9等腰三角形的存在性问题解题策略.doc

等腰三角形存在性问题1.（2009重庆）26已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E。（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边 与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐ABCOExyD 标；若不存在，请说明理由。26解：（1）由已知，得，（1分）设过点的抛物线的解析式为将点的坐标代入，得将和点的坐标分别代入，得（2分）解这个方程组，得故抛物线的解析式为（3分）（2）成立（4分）点在该抛物线上，且它的横坐标为，yxDBCAEEOFKGG点的纵坐标为（5分）设的解析式为，将点的坐标分别代入，得 解得的解析式为（6分），（7分）过点作于点，则，又，（8分）（3）点在上，则设，若，则，解得，此时点与点重合（9分）若，则，解得 ，此时轴与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为（10分）若，则，解得，此时，是等腰直角三角形yxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)过点作轴于点，则，设，解得（舍去）（12分）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或2、（2011漳州）如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将OAB绕点O逆时针方向旋转90后得到OCD（1）填空：点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（2，0）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化-旋转；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）把x=0，y=0分别代入解析式求出A、B的坐标，即可得出C、D的坐标；（2）根据勾股定理求出CD，证BMCDOC，得到比例式即可求出答案；（3）有两种情况：以BM为腰时，满足BP=BM的有两个；过点M作MEy轴于点E，证BMEBCM，求出BE、PE，进一步求出OP即可；以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，根据等腰三角形的性质求出即可解答：（1）解：y=2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，A（1，0），B（0，2），将OAB绕点O逆时针方向旋转90后得到OCD，OC=0A=1，OD=OB=2，点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（2，0），故答案为：0，1，2，0（2）解：由（1）可知CD=，BC=1，又ABO=ADC，BCM=DCOBMCDOC，=，即=，BM=，答：线段BM的长是（3）解：存在，分两种情况讨论：以BM为腰时，BM=，又点P在y轴上，且BP=BM，此时满足条件的点P有两个，它们是P1（0，2+）、P2（0，2），过点M作MEy轴于点E，BMC=90，则BMEBCM，=，BE=，又BM=PM，PE=BE=，BP=，OP=2=，此时满足条件的点P有一个，它是P3（0，），以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，由（2）得BMC=90，PFCM，F是BM的中点，BP=BC=，OP=，此时满足条件的点P有一个，它是P4（0，），综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：P1（0，2+）、P2（0，2）、P3（0，）、P4（0，）答：存在，所有满足条件的点P的坐标是P1（0，2+）、P2（0，2）、P3（0，）、P4（0，）3.（重庆市2011年）26如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3。一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t0）。（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t ,使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由。考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在当AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，BC=2，tanCFB=，即tan60=，解得BF=2，即3t=2，t=1，当边FG恰好经过点C时，t=1；（2）当0t1时，S=2t+4；当1t3时，S=t2+3t+；当3t4时，S=4t+20；当4t6时，S=t212t+36；（3）存在理由如下：在RtABC中，tanCAB=，CAB=30，又HEO=60，HAE=AHE=30，AE=HE=3t或t3，1）当AH=AO=3时，（如图），过点E作EMAH于M，则AM=AH=，在RtAME中，cosMAE，即cos30=，AE=，即3t=或t3=，t=3或t=3+，2）当HA=HO时，（如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE，又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1，即3t=1或t3=1，t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点E和点O重合，AE=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0；综上所述，存在5个这样的t值，使AOH是等腰三角形，即t=3或t=3+或t=2或t=2或t=0点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论ABCDKEFOyx4.浙江省2011年 (衢州卷)24、(本题12分)已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图所示。(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；(第24题)(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。24、(1)解法1：由题意易知：BOCCOA ，即 点C的坐标是(0，) 由题意，可设抛物线的函数解析式为 把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得 解这个方程组，得 抛物线的函数解析式为 解法2：由勾股定理，得 又OB=3，OA=1，AB=4 点C的坐标是(0，) 由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入 函数解析式得，所以，抛物线的函数解析式为(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下： 可求得直线的解析式为，直线的解析式为 抛物线的对称轴为直线 由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0) KD=，DE=，EF= KD=DE=EF解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下： 由题意可知RtABC中，ABC=30，CAB=60，则可得 ， 由顶点D坐标(，)得 KD=DE=EF=(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点 点的坐标为(，)，此时为等腰三角形 (ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 (iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D， KD=DC 此时，有点即点D坐标为(，)，使为等腰三角形； 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，MCK为等腰三角形。解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，MCK为等腰三角形。 理由如下： (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，) 又点C的坐标为(0，)，则GCAB 可求得AB=BK=4，且ABK=60，即ABK为正三角形 CGK为正三角形 当与抛物线交于点G，即AB时，符合题意，此时点的坐标为(，) (ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，CKD=30，易知KDC为等腰三角形 当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，) (iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，MCK为等腰三角形。5.（2011年盐城市）28（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由（备用图）【答案】（1）根据题意，A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7B（7，0）. （2）当P在OC上运动时，0t4.由SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得(3+7)4-3(4-t)- t(7-t)- t4=8整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4t7. 由SAPR= (7-t) 4=8，得t=3（舍） 当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. 当P在OC上运动时，0t4. 此时直线l交AB于Q。AP=，AQ=t，PQ=7-t当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0 t=13 (舍) 当P在CA上运动时，4t7. 此时直线l交AO于Q。过A作ADOB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E，则QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cosOAC= = ，得AQ = (t-4)当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = . 当AQ=PQ时，AEPE，即AE= AP得t-4= (7-t)，解得t =5. 当AP=PQ时，过P作PFAQ于FAF= AQ = (t-4). 在RtAPF中，由cosPAF ，得AF AP即 (t-4)= (7-t)，解得t= .综上所述，t=1或 或5或 时，APQ是等腰三角形. 6. （2011浙江台州，24,14分）已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。（1）如图1，求抛物线的伴随直线的解析式；（2）如图2，若（m0）的伴随直线是y=x3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线的伴随直线是y=2x+b（b0），且伴随四边形ABCD是矩形。 用含b的代数式表示m,n的值； 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1) k=-2 ,b=5 直线AB的解析式为y=-2x+5 (2) 由伴随直线是y=x3，得：A(0，-3)，C(0，3) AC=6 由伴随四边形的面积为12，得：ABC的面积为6= m=2 m0 m=2 当m=2时，y=-1，顶点为（2，-1），且过点C（0，3）抛物线的解析式为y=。 (3) 如图，作BEx轴，由题意，得： A（0,b）,C (0,-b)抛物线的顶点B（m,n）在y=2x+b（b0）上，n=-2m+b B(m, -2m+b)在矩形ABCD中，OC=OB OC2=OB2即：m(5m-4b)=0m1=0(舍去)，m2=n=-2m+b= ,； 存在，有4个点：(，),( ，),( ，),( ，) 例1 2008年温州市中考第24题7（本题14分）如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ABCDERPHQ（第24题图）（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由24 （本题14分）解：（1），点为中点，（2），即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM21当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，ABCDERPHQ当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形 8.（ 2008年重庆市中考第28题）（10分）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ。当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。28题图9（09江西）如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC