十一 探索与开放性问题

探索与开放性问题一 条件探求型这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不唯一的,需要解题者从结论出发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予以确认.这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件或充要条件.例1 (05年上海高考)对定义域是的函数,规定:函数，(1)若函数,写出函数的解析式；(2)求问题(1)中函数的值域；(3)若,其中是常数,且,请设计一个定义域为的函数及一个的值,使得,并予以证明. 解析:(1).(2).(3)由,令,.则.或,.则.评注:第(3)小题属于条件探索型创新题,从三角函数的有关性质出发,适当赋值,反复尝试是求解的关键.二 结论开放型 这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚至是不确定的,需要解题者从已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论.例2 (2001年上海卷)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用益个单位量的水可洗掉蔬菜上残留量的,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.(1)试规定的值,并解释其实际意义.(2)试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质.(3)设,现有单位量的水可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.解析:(1)(2)是减函数.(3),.时,;时,;时,.三 条件和结论都开放型有些题目条件和结论都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情境,要求解题者在题目给出的情境中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.例3 (1999年上海卷)若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是_.(只需写出一个可能的值) 解析:例4 (1999年全国卷)是两个不同的平面,是平面之外的两条不同直线,给出四个论断：,.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.解析:四个垂直关系包含了空间所有三种垂直,由于线线垂直、面面垂直较为单一,所以首先想到结论分别是或,得到的两个命题易证是正确的.四 解题策略开放型:一般的题目,题型与方法相对是固定的,所以解题者可以根据题目的条件和结论,根据固有的解题模式确定解题策略,能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策,这是一种解题策略开放与发散的题型.例5 对于函数,若同时满足以下条件:在上单调递增或单调递减；存在区间使在上的值域是.那么,我们把函数叫做闭函数.(1)求闭函数符合条件的区间；(2)判断函数是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间；若不是,说明理由；(3)若是闭函数,求实数的取值范围.解析:(1)是单调递减函数,易知取.(2)分析:函数,可看成是两个单调递增基本函数与的差.对于函数2开始递增快,后来递增慢,故整个函数可能不单调.,不具有单调性,故它不是闭函数.(3)显然是单调函数,若它是闭函数,则方程有两个不相同的实数解,也等价于两函数与的图象有两个不同的交点,如图,当直线过时,；直线与抛物线相切时,.评注:一个新数学概念依靠定义产生了,从而形成了数学的一部分知识内容,所以我们要重视对新概念定义的转化,转化为熟悉问题给予解决.但也有些题目,并不是按照“题型加方法”的思维定势编拟的,题目的背景比较新颖,解题的要求比较开放,有时需要实际操作和巧妙设计,这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力.专项模拟试题1下列五个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点分别为其所在棱的中点,能得出面的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)2 关于函数有下列命题：(1)由可得必是的整数倍；(2)的表达式可改写为；(3)的图像关于点对称；(4)的图像关于直线对称其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确的命题的序号都填上)3 如图,在直四棱柱中,当底面四边形满足条件_时,有.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形)4 老师给出一个函数四个学生甲,乙,丙,丁各指出这个函数的一个性质:甲.对于都有; 乙.在上是减函数;丙.在上是增函数; 丁.不是函数的最小值.如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数.5 用个不同的实数可得到个不同的排列,每个排列为一行写成一个行的数阵,对第行,记,.例如:用可得到数阵如右,由于此数阵中每一列之和都是,所以,.那么,在用形成的数阵中,.6 已知函数的图象如图,则( ). 7 设函数的定义域为,如果对于任意的,存在唯一的,使为常数)成立,则称函数在上均值为.现给出下列四个函数:；.则满足在其定义域上均值为2的函数有个 个 个 个 8 设是内任意一点,表示的面积,定义,若是的重心,则( )点在内 点在内点在内 点与点重合9 定义:若函数对于其定义域上的某一点,有,则称是的一个不动点.已知函数.(1)当时,求函数的不动点；(2)若对任意的实数,函数恒