复合函数求导法则及其应用

精品文档 70欢迎下载 习习 题题 4 44 4 复合函数求导法则及其应用复合函数求导法则及其应用 1 求下列函数的导数 yxx 21 22 yx x esin 2 3 y x 1 1 3 y x x ln yx sin 3 yx cos yxxx 11ln y x arcsin e 2 2 2 1 ln x xy y xx 1 2 22 sin y x xx 1 1 2 2 ln y x x 1 2 csc y xx 2 21 3 31 2 3 3 4 y x e sin2 yx ax x ax 22 22 解解 1 14 12 2 12 12 2 222 xxxxxxxy 2 3sin23cos3 3sin 3 sin 222 xxexexey xxx 3 2 3 323 2 3 3 1 2 3 1 1 2 1 xxxxy 4 2 1 2 2 1 ln2 ln1ln ln2 1 x x x x x x x x y 5 3233 cos3 cos xxxxy 6 x x xxy 2 sin sin 精品文档 71欢迎下载 7 1 1 1 211 xxx y xxx 112 1 212 1 1 x xx xx 11 2 1 1 xx x xx 8 22 22 22 e 2 e 1 e 1 e xx xx x y 1 2 2 2 x e x 9 4 42 4 1 1 ln 1 ln 2 1 x yxx xx 4 4 22 1 x x x 10 2 23 2 2sin 2sin xx y xx 32 sin2 cos4 2 xx xx 11 2222 22 1 ln 1 1 ln 1 1 xxxx xx y xx 2 3 22 222 1 21 ln1 ln 1 2 xx xxxx 12 22 2 1 csc 1 csc 1 csc xxxx y x 22 2 2 2 1 cotcsc 2 1 csc 2 1 csc 1 csc xxx xx x x 2222 3 2 2 1 csccsccot 1 csc xxxx x 13 3234 23 2131 y xx 45 232 34 11 2 21 4 3 31 9 34 xxxx 45 223 34 827 21 31 34 xxxx 14 2 sin2 e sin x yx 2 sin sin2 x x e 精品文档 72欢迎下载 15 22 22 x axx y ax 22 22 22223 1 1 2 31 2 x axx ax axax 42242 3 22 2 23 xa xaa ax 求下列函数的导数 yx lnsin cotln cscxxy a x axaxyarcsin 2 1 222 yxxa ln 22 yx xaaxxa 1 2 22222 ln 解解 1 1 sin cot sin yxx x 2 csccot csccot xx y xx 2 cotcsc csc csc csccot xxx x xx 3 22222 1 arcsin 2 x yxaxxaxa a 222 222 1 11 2 22 1 x a axxa ax x a 22 2 22 0 0 axa x a ax 4 22 22 xxa y xxa 22 22 2 1 2 x xa xxa 22 1 xa 5 22 22222 22 1 2 xxa yxxaxxaa xxa 22 222 2222 1 1 2 x x xa xaxa xaxxa 22 ax 设可导 求下列函数的导数 f x 精品文档 73欢迎下载 fx 2 3 x f ln 1 f x tanarcxf ff ex 2 sin sin fx 1 xf f 1 ff x 解 1 333222 fxfxx 3 2 3 2 3 1 xfx 2 111 lnlnln ff xxx ln 1 ln 1 2 x f xx 3 1 2 f xf x f x 2 xf xf 4 2 1 arctan 1 f xf x f x 1 2 xf xf 5 222 xxx f f eff ef e 222 xxx ff efee 2 222 xxx effefxe 6 sin sin cos sin sin fxfxfx cos sin sin sin fxfxx xxfxfcos sin sincos 7 111 ff f xf xf x 1 2 xf f xf xf 8 2 1 ff x f x f f xff x 2 xff xfxff 用对数求导法求下列函数的导数 yx x xxxy 1 3 sin yx x cos yx x ln 21 精品文档 74欢迎下载 yx x x 1 1 2 3 yxxi i n 1 yx x sin 解解 由于 所以 ln y y y ln yyy 1 lnlnyxx ln ln ln 1 ln x yyyy xxxxx x 2 3 1 lnlnsinyxx x 33 11 ln lnsinlnsin yyyyxxxx xx 2 3 3 2 1 3 sinln sin cos3 sin x xx xxx xx xx x 3 lnlncosyxx lncos lncos lncos yy xxy xxxx xxxx x costancosln 4 lnlnln 21 yxx lnln 21 lnln 21 yy xxxx 12 ln 12ln 12 2 12ln ln x xx x x x 5 23 11 lnlnln 1 ln 1 22 yxxx 23 11 ln ln 1 ln 1 22 yyxxx 1 2 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x xx 6 1 lnln n i i yxx 精品文档 75欢迎下载 1 ln n i i yyxx n i n i i i xx xx 11 1 7 令 则 lnln x uxuxx 于是 ln12ln ln ln 22 xx uuxxxxuu xxx sin yuu xx xx x x cos 2 ln2 对下列隐函数求 dy dx yxytanarc yx y e1 xyyx cossin xyy ln 10 exy xy 2 2 0 0 tan xyyx 20yxxysinln xyaxy 33 30 解解 1 在等式两边对 求导 得到x 2 arctan 1 1 y yxy y 解得 y 2 2 1 y y 2 在等式两边对 求导 得到x 1 0 yyyy yx exe yyxee 解得 y y y xe e 1 3 等式两边平方 再对 求导 得到x 精品文档 76欢迎下载 1 sin 2 sin cos 1 yyyxyy 解得 y yyxy xy sincos sin2 sin21 4 在等式两边对 求导 得到x 1 ln 1 0 1 x yxyyyxyy y 解得 y xyx yy 1 2 5 在等式两边对 求导 得到x 22 222 2 2 0 xyxy exyxyexyyxyy 解得 2 2 2 2 2 xy xy xey y exy 6 在等式两边对 求导 得到x 22 sec sec 1 0 xy xyxyxyyyxy 解得 2 2 sec sec xyy y xxy 7 在等式两边对 求导 得到x 2 sin2 sin ln 2 sin2 cosln0 y yxyxxyyxyxyx y 解得 精品文档 77欢迎下载 2 2cosln 2 sin yxyy y xyx 8 在等式两边对 求导 得到x 2222 33 3 3 3 0 xy yax yaxyxy yayaxy 解得 2 2 ayx y yax 6 设所给的函数可导 证明 奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 周期函数的导函数仍是周期函数 证证 设为奇函数 则 f x 00 limlim xx fxxfxf xxf x fx xx 0 lim x f xxf x fx x 设为偶函数 则 f x 00 limlim xx fxxfxf xxf x fx xx 0 lim x f xxf x fx x 2 设是周期为 的函数 则 f xT 00 limlim xx fxTxf xTf xxf x fxTfx xx 7 求曲线在点的切线和法线方程 1ln yxy 1 1 M 解解 对方程两边求导 得到 解得 将代 0 y yxy y 2 1 y y xy 1 1 入得到 于是切线方程为 即 1 1 2 y 1 1 1 2 yx 精品文档 78欢迎下载 230 xy 法线方程为 即12 1 yx 210 xy 8 对下列参数形式的函数求 dy dx 3 2 bty atx 1 3 2 tty tx cos sin 2 2 tty ttx e e t t by ax sin cos 3 3 tay tax ch sh bty atx 1 1 t t y t t x 1 1 ty tx sine cose 22 22 ty tx t t tanarc 1ln 2 tty tx 解 1 2 33 22 dyybtbt dxxata 2 22 1 331 22 dyytt dxxtt 3 2 2 2 cossin2cossin 2 sincos2sincos dyyttttttt dxxttttttt 4 2 t t t dyybeb e dxxaea 5 2 2 3 sincos 3 cos sin dyyatt dxxatt ttan 6 sh ch dyybbt dxxaat 精品文档 79欢迎下载 7 12 12 1 1 1 dyytt dxxtt 8 1 1 2 1 1 1 2 1 dyyt t dxxt t 9 222 222 2sin2sin cos sincos tan 2cos2cos sin sincos tt tt dyyetettttt dxxetetttt 10 2 2 1 1 1 2 2 1 dyyt t t dxx t 9 求曲线 上与对应的点处的切线和法线方 3 2 1 2 t tt x 3 2 1 2 t tt y 1 t 程 解解 将代入参数方程 有 经计算 1t 31 22 xy 2323322 3 23 2 2 1 2 1 22 1 2 3 1 1 ttttttttttt x tt t 34 3 2 224 1 ttt t 2323322 3 23 2 2 1 2 1 22 1 2 3 1 1 ttttttttttt y t tt 34 3 2 224 1 ttt t 于是 34 34 224 224 dyttt dxttt 当时 所以切线方程为1t 3 4 3 1 4 dy dx 精品文档 80欢迎下载 31 3 34 22 yxx 法线方程为 131 1 3223 x yx 10 设方程确定 为 的函数 其中 为参变量 求 0 2 sin 123 2 yyt tte x yxt 0 t dx dy 解解 将代入参数方程 可得 即 在两0t 1 0 2 x ey 0 2 xy 个方程的两端对 求导 得到t 62 sincos 0 x e xt yty yy 再将代入 解得 所以0t 0 2 0 1xy 0 2 2 1 t dy dx 11 证明曲线 cos sin sin cos tttay tttax 上任一点的法线到原点的距离等于 a 证证 利用参数形式所表示的函数的求导公式 coscossin tan sinsincos dyatttt t dxatttt 曲线在对应于参数 的点处的法线方程为t sincos cot cossin yatttt xattt 简化后为 精品文档 81欢迎下载 cossin0t xt ya 法线到原点的距离为 22 cossin a da tt 12 设函数在处连续 在处连续 yf u 请举例说明 在以下情况中 复合函数在处并非 一定不可导 在处可导 而在处不可导 在处不可导 而在处可导 在处不可导 在处也不可导 解解 1 222 00 0 0 ug xxf uuxuyf g xxx 2 222 00 0 0 ug xxf uuxuyf g xxx 3 则在处不可导 max 0 min 0 g xxf uu 0 0 x 在处也不可导 但处处可导 0 0 0ug 0yf g x 13 设函数 和可微 且 也是可微函f u g u h u h u 1ux 数 利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分 f u g u h u f u g u h u h u g u log ug uh tanarc uh uf 1 22 fuhu 解解 1 d f u g u h u fu g u h uf u g u h uf u g u h u du fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dx 精品文档 82欢迎下载 2 f u g u d h u 2 fu g uf u g u h uf u g u h u du h u 2 fu g u h uf u g u h uf u g u h u x dx h u 3 g u d h u ln ln ln g uh ug uh u edueg uh udu ln g u h u h ug ug uh ux dx h u 4 log h u dg u 2 ln ln ln ln ln ln