应力波复习资料(修改)

复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解X+dXXF(X+dX,t)F(X,t)XdX在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有根据牛顿第二定律,有解之,有而,故上式可以化为 (a)对于一维应力纵波, 连续可微,记则 代入(a)式,可得 (b)因为,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系(1)解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, +其中为待定系数,整理可得: (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得, ,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(2)解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中为待定系数,整理可得: (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得, ,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(3) 对一阶偏微分方程组进行线性组合,+ ，其中为待定系数,整理可得: (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得, ,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(4) 解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中为待定系数,整理可得: (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得, ,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:三、 用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为,用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解:OA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:引入积分常数、后,可写成右行波有: 左行波有: (1) AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有 由（1）（2）可得：由初始条件,有,则可解得由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。(2) 对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有 沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有,此外,由边界条件已给出,即于是可解得可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动和以的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为,则有。由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为四、 波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆，应力应变关系如图所示，其中。在杆的左端处施加如图所示的载荷。（1）画出图；（2）画出时刻的波形曲线；（3）画出m位置的时程曲线。 解：半无限长杆中弹性波波速： 塑性波速：产生塑性波的速度，时间。（图上把关键点的坐标表示清楚，图、波形图和时程图尽量画在一起） 五、 弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b)(c)(b)(a)解: 作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。（a）2(5)(7)v(4) 17MNt5231AB46X63由波系图和状态图可得，两杆撞击结束时间为,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。（b）3 6 v1 2 512342t3杆2杆1杆6N54X由波系图和状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间，对应于M点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而1杆由于应力波在右端面的反射，杆内逐渐获得了正向速度。当时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面的介质速度由提高至，而此时2杆右端面的介质速度刚好由下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：、,试对图中所示情况分别画出X-t图和图，并确定其撞击结束时间、两杆脱开时间。以及分离之后各自的整体飞行速度。解：，可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在状态平面上关系曲线斜率不相等。(MPa)v(m/s)-7245 (1)62231AB6t(ms)M4-50100X(cm)2.0 4.0 8.03-4.05如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，使界面处质点速度小于零（-0.4m/s），A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0，速度也减为0，两杆碰撞也结束了。两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：1区：自然静止区2区：3区： 4区： 5区： 6区： 3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其材料常数分别为：、。试确定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度为多大？ 解：，A、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。B杆撞击A杆，如图（1）所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的A杆屈服，只需图3区解对应于和即可，这是一种临界状态。Xt123图（1）则应有可解得，使得被撞击杆的A杆屈服，最小打击速度为。（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图（1）所示，有可解得：。5、相同材料的弹性杆,A杆以的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示，试作出图，确定撞击结束时间,脱开时间及撞击后各杆的运动状态。解:作出图和如下图所示.1(4)2(5)3(b)(a)图中各区域中的状态量可得:1区:B,C,D杆初始状态为,在波阵面未达到之前,为未扰动区域, 应有;2区:A杆初始状态;对应图上3区: 4区:左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态5区:右行压缩波在D杆右端自由面反射, 反射波经过后杆的状态或者从图也可以得到各杆最终的运动状态. 撞击结束时间,A杆处于静止自然状态; B杆左端从开始,应力卸载到零,速度也卸载到零;到时B杆整体处于应力为零,速度为零的状态;D杆在时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出; C杆在时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.6、弹性波在自由端和固定端的反射；7、弹性波在不同界面处的反射和透射；分析反射波、