初等数学学年论文.doc

浅谈均值不等式的条件和技巧摘 要：对于现实世界中的数量关系,不等关系要比相等关系更普遍。不等式与数、式、方程、函数、导数等知识有密切的联系,对于研究函数的定义域、值域、单调性、最大(小)值等问题有着重要的作用。在不等式中,均值不等式占有重要的地位,在现行中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点。我们在应用均值不等式要注意均值不等式的条件，在均值不等式应用中存在许多的技巧，我们掌握了这些技巧，对于我们解决一些均值不等式问题就简便多了，本文通过对均值不等式成立的条件进行强调，以免在求解均值不等式时出错。本文通过介绍一些技巧来解决均值不等式问题。关键词：均值不等式；最大（小）值；条件；技巧 1 引言对于现实世界中的数量关系,不等关系要比相等关系更普遍。可以这样认为：不等式绝对的，相等是相对的。等式与数、式、方程、函数、导数等知识有密切的联系,对于研究函数的定义域、值域、单调性、最大(小)值等问题有着重要的作用。在数学地位中占有重要对一些特殊的数、式、函数的最大（小）值的求解有举足轻重的地位，而且在现行中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点.我们应该理解均值定理。在均值定理：“当且仅当 时等号成立”我们要注意各项均为正数，记住等号成立的条件，用均值不等式求函数的最值时要注意构造出定值关系，在均值不等式应用中存在许多的技巧，我们掌握了这些技巧，对于我们解决一些均值不等式问题就简便多了，本文通过对均值不等式成立的条件进行强调，以免在求解均值不等式时出错。本文通过介绍一些技巧来解决均值不等式问题。2 均值不等式条件1均值不等式是解决最值问题的有效工具，运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可，多数求最值的问题具有隐蔽性，在此运用过程中，往往需要对相关对象进行适当的放大，缩小，或不等式之间进行传递等变形，在此过程中，学者常常因为忽视条件成立而导致错误。而且错误不易察觉，下面介绍几例，以引起重视。2.1 忽视均值不等式中和各项为“正”致错1忽视了均值不等式各项正值的选取。造成解题错误，用均值不等式求函数的最值时要注意构造时要注意各项均为正数。首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值，然后确定构造相应的项为正数。若未构造出的项不是正数，则容易造成解题的错误。例1、求函数的值域 .误解：（当且仅当时取等号），所以值域为.这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是.2.2 忽视均值不等式中的等号成立致错1忽视了均值不等式中的等号成立，造成解题错误，用均值不等式求函数的最值时用均值不等式求解时要看等号是否成立，若等号不成立时，则容易造成解题的错误。例2、设，求函数的最小值.误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有.这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要，这样的不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：.所以.例3、.误解：所以的最大值为.这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：仅当时取等，所以.如取2.3 忽视均值不等式中的定值致错1忽视了均值不等式定值的选取。造成解题错误，用均值不等式求函数的最值时要注意构造出定值关系，首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值，然后构造相应积（和）的定值。若未构造出定值来，则容易造成解题的错误。同时还应记住。若和为定值，则积有最大值，若积为定值，则和有最小值。例4、已知.误解：，.以上过程只能说明当.但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果. 正确解法：，所以仅当.3 均值不等式常用的处理方法和技巧3.1 拆项法【2】为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则.例5、求函数的最小值.解：，所以仅当.（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）3.2 裂项法2常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时用此方法。例6、设，求函数的最小值.所以仅当.（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）3.3 添项法求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项. 例7、求函数的最小值. 所以当（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）. 例8、若.的最小值.解： 所以仅当时的最小值为16.所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号注意：例8这种解法也叫用“1”的技巧.3.4 凑系数法为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数.例9、求函数的最大值.解:（仅当时取等号）因此仅当.（把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量次数相同且系数和为零，且取到等号）例10、已知求函数的最大值.解： 因此仅当（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）3.5 分子变量常数化法3常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法.例11、设求函数的最大值.解：由题而所以仅当.（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解）3.6 倒数法已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一样求解.例12、已知，求的最大值.解： 因此仅当3.7 平方法假如题目要我们求两个根式（多个）相加的最值或所给的条件带有根式等等问题，将所得出的正函数平方，立方，n 次方，然后再使用均值不等式求解。例13、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 2 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。3.8 引参法有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，化成简单的函数形式，再使用均值不等式求解。使用换元法时要注意其值域的改变。 例14、求函数 的最小值。 解：引入待定参数、，且+，则有 当且仅当 且 时取到等号，此时 ， 所以当时，有最小值为例15、求函数在区间（,1）上的最大值和取到最大值时的的值。(第十二届希望杯竞赛题) 解： 引入两个正实数后利用均值不等式 当且仅当 且 时取到等号。 此时， ， 所以当时，有最大值为3.9 连续法3有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的。放缩时要保证几个等号能同时成立。例16、在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角，求它的外接圆半径和内切圆半径的最小值 （86年江苏竞赛题） 解：设直角顶点处三条棱长分别为 那么由立体几何知识易知： 所以 = = 当且仅当时取到等号，所以的最小值为例17、设，且，试求的最小值。 （第35届IMO试题改编）解： = = 三式相加得： = 当且仅当时取到等号， 所以 y 的最大值为3.10 单调性法4在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例18、求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。4 结束语在现行中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点。应用均值不等式求最值要注意其条件：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。应用均值不等式的一些技巧有：拆项，裂项，添项，凑系数，分子变量常数化，取倒数，取平方，换元，连续使用均值不等式，通过函数单调性来求解，通过函数单调性来求解等，我们掌握这些方法对均值不等式求最值就会顺利