二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高).doc

精品二次函数中的面积计算问题 典型例题 第10题例. 如图，二次函数图象与轴交于A,B两点(A在B的左边)，与轴交于点C，顶点为M ，为直角三角形, 图象的对称轴为直线，点是抛物线上位于两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（ C ）A B C D二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大致是图1(D)（ B ）例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPABSCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.xCOyABD11图1BC铅垂高水平宽ha图2A思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1a(x1)24(a0)把A(3，0)代入解析式求得a1，抛物线的解析式为y1(x1)24，即y1x 22x3设直线AB的解析式为y2kxb，由y1x 22x3求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入y2kxb，解得k1，b3直线AB的解析式为y2x3 （2）C(1，4)，当x1时，y14，y22CAB的铅垂高CD422 SCAB323(平方单位) （3）解：存在 xCOyABD11图2P设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h则hy1y2(x 22x3)(x3)x 23x由SPABSCAB得：3(x 23x)3整理得4x 212x90，解得x把x代入y1x 22x3，得y1P点的坐标为(，) 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB绕点O逆时针方向旋转90得到COD（点A转到点C的位置），抛物线yax 2bxc(a0)经过C、D、B三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求PAB的面积；-3BAxyO2-1-112345-21345（3）抛物线上是否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（2，0），D（0，4）抛物线经过B（4，0），C（2，0）可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)-3BAxyO2-1-112345-21345PE将D（0，4）代入上式，解得a该抛物线的解析式为y(x2)(x4)即yx 2x4（2）yx 2x4(x1)2抛物线的顶点P的坐标为（1，）过点P作PE轴于点E，如图则SPABS四边形PEOB SAOB SPEA(14)42(2)16（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）则SMBC | y |6SPAB6即| y |66，y2当y2时，(x1)22，解得x； 当y2时，(x1)22，解得x存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积，其坐标为：M1（，2），M2（，2），M3（，2），M4（，2）例4如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；BAyOPECx（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）解方程x 22x80，得x12，x24A（4，0），B（2，0）抛物线与x轴交于A，B两点，可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)（a0）又抛物线与y轴交于点C（0，4），a2(4)4，a抛物线的解析式为y(x2)(x4)，即yx 2x4 BAyOPECxG（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G，如图A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC，EGSCPESCBPSBPEBPCOBPEG(m2)(4)(m1)23 又2m4，当m1时，SCPE有最大值3此时点P的坐标为（1，0）（3）存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1(1，1)，Q2(1，)，Q3(1，)，Q4(1，)，Q5(1，) BAyOCxQ1Q2Q4Q3Q5设点Q的坐标为（1，n）B（2，0），C（0，4），BC2(2)24220当QBQC时，则QB2QC2即(21)2y2(1)2(4y)2，y1Q1(1，1)当BCBQ时，则BQ2BC2即(21)2y220，yQ2(1，)，Q3(1，)当QCBC时，则QC2BC2即12(4y)220，yQ4(1，)，Q5(1，)例5如图1，抛物线yx 22xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（图2、图3为解答备用图）（1）k_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；（2）设抛物线yx 22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线yx 22xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形yxBAOC图2yxBAOC图1yxBAOC图3解：（1）3，（1，0），（3，0）；yxBAOC图1M（2）连结OM，如图1yx 22xk(x1)24抛物线的顶点M的坐标为（1，4）S四边形ABMC SAOC SCOM SMOB1331349 yxBAOC图2D说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和（3）设D（m，m 22m3），连结OD，如图2则0m3，m 22m30S四边形ABDC SAOC SCOD SDOB133m3(m 22m3)m 2m6yxBAOC图3Q1E(m)2 当m时，四边形ABDC的面积最大此时m 22m3()223存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大 （4）有两种情况：如图3，过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交轴于点E，连接Q1C在RtCOB中，OBOC3，CBO45，EBO45，OBOE3点E的坐标为（0，3）直线BE的解析式为yx3令x3x 22x3，解得，yxBAOC图4FQ2点Q1的坐标为（2，5）如图4，过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2CBO45，CFB45，OFOC3点F的坐标为（3，0）直线CF的解析式为yx3令x3x 22x3，解得，点Q2的坐标为（1，4）综上所述，在抛物线yx 22x3上，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（2，5）和Q2（1，4）精选练习1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（ ）ABCNOMPxy（第2题图）2如图，已知A、B是反比例函数（k0，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点O出发，沿OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C。过P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N。设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为ABOtSOtSOtSOtSCD3. 如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 (第3题)ABCD4.如图，两条抛物线y1=-2+1、y2=2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 5如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由AxyBO6.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由OBACyx7如图，已知抛物线yax 2bx4与直线yx交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为1和4（1）求此抛物线的解析式（2）若平行于y轴的直线xm（0m1）与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）ABMPONxyxmyx（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由8已知二次函数yx 2axa2（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a 0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由9已知：t1，t2是方程t 22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线yx 2bxc的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；BAOQPxy（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由10如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；yxBDOAEC（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由11如图，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度i3 : 4动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，CcDcAcBcQcPc求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？12如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；OCABxyM（图）OCABxy（图）（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标13如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长DCMyOABQPx14如图，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线yxm与x轴交于点E（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；yxBAOE（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值15已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N. 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN. 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式. OPCBAxy图1图2MOAxPNCBy二次函数中的面积计算问题参考答案1.D 2.A 3. 4. 85.解：（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2AOB120，BOM60AxyBO图1MOMOBcos6021，BMOBsin602点B的坐标为(1，) （2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为yax 2bxc抛物线过原点，c0 解得所求抛物线的解析式为yx 2x （3）存在 如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OCOB的长为定值，要使BOC的周长最小，必须BCOC的长最小点A与点O关于抛物线的对称轴对称，OCACBCOCBCACAB由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BCOC最小，点C的位置即为所求设直线AB的解析式为ykxm，将A(2，0)，B(1，)代入，得AxyBO图2C 解得直线AB的解析式为yx抛物线的对称轴为直线x1，即x1将x1代入直线AB的解析式，得y(1)点C的坐标为(1，) （4）PAB有最大面积 AxyBO图3DP如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点DSPAB SPADSPBD(yDyP)(xBxA)(x)(x 2x)(12)x 2x(x)2当x时，PAB的面积有最大值，最大值为 此时yP()2()此时P点的坐标为(，)6.解：（1）将A(1，0)，B(3，0)代入yx 2bxc得 解得 该抛物线的解析式为yx 22x3（2）存在该抛物线的对称轴为x1抛物线交x轴于A、B两点，A、B两点关于抛物线的对称轴x1对称由轴对称的性质可知，直线BC与x1的交点即为所求的Q点，此时QAC的周长最小，如图1OBACyxQ图1将x0代入yx 22x3，得y3点C的坐标为(0，3)设直线BC的解析式为ykxb1，将B(3，0)，C(0，3)代入，得 解得直线BC的解析式为yx3 联立 解得点Q的坐标为(1，2) （3）存在 设P点的坐标为（x，x 22x3）（3x0），如图2SPBC S四边形PBOC SBOC S四边形PBOC 33S四边形PBOC 当S四边形PBOC有最大值时，SPBC就最大S四边形PBOC SRtPBES直角梯形PEOC OBACyxQ图2EPBEPE(PEOC)OE(x3)(x 22x3)(x 22x33)(x)(x)2当x时，S四边形PBOC最大值为SPBC最大值 当x时，x 22x3()22()3点P的坐标为(，)7.解：（1）由题意知A（1，1），B（4，4），代入yax 2bx4，得ACBMPONxyxmyx 解得所求抛物线的解析式为yx 22x43分由xm和yx，得交点N（m，m）同理可得M（m，m 22m4），P（m，0）PN| m|，MP| m 22m4|0m1MNMPPNmm 22m4m 23m4（3）过B作BCMN于C则BC4m，OPm S SMON SBMN MNOPMNBCMN(OPBC)2(m 23m4)2(m)2 20当m时，S有最大值8.解： （1）a 24(a2)(a2)240不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点（2）设x1、x2是yx 2axa20的两个根则x1x2a，x1x2a2此函数图象与x轴的两个交点的距离为，(x1x2)213即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1或a5a 0，a1此二次函数的解析式为yx 2x3（3）设点P的坐标为（xp，yp）函数图象与x轴的两个交点的距离为，ABSPABAB|yp|，即|yp|yp|3，yp3当yp3时，xp2xp33，解得xp2或xp3；当yp3时，xp2xp33，解得xp0或xp1综上所述，在函数图象上存在点P，使得PAB的面积为，P点坐标为：P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）9.解：（1）由t 22t240，解得t16，t24 t1t2，A（6，0），B（0，4）抛物线yx 2bxc的图象经过点A，B两点 解得这个抛物线的解析式为yx 2x4（2）点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，y0，即y0又S2SAPO2| OA| y | OA| y |6| y |S6y分6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)225令y0，则x 2x40，解得x16，x21抛物线与x轴的交点坐标为（6，0）、（1，0）x的取值范围为6x1（3）当S24时，得4(x)22524，解得：x14，x23 代入抛物线的解析式得：y1y24点P的坐标为（3，4）、（4，4）当点P为（3，4）时，满足POPA，此时，OPAQ是菱形当点P为（4，4）时，不满足POPA，此时，OPAQ不是菱形要使OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为（3，3），而（3，3）不在抛物线yx 2x4上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形10解：（1）OA、OC的长是方程x 25x40的两个根，OAOCOA1，OC4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A（1，0），C（0，4）抛物线yax 2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为（3，0）A、B、C三点的坐标分别是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）（2）点C（0，4）在抛物线yax 2bxc图象上，c4 将A（1，0），B（3，0）代入yax 2bx4得yxBDOAECF 解得此抛物线的解析式为yx 2x4 （3）BDm，AD4m在RtBOC中，BC 2OB 2OC 23 24 225，BC5DEBC，ADEABC，即DE过点E作EFAB于点F，则sinEDFsinCBA，EFDE4m S SCDE SADC SADE(4m)4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）0当m2时，S有最大值2此时ODOBBD321此时D点坐标为（1，0）11.解：（1）如图1，过C作CEAB于点E，则四边形AECD为矩形CcDcAcBcQcPc图1EcFcAECD4，CEDA6 又i3 : 4，EB8，AB12在RtCEB中，由勾股定理得：BC10（2）假设PC与BQ相互平分DCAB，四边形PBCQ是平行四边形（此时Q在CD），如图2CQBP，即3t10122t 解得t，即t秒时，PC与BQ相互平分 CcDcAcBcQcPc图2（3）当Q在BC上，即0 t 时如图1，过Q作QFAB于点F，则CEQF，即，QF SPBQ PBQF(122t)t 2t即yt 2tyt 2t(t3)2当t3秒时，y有最大值为厘米2当Q在CD上，即 t 时SPBQ PBCE(122t)6366t即y366t此时y随t的增大而减小故当t秒时，y有最大值为36616厘米2综合，得y与t的函数关系式如下：（ t ）（0 t ）y16，当t3秒时，y有最大值为厘米2 12解：（1）由题意得 解得所求抛物线的解析式为yx 22x3； EFOCABxy（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(1，)或P(1，)或P(1，6)或P(1，)； （3）解法一：过点E作EFx轴于点F，设E(m，m 22m3)（3 a 0）则EFm 22m3，BFm3，OFm S四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)9分m 2m(m)2当m时，S四边形BOCE 最大，且最大值为此时y()22()3此时E点的坐标为(，) 解法二：过点E作EFx轴于点F，设E(x，y)（3 x 0）则S四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(3x) y(3y)(x)(yx)(x 23x3)(x)2当x时，S四边形BOCE 最大，且最大值为此时y()22()3此时E点的坐标为(，)13解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a该抛物线的解析式为y(x1)2即yx 2x （2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点xD1，yD1 21点D的坐标为(1，)如图，过点D作DNx轴于N，则DN，AN3，AD6DAO60OMADDCMyOABQFNEPx当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形OP6t6（s）当D