数学论文曾建2.doc

密 级 公 开 本科生毕业（学位）论文有关中学数学极值问题的研究曾 建(2007051247)指导教师姓名：罗泽龙职 称：单 位：数学系专 业 名 称：数学与应用数学论文提交日期：2011年 月 日论文答辩日期：2011年 月 日学位授予单位：黔南民族师范学院答辩委员会主席：论 文 评 阅 人：2011 年 月 日有关中学数学极值问题的研究曾 建(2007051247)（黔南民族师范学院数学系，贵州 都匀 558000）【摘要】函数是中学数学的重要基础知识，对函数问题的研究贯穿中学数学的始终，函数的极值又是函数的一个重要性质，并在生产、生活和社会实践中有着广泛应用。苏教版普通高中课程标准实验教科书选修22导数及其应用一章以基本初等函数为载体，介绍了导数的概念、几何意义以及运用导数研究函数的单调性与极值等内容。下面我们一一的介绍有关中学数学极值一些的问题。 【关键词】极值；导数；奇偶零点；单调性The Extremum Questions About The Middle School MathematicsZeng Jian(2007051247)(Southern Guizhou National Normal College Mathematics,Duyun 558000 Guizhou)【 Abstract 】function is the important foundation for middle school mathematics knowledge, the research on function problem throughout the middle school mathematics, the function extreme value is always an important function in nature, and production, life and social practice has been widely used. Sue o clock ordinary high school curriculum standard experimental textbook take 2-2 derivative and its application chapter for the carrier with the basic elementary function, this paper introduces the concept of derivative, geometric meaning, and applying derivative research monotonicity of functions and extremum, etc. Below we introduced one about the middle school mathematics extremum some problems.【 Key words 】extrema； derivative； parity zero； monotonicity 引言： 函数在中学数学中占有重要的位置，函数的极值更是重中之重，它能帮助学生解决求单调区间，求最值，研究函数的图像等提供一种重要的工具，甚至在圆锥曲线中求最小距离也有运用。关于极值的求解方法有很多，其中最主要的是利用导数求出零值点。下面我将介绍函数极值点的本质特征，以及一些无理函数极值的探讨。 1 一般函数极值点的本质特征 苏教版普通高中课程标准实验教科书借助几何直观，用自然语言给出了一般函数极值的描述性定义：若函数图象在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，时我们称为函数的一个极大值，为函数的一个极大值点；类似的，若函数图象在点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”(函数由单调递减变为单调递增)，这时我们为函数的一个极小值，为函数的一个极小值点该定义给出了判断极值点的充要条件，揭示了一般函数极值点的本质特征：极值点附近左侧与右侧函数单调性相反2 可导函数极值点的本质特征 根据上述定义，利用导数的几何意义以及导数与单调性、导数与极值点的关系不难得出可导函数极值点的本质特征：若在开区间I内可导，则是极值点的充要条件是， 并且在附近左侧与右侧导函数异号。但对于可导函数，某点处导数为零是该点为原函数极值点的必要非充分条件，也就是可导函数在极值点处导数为零，但导数为零的点(即导函数的零点)不一定是原函数的极值点，如在处的情形。按照等价转化原则，一般地，求解可导函数极值点问题的解题程序为：先求的导数，再求的零点，最后逐一检验这些零点是否满足上述条件，这一点教科书上的例题多以表格形式来说明。但实际解题中最后一步的检验常常被忽略，这有时会造成漏解，特别是对于多项式函数问题。通过下面的解题案例我们可以看出由不等价转化所带来的疏漏。 例1 函数在处取得极值，求的解析式许多参考书和绝大多数学生的解答过程如下:解：由题意可得，,即解得所以例2 已知函数是的一个极值点，函数在区间上是减函数，求的取值范围。大多数学生的解答过程如下：解：，由，得，又 ，将带入得，由，根据题意，有，所以，所以(部分同学仅转化为因为，从而得出)例1解答结果是正确的，而例2的解答结果不完全正确，其正确答案应该是且。上述解题案例都是将函数极值点这一条件转化为导函数零点来求解，并且最终都没有检验导数的零点是不是极值点，显然这种转化是不等价转化。两题均需增加检验这一步骤：例l的解答需做如下补充：由得易知，附近左侧与右侧导函数异号，是的极值点，符合题意。例2的解答需做如下修正：由得出，再将代回，得，假设也是的根，则，此时（）（）-+递减递增递增由上表可知，此时并不是的极值点，与已知矛盾，所以不可能是的根，从而，所以正确答案是且。 但是按部就班的检验有时比较繁琐，常常使学生望而却步那么有没有简便易行的检验方法呢?多项式函数作为一个特殊的基本初等函数，它的极值点应该具有更丰富的内涵其实只要我们关注一下导函数零点的重数，就不难发现多项式函数极值点的本质特征：导函数的奇重零点必为原函数的极值点，偶重零点必不为原函数的极值点 。对这一结论的探究过程可以遵循从特殊到一的规律，若能借助几何画板作出几个具体的多项式函数导函数(仍为多项式函数)的图像，通过对图像的观察则更容易得出结论例如，对于函数，有一个二重零点，在处的图像与轴相切，附近左侧与右侧导数同号，所以不是函数的极值点；对于函数，有一个三重零点在处的图像穿过轴，附近左侧与右侧导数异号，所以是函数的极值点；于是我们可以猜想：对于多项式函数，导函数的奇重零点必为原函数的极值点，偶重零点必不为原函数的极值点。其实这可以在中学数学杂志（高中版）2009年第3期上找到证明，苏州市第三中学周国华老师发表的多项式函数极值点的本质-导函数的奇重零点。由于函数的零点不是奇重零点便是偶重零点，对于多项式函数而言，导函数的奇重零点是原函数的极值点本质特征。根据这一本质特征，对于上述解题案例中的最后一步检验，我们只要将导函数的表达式分解因式，根据零点的重数就可以知道结论是否合理，而不必再按部就班地列表判断导函数的符号，如上述例2中时，从就可以断定偶重零点不是的极值点，与已知矛盾，从而。这就是我们要寻求的简便易行的检验方法这一本质特征还可以帮助我们很快抓住问题的实质。下面这个例子将更使我们感觉这一方法的简易：例3 设函数，当时，的最大值为，求的表达式简析，由得或。尽管但由于是的偶重零点，它不是的极值点，不改变的单调性，所以本题只需围绕奇重零点是否在区间一l，1内分三种情况讨论即可，解答从略。用多种方式表征数学概念，丰富学生对数学概念的内部表征，可以促进数学理解，揭示概念的本质特征，提高教学效率，更能启迪和引导学生。 3 对几类无理函数极值的探讨无理函数是含有无理数的函数，自变量包含在根式（通常是最简根式）中的函数。下面我们将看几类无理函数极值的探讨。类型1 ，这种类型题通过代换可化为二次函数进行讨论类型2 且，这种类型题通过三角代换可化为三角函数进行讨论例1 求下列函数的极值：(1) ；(2)；解：(1)设，则， 当 时，。(2) ，设 则有， 由 知 类型3 且这种类型题当时可利用函数的单调性进行讨论；当时通过三角代换可化为三角函数进行讨论 例2 求下列函数的极值：，解： ，可设，则，又 ， ，。上面讨论了三类无理函数极值的求法，可以化为二次函数进行讨论，可以通过三角代换转化为三角函数进行讨论，还可以利用函数的单调性进行讨论。通过这些转换我们不仅仅是求出了函数的极值，这更为我们求这类函数的值域提供了一种方法，也为某些复杂的综合题目中需要求出值域才能做出后面的题提供了一个平台。结束语 极值