际利率为2 52 1年下来的累积值为 1 2 52 1 0252 万元 结论 直接投资1年合算 如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款 则应有 由此可得i 4 2 4965 思考题 某人2006年1月1日在银行存入10000元 期限为1年 年利率为3 1月末 银行的1年期存款利率上调了100个基点 请分析此人是否有必要对该笔存款转存 假设活期存款利率不变 为1 1年按360天计算 每月按30天计算 假设情景 2007年1月末需要使用这笔存款 注 定期存款若提前支取 按活期计息 一个基点为0 01 利率调整幅度通常能被9整除 因为一年按360天计息 1年零30天后的累积值 转存 不转存 1 8名义贴现率 nominalannualrateofdiscount 1 8 1名义贴现率的定义名义贴现率的定义实际贴现率 是指在每个度量时期初预收一次贴现值 贴现利息 的贴现率 名义贴现率是指在一个度量期内分多次预收贴现值的贴现率 定义名义贴现率的意义定义名义贴现率的目的是为了度量在不足一年的一个时间区间内的实际贴现率 名义贴现率度量了资本在一个小区间内预收贴现利息的能力 名义贴现率必须和单位度量期内的贴现次数 贴现期个数 预收贴现值的时间区间的个数 相联系 年名义贴现率 月实际贴现率 12 季度实际贴现率 4 半年实际贴现率 2 1 8名义贴现率 等价的名义贴现率与实际贴现率的相互转换 1 24 1 25 注 1 在年名义贴现率一定的条件下 每年预收贴现值的次数越多 年实际贴现率将越小 2 在年实际贴现率一定的条件下 每年预收贴现值的次数越多 年名义贴现率将越大 当m1时 d d 1 d m 1 8名义贴现率 1 8 2名义利率与名义贴现率的关系一般关系 1 27 其中 m为一年结转利息的次数 n为一年贴现的次数 特殊关系 m 1时 n 1时 m n时 1 28 i m d m m n 1时 i d i d 1 8名义贴现率 重要结论 i 1 i d 1 d 当时 i d 当时 i m d n 思考与讨论 1 3 1 为什么要定义名义利率 2 名义利率是否总大于同期的实际利率 3 在年名义贴现率一定的条件下 随着每年贴现次数的增多 年实际贴现率将增大吗 4 当名义利率与名义贴现率等价时 两者哪一个比较大 1 9利息力 forceofinterest 1 9 1利息力的定义利息力利息力 是在某一时点上单位资金的利息 它度量了资本在一个时点上获取利息的能力 利息力 是在确切时点上的利息强度 可以表现为累积函数在时点t的单位变化率 利息力 是在一定时期内利息结转次数趋于无穷大时的名义利率 即连续结转利息时的名义利率 在实际金融业务中 连续复利的利率就是利息力 1 9利息力 forceofinterest 1 9 2利息力与累积函数的关系 1 31 1 9利息力 forceofinterest 1 9 3复利条件下的利息力在复利条件下 a t 1 i t t ln 1 i 与t无关 是一常数利息力 ln 1 i i e 1 累积函数可以表示为 当利息力为常数时 实际利率也是常数 当实际利率为常数时 利息力未必一定是常数 实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v和利息力 之间的换算关系 表1 3 1 9利息力 forceofinterest 1 9 4单利条件下的利息力单利条件下的利息力是时间t的递减函数 复利条件下的利息力与时间t无关 1 10贴现力 forceofdiscount 定义 贴现力是贴现函数在时点t的单位变化率 贴现力与利息力是等价的 复利 复贴现 条件下的常数贴现力 1 11利率概念辨析 1 11 1实际利率和名义利率利息理论中的实际利率和名义利率经济学文献中的实际利率和名义利率及其相互关系实际利率和名义利率 在经济学文献中 所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率 而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率 如果用i表示名义利率 用r表示实际利率 用 表示通货膨胀率 则有 1 i 1 r 1 i r r 可近似表示为i r 或r i 即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率 在经济学文献中 一般有名义利率 实际利率 在利息理论中 可以有名义利率 实际利率 1 11利率概念辨析 1 11 2利率和贴现率利率和贴现率的概念比较i I 1 A 0 d I 1 A 1 在需要计算现值的场合 利率常常被误被称为贴现率 利率和贴现率的关系利率和贴现率的应用比较 财务分析和投资决策中的贴现问题计算现值既可以应用利率 也可以应用贴现率 还可以应用利息力等 如 a 1 t 1 i t 1 d t e t计算现值时所使用的未必是贴现率 人们更加习惯于使用利率计算现值 小结 思考与讨论 1 4 1 利息力和利息率在意义上有什么差别 利息力的定义是用什么来表现的 2 复利条件下的利息力和单利条件下的利息力各有什么特点 3 可以运用利息力来计算现值或者累积值吗 4 在一定时期内利息结转次数趋于无穷大时的名义利率是什么 5 利息理论中的实际利率 名义利率与经济学文献中的实际利率 名义利率有什么差别 第2章等额年金 LevelAnnuity 内容提要 年金是指按相等的时间间隔支付一系列的款项 在相同的时间间隔上支付相同金额的款项叫等额年金 在相同的时间间隔上支付等额款项但在不同的计息期利率不同或者虽然利率相同但计息频率与付款频率不同的年金称为一般等额年金 在相同的时间间隔上支付不同金额的款项叫变额年金 本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法 以及等额年金的现值与终值之间的关系 本章着重解决以下若干问题 标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系 标准年金在任意时刻的值 可变利率年金的现值与终值计算 付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算 连续年金的终值与现值计算 关键词 年金 标准年金 等 定 额年金 期初付年金 期末付年金 延期年金 永续年金 可变利率年金 利息结转周期 频率 支付周期 频率 连续年金 第2章等额年金 LevelAnnuity 教学要求 本章主要介绍有关等额年金的一些内容 通过本章的学习 要求理解年金的含义 熟悉年金的分类 掌握有关基本年金 标准年金 的计算 要求重点掌握年金的现值和终值的计算及其相互关系 期初付年金与期末付年金的相互关系 熟悉每个利息结转周期内支付m次的年金 对有关年金的利率问题和时间问题的求解要求一般程度的了解 对连续年金有一定程度的理解 教学内容 2 1年金的含义2 2年金的现值2 3年金的终值2 4年金现值与终值的关系2 5年金在任意时点上的值2 6可变利率年金的现值和终值2 7每年支付m次的年金2 8连续支付的等额年金2 9价值方程 2 1年金的含义 2 1 1年金的基本概念经济生活有一大类的支付款项 如 零存整取 住房的按揭还款 购物的分期付款 保险中的养老保险金给付 分期交付保费 该类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等 利息理论中把支付时间间隔相等的一系列款项称为年金 annuity 年金任意时刻的价值 与支付方式 期初 期末 计息期的实际利率 有效利率 支付期与计息期的关系 支付金额有关 年金是金融保险业务中十分常见的支付款项 2 1 2年金的含义及其延伸年金最原始的含义年金含义的延伸1 时间间隔可以是年 季度 月 周 日 瞬时 2 支付款项的金额可以相等也可以不等 可以是确定也可以是不确定 支付期可以和计息期相同也可以不同 2 1年金的含义 2 1 3年金的分类1 按照年金的支付时间和支付金额是否确定 年金可以分为确定年金 Annuity certain 和风险年金 contingentannuity 2 按照年金的支付期限长短 年金可以分为定期年金 period certainannuity 和永续年金 Perpetuity 3 按照年金的支付周期不同 年金可以分为非连续年金 每年 季 月 支付一次 和连续年金 4 按照年金在每期的支付时点不同 年金可以分为期初付年金 先付年金 和期末付年金 后付年金 5 按照年金开始支付的时间不同 年金可以分为即期年金和延期年金 6 按照每次付款的金额是否相等 年金可以分为等额年金 levelannuity 和变额年金 varyingannuity 2 2年金的现值 2 2 1期末付定期年金 Annuity immediate 的现值单位货币期末付定期年金的现值 2 1 计算公式的变形及其意义 2 2 每期末支付k元的定期年金的现值 2 2年金的现值 2 2 2期初付定期年金 annuity due 的现值单位货币期初付定期年金的现值 2 3 计算公式的变形及其意义每期初支付k元的定期年金的现值与的关系 1 2 4 2 2 5 2 2年金的现值 例2 2 某企业租用了一间仓库 一次性支付50000元的租金后可以使用8年 假设年实际利率为6 试计算如果每年初支付租金 该仓库的年租金应该是多少 解 设每年初的租金为A 则根据题意 可以建立下述方程 因此每年初的租金为即 2 2年金的现值 例2 2 思考题 如果每年初支付租金7000元可以租下这间仓库 试设计无风险套利方案 解 A 7000元 7596元 则套利方案 1 签订租赁合同1 每年初支付7000元租金租下这间仓库 租期8年 2 签订租赁合同2 出租这间仓库 租期8年 要求对方一次性支付50000元租金 3 用50000元进行投资或贷放款 在年实际利率6 之下 8年内每年初连本带息可获取7596元 每年可获利7596 7000 596 元 5000075967596759601234567870007000700050000 2 2年金的现值 例2 2 思考题 如果每年初支付租金8000元才能租下这间仓库 试设计无风险套利方案 解 A 8000元 7596元 则套利方案 1 向银行借款50000元 期限8年 在年实际利率6 之下 每年初分期还款7596元 2 签订租赁合同1 一次性支付50000元租金租下这间仓库 租期8年 3 签订租赁合同2 出租这间仓库 租期8年 要求对方每年初支付8000元租金 其中7596元还银行 每年可获利8000 7596 404 元 5000080008000800001234567875967596759650000 例 有一笔1000万元的贷款 为期10年 若年实际利率为9 试对下面三种还款方式比较其利息总量 本金和利息在第10年末一次还清 每年产生利息在当年末支付 而本金在第10年末归还 在10年期内 每年末偿还相同的金额 问题 请先推测大小 解 1 贷款在10年末的累积值为1000 1 9 10 2367 36 利息总额为2367 36 1000 1367 36 万元 2 每年的利息为1000 9 90 万元 利息总额为10 90 900 万元 3 设每年的偿还额为R 则解得R 155 82 故利息总额为155 82 10 1000 558 2 万元 结论 偿还越迟 利息总量越高 2 2年金的现值 2 2 3期末付永续年金的现值永续年金 Perpetuity 及其现值的概念永续年金是指可以无限期地支付下去的年金 付款次数是无穷大 付款期限是无穷长 永续年金的现值等于定期年金的现值当支付期限n 时的极限 单位货币期末付永续年金的现值 2 6 每期末支付k元的永续年金的现值 2 2年金的现值 2 2 4期初付永续年金的现值单位货币期初付永续年金的现值 2 7 与的关系 2 8 每期初支付k元的永续年金的现值 例 某人留下遗产10万元 第一个10年将每年的利息付给受益人A 第二个10年将每年的利息付给受益人B 二十年后将每年的利息付给慈善机构C 若此项财产的年实际收益率为7 确定三个受益者的相对受益比例 解 10万元每年产生的利息是7000元 A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是注 请用excel计算上述年金的值 从现值的角度看 A B C受益比例近似为49 25 和26 注 C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元 其现值等于 2 3年金的终值 2 3 1期末付定期年金的终值单位货币期末付定期年金的终值计算公式的变形及其意义 2 9 每期末支付k元的定期年金的终值 2 3年金的终值 2 3 2期初付定期年金的终值单位货币期初付定期年金的终值计算公式的变形及其意义每期初支付k元的定期年金的终值与的关系 1 2 注 永续年金不存在终值 思考题 某人在10年后需要为其子女支付上大学的学费 预计大学4年间每年初支付10000元学费 为此他打算在每年初往一种基金存入一笔钱 如果该基金的年实际利率为6 那么他每年应该存入多少钱 才能保证可以支付子女的学费 解 假设每年初需要存入A元 则根据题意可以建立下述方程 因此有1000010000012 891011121314AAAAA 2 4年金现值与终值的关系 2 4 1年金现值与终值之间的换算关系与的关系 2 11 与的关系 2 12 2 4 2年金现值与终值之间的倒数关系与之间的倒数关系 2 13 与之间的倒数关系 2 14 2 5年金在任意时点上的值 2 5 1年金在支付期限开始前任意时点上的值延期年金 deferredannuity 推迟若干时期后才开始付款的年金 年金在支付期限开始前任意时点上的值 可以看做为一个延期年金的现值 推迟m个时期 且随后有n个时期的期末付年金可看作一个m n期期末付年金扣除一个m期的年金 延期m个时期的期末付定期年金的现值 1 2 15 2 2 16 延期m个时期的期初付定期年金的现值 1 2 17 2 2 5年金在任意时点上的值 2 5 1年金在支付期限开始前任意时点上的值延期m个时期的期末付永续年金的现值 1 2 延期m个时期的期初付永续年金的现值 1 2 注 延期年金终值的计算方法与一般年金终值的计算方法相似 其终值的大小与延期期限无关 2 5年金在任意时点上的值 2 5 2年金在支付期限内任意时点上的值 1 将原来的年金分解成两个新的年金 一个由该时点之前的付款组成 另一个由该时点之后的付款组成 2 原来的年金在该时点上的值 第一个年金在该时点上的终值 第二个年金在该时点上的现值 期末付年金的模型 期初付年金的模型 2 5年金在任意时点上的值 2 5 3年金在支付期限结束后任意时点上的值 1 计算该年金的终值 2 按年金支付期限末到该时点的时间长度 计算此年金终值的复利累积值 期末付年金的模型 期初付年金的模型 2 6可变利率年金的现值和终值 本节讨论的主题 利率在各个时期不完全相同的情况下 年金现值和终值的计算问题 2 6 1每笔款项都以其支付时的利率计算的可变利率年金现值和终值问题 固定利率计算利息 单位货币期末付年金的现值单位货币期初付年金的现值单位货币期末付年金的终值单位货币期初付年金的终值 2 6可变利率年金的现值和终值 2 6 2每笔款项经历哪个时期 就以哪个时期的利率计算的可变利率年金现值和终值问题 浮动利率计算利息 单位货币期末付年金的现值单位货币期初付年金的现值单位货币期末付年金的终值单位货币期初付年金的终值2 6 3可变利率下 期初付年金的现值和终值与期末付年金的现值和终值的关系 2 7每年支付m次的年金 两个概念利息结转周期 结转一次利息所需的时间长度 支付周期 支付一次年金所需的时间长度 一般意义上的年金 利息结转周期未必等于支付周期 当支付周期和利息结转周期不同时 有两种情况 1 每个支付周期内结转k次利息 支付频率小于利息结转频率 2 每个利息结转周期内支付m次年金 支付频率大于利息结转频率 2 7每年支付m次的年金 基本思路 对于这种类型的年金 计算其现值和终值可以采取两种方法 方法一 进行利率转换 将年利率转换成月实际利率或季度实际利率 i m i i k i k k 然后应用基本年金的公式计算年金的现值和终值 方法二 不进行利率转换 直接建立新的计算公式 符号体系 n 总的利息结转次数 m 每个利息结转周期中的年金支付次数 nm 年金的总支付次数 nm n i 每个利息结转周期的实际利率 例 一笔50000元的贷款 计划在今后的5年内按月偿还 如果每年结转两次利息的年名义利率为6 试计算每月末的付款金额 应用基本公式 2 7每年支付m次的年金 2 7 1每年支付m次的期末付定期年金每个支付周期末付款1 m元的年金现值每个支付周期末付款1 m元的年金终值 注 1 实际每次付款1 m元 每个利息结转周期中付款m次 因此每个利息结转周期的付款1元 在应用上述公式时 一定要注意它是以每个利息结转周期的付款为单位计算的 后面的公式与此类似 2 如果m 1 则i m i 所以 2 7每年支付m次的年金 2 7 2每年支付m次的期初付定期年金每个支付周期初付款1 m元的年金现值每个支付周期初付款1 m元的年金终值 注 1 如果m 1 则d m d 所以 2 期初付定期年金与期末付定期年金的关系 2 7每年支付m次的年金 2 7 3每年支付m次的永续年金每个支付周期末付款1 m元的永续年金的现值每个支付周期初付款1 m元的永续年金的现值期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系 例2 17 投资者现在投资20000元 希望在今后的每月末领取100元 并无限期地领下去 年实际利率应该为多少 解 m 12 每年领取的金额为1200元 假设年实际利率为i 则 2 8连续支付的等额年金 continuouslypayableannuity 连续支付年金 在一个利息结转周期内支付次数趋于无穷时的年金 即连续不断进行支付的年金 2 8 1连续支付年金的现值年金 总的利息结转次数为n 每个利息结转周期的实际利率为i 在每个利息结转周期内连续支付 支付总量为1元 该年金的现值 2 26 连续支付年金的现值连续支付年金的现值与基本年金的现值的关系连续结转利息 连续支付的年金现值 2 8连续支付的等额年金 2 8 2连续支付年金的终值年金 总的利息结转次数为n 每个利息结转周期的实际利率为i 在每个利息结转周期内连续支付 支付总量为1元 该年金的终值 连续年金的终值连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续结转利息 连续支付的年金终值 等额年金公式小结 等额年金公式小结 等额年金公式小结 2 9价值方程 年金问题的基本变量 1 年金的现值A或终值S 2 年金的支付次数n 3 利率i 4 每期付款额PMT 需要求解的相关问题 1 年金现值问题或年金累积值问题 2 投资时期问题 时间问题 3 利率问题 4 每期付款额问题 价值方程 equationofvalue 是连接年金问题的4类基本变量的重要关系式 是求解以上4类相关问题的基本工具 2 9价值方程 2 9 1时间问题求解讨论的主题 已知年金的现值A 或终值S 每期付款额PMT以及利率i 要求计算年金的支付次数n 常见年金的支付次数问题 注 根据上面公式计算出的时间n未必是整数 2 9价值方程 2 9 1时间问题求解非整数支付次数下最后一次付款的处理问题 年金的支付次数n为非整数 这意味着经过整数个时期的付款之后 还需进行一次额外的小额付款 最后一次额外付款的实际处理方法 1 提前付款 在最后一次正常付款 即在期末或期初的付款 时 附加一笔较小的付款 价值为最后一次小额付款在此时的折现值 2 推迟付款 在最后一次正常付款后 再经过1个时期支付一笔小额付款 价值为最后一次小额付款在此时的累积值 注 在计算未知时间问题时 首先应该判断是否出现了永续年金 2 9价值方程 2 9 2利率问题求解讨论的主题 已知年金的现值A或终值S 每期付款额PMT以及年金的支付次数n 要求计算未知利率i 计算未知利率的方法1 解析法 2 线性插值法 3 迭代法 例 如果投资者在每季初向某投资基金存入1000元 当每年结转4次利息的名义利率为多少时 在第5年末可以积存到30000元 解 假设每个季度的实际利率为j 那么每年结转4次利息的名义利率为i 4 4j 故应用Excel求解即得j 0 037189 i 4 4j 0 148756 第3章变额年金 VaryingAnnuities 内容提要 第2章讨论了等额年金 即在相同的时间间隔支付相等的金额 在实际应用中 年金的支付金额并非都是固定不变的 本章我们讨论每次支付金额不完全相同的年金的价值计算问题 着重讨论以下三个问题 付款周期与计息周期相同的变额年金终值与现值计算 付款周期与计息周期不同的变额年金终值与现值计算 连续变额年金终值与现值计算 关键词 变额年金 付款成等差数列的变额年金 付款成等比数列的变额年金 连续变额年金 第3章变额年金 VaryingAnnuities 教学要求 本章讨论变额年金问题 通过本章的学习 要求掌握对一些有变化规律的变额年金的处理方法 重点掌握支付额按算术级数或几何级数变化的递增年金和递减年金及其现值和终值的计算 一般了解每年支付多次的变额年金和连续变额年金 教学内容 3 1递增年金3 2递减年金3 3复递增年金计算变额年金的现值和终值的基本思路 1 计算每次付款的现值 终值 2 将每次付款的现值 终值 相加 即得年金的现值 终值 3 1递增年金 递增年金 increasingannuity 每次付款金额逐期增加的年金 本节讨论的是一种特殊形式的递增年金 付款以算术级数增长的递增年金 3 1 1期末付递增年金 increasingannuity immediate 0123 n 1n123 n 1n现值 终值 3 1递增年金 附 定期递增年金的分解 3 1递增年金 附 定期递增年金的分解 3 1递增年金 3 1 2期初付递增年金 increasingannuity due 0123 n 2n 1n现值 123 n 1n 3 4 终值 3 5 递增永续年金的现值期末付递增永续年金的现值 期初付递增永续年金的现值 思考与讨论 3 1 1 期初付定期递增年金的现值的定义公式是怎样的 它与期末付定期递增年金的现值的关系是怎样形成的 2 期初付定期递增年金的终值的定义公式是怎样的 它与期末付定期递增年金的终值的关系是怎样形成的 它与期初付定期递增年金的现值的关系是怎样形成的 3 随着年实际利率的提高 定期递增年金的现值将怎样变化 定期递增年金的终值将怎样变化 递增变额年金公式小结 3 2递减年金 递减年金 decreasingannuity 每次付款金额逐期减少的年金 本节讨论的是一种特殊形式的递减年金 付款以算术级数递减的年金 3 2 1期末付递减年金 decreasingannuity immediate