高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质成长学案.docx

三 相似三角形的判定及性质主动成长夯基达标1.如图1-3-6，在ABC中，BAC90，D是BC中点，AEAD交CB延长线于点E，则结论正确的是()图1-3-6A.AEDACBB.AEBACDC.BAEACED.AECDAC思路解析:本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项.答案:C2.如图1-3-7所示，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于E，EFAB且交BC于F，且SADE =1，SEFC=4，则四边形BFED的面积等于()图1-3-7A.2B.4C.5D.9思路解析:由题易得ADEEFC，SADESEFC=14，AEEC12，AEAC13.SADESABC=19.S四边形BFED=5.答案:C3.如图1-3-8，D是ABC的AB边上的一点，过点D作DEBC交AC于E.已知ADDB =23,则SADES四边形BCED为()图1-3-8A.23B.49C.45D.421思路解析:DEBC，ADEABC.又ADDB =23，ADAB =25.其面积比为425，则SADES四边形BCED =421.答案:D4.如图1-3-9所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高()图1-3-9A.11.25 mB.6.6 mC.8 mD.10.5 m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如右图，等腰AOC等腰BOD,OA =1 m,OB =16 m,高CE =0.5 m ,求高DF.由相似三角形的性质可得OAOB =CEDF，即116=0.5DF，解得DF =8 m.答案:C5.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC =12 cm,高AD =8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（）A.18 cm2或 B.20 cm2或18 cm2 C.16 cm2D.15 cm2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm,则长为2x cm,由HGBC,得AHGABC，得= = cmS矩形EFGH=2x2=；如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18 cm2.答案:A6.如图1-3-10，在ABC中，点D在线段BC上，BAC=ADC，AC=8，BC=16，那么CD= .图1-3-10思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即ABCDAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案:47.如图1-3-11，ABC中C为直角，DEF中F为直角，DEAC，交AC于G，交AB于H，DFAB，交AB于I，求证:ABCDEF.图1-3-11思路分析:由于ABC和DEF都是直角三角形,要证它们相似,根据“有一锐角对应相等的两个直角三角形相似”的判定方法,只需证一个锐角对应相等即可.证明:HIDF，EFDF,HIEF，DIHDFE90.DHIDEF.DHIDEF.DIHAGH90，DHIAHG,DHIAHG.AA，AGHACB90,AGHACB.ABCDEF.也可用两角相等来证,DEF =AHG =B,从而DEFABC.8.如图1-3-12，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.图1-3-12(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度.思路分析:由题意知，ABC与ADE相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解:(1)ABCADE.BCAE，DEAE，ACBAED 90.AA，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE,=.AC2 m，AE 21820 m，BC1.6 m,=.DE =16.答:古塔的高度为16 m.9.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-13(1)(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由.(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图1-3-13思路分析:两个图形中均有相似三角形，题图(1)中=，即=，可得正方形的边长;题图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解:由AB =1.5米，SABC=1.5平方米，得BC =2米.如题图(1)，若设甲加工的桌面边长为x米，由DEAB，推出RtCDERtCBA，可求出x =米.如题图(2)，过点B作RtABC斜边上的高BH，交DE于P，交AC于H.由AB =1.5米，BC=2米，SABC=1.5平方米，得AC =2.5米，BH =1.2米.设乙加工的桌面边长为y米，DEAC，RtBDERtBAC.=,即=.解得y =.= ,即xy,x2y2,甲同学的加工方法符合要求.走近高考10.如图1-3-14，已知ABC中，DEFGBC，ADDFFB =234，求SADES四边形DEGFS四边形BCGF.图1-3-14思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出ADE、AFG和ABC的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DEFGBC的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解：ADDFFB =234，设AD =2k,DF =3k,FB =4k(k0)，则AF =5k,AB =9k.DEFG,ADEAFG.=()2=()2=.同理,可得=()2=.设SADE =4a,则SAFG=25a,SABC =81a(a0).S四边形DEGF =25a - 4a =21a，S四边形BCGF=81a - 25a = 56a.SADES四边形DEGFS四边形BCGF=42156.11.如图1-3-15，已知在ABC中，D是BC边上的中点，且AD =AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.图1-3-15(1)求证:ABCFCD；(2)若SFCD=5，BC10，求DE的长.思路分析:第(1)问,AD = AC，ACB=CDF.又D是BC中点，EDBC，B=ECD.ABCFCD.第(2)问利用相似三角形的性质，作AMBC于M，易知SABC=4SFCD.SABC=20，AM =4.又AMED，=.再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用ABCFCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出SABC=20.(1)证明:DEBC，D是BC中点，EB =EC.B=1.又AD=AC，2=ACB.ABCFCD.(2)解法一:过点A作AMBC，垂足为点M.(如图所示)ABCFCD，BC =2CD，=()2=4.又SFCD =5，SABC =20.SABC= BCAM，BC =10，20 =10AM.AM =4.又DEAM，=. ，BM =BD +DM，BD =，=.解法二:作FHBC，垂足为点H.(如图所示)SFCD = DCFH，又SFCD=5， ，5=5FH.FH =2.过点A作AMBC，垂足为点M，ABCFCD，= =.AM =4.又FHAM，= = =.点H是DM的中点.又FHDE，=.HC =HM +MC=，=.12.如图1-3-16,已知RtABC中,D是斜边AB的中点,DEAB于D,交AC于F,交BC延长线于E,BGBA,交DC延长线于H,交AC延长线于G.图1-3-16求证:(1)GHCE =DFBC;(2)DC2=DFDE;(3)CHCD =GHDE;(4)GBBA =CHBH;(5)CHEF =BADF.思路分析:(1)欲证原式,只需证=,可在图(c)中由BHDE,容易得到=, =,利用中间比代换即可,还可选中间比为.(2)在图(f)中欲证原式,只需证=,发现它们分别属于有公共角CDF的两个三角形:DCF和DEC.只需利用“直角三角形斜边中线的性质”及“同角的余角相等”证得1=E即可.(3)欲证原式,只需证=.可直接证明CGHECD(图(c)也可利用相似三角形的传递性(CGHCFD,CFDECD)来实现.(4)所要证的比例式中的四条线段既不满足“三角形一边的平行线”条件,也不构成相似三角形的对应边,但