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第八章 静定结构的内力与内力图 【教学要求】1、理解静定结构的概念；2、掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的组合结构内力计算方法；3、熟悉各结构的受力特点【重 点】 掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的内力计算【难 点】 掌握平面刚架静定拱的内力计算【授课方式】 课堂讲解通过讲解例题熟练掌握。【教学时数】 共计10学时【教学过程】8.1静定平面刚架 3学时8.2 三铰拱的内力与合理拱轴线方程 2学时8.3静定平面桁架 3学时8.4静定结构内力计算小结及习题 1学时8.5组合结构内力计算 1学时【小 结】【课后作业】8.1 静定平面刚架8.1.1 静定平面刚架的特点刚架(亦称框架)是由横梁和柱共同组成的一个整体承重结构。刚架的特点是具有刚结点,即梁与柱的接头是刚性连接的，共同组成一个几何不变的整体。如图a所示简支刚架，b所示悬臂刚架，2在受力方面，由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。8.1.2 静定刚架的分类：简支刚架，悬臂刚架，三铰刚架8.1.3 静定刚架的内力计算及内力图1、内力计算（1）利用平衡条件（2）内力：剪力、轴力、弯矩2 内力图的绘制（1）对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。 （2） 在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。（3）为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个脚标，第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示杆的另端。如AB杆A端的弯矩记为MAB，B端的弯矩记为MBA；CD杆C端的剪力记为QCD 、D端的剪力记为QDC等等。注意： 全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力平衡条件进行校核。绘制刚架内力图时应注意的问题：（1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。（2）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后截面法计算。（3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。（4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。（5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。【例8.1】计算悬臂刚架刚的内力图Q图ABCD2m2m4mP=40kNq=20kn/mm40kN(-)40kN(+)N图80kNm(-)M图40kNm40kNm80kNm注意：悬臂梁不用求支反力。解：（1）求各杆端的杆端内力 （2） 逐段做内力图。【例8.2】 计算三铰刚架的内力图 图8-3解 （1）求支座反力。以刚架整体为研究对象，其受力图如图8-3b所示。由平衡条件得，20636=0=KN（），206=0= KN（）,将刚架从铰C处拆开，取左半个刚架为研究对象（图8-3c），由平衡条件得，-=KN=KN（2）画内力图。AD段的受力图如图8-3d所示，由平衡条件得（外侧受拉）弯矩图在AD段为直线，如图6-34a所示。（负剪力）KN （压力）剪力图和轴力图在AD段均为平行于轴线的直线，如图8-4b、c所示。 DC段的受力图如图8-3e所示。DC段可视为悬臂梁，以图8-3c的半个刚架为研究对象，求出较C处的约束力。由平衡条件得，=0=18KN，203=0=0DC段相当于受有轴向压力的悬臂梁，在求得杆端内力后，即可方便地画出其内力图。由图8-3e可算出，=90KNm (上部受拉)，(正剪力)KN （压力）内力图分别如图8-4a、b、c所示。图8-4注意：求支反力时，应先以整体结构为分离体求出两个竖向的支反力，再以部分结构为分离体求出其余的支反力。由以上例题计算可知：在刚节点处无外力偶作用时，两杆端弯矩相等且同侧受拉。一般经过刚节点平衡的校核，只能证明在刚节点处的内力计算无误。为进一步检查刚架内力图是否正确，还可以从刚架中截取任一杆件 ，检查是否满足平衡条件，已达到校核内力图的目的。静定刚架内力图的绘制方法可归纳如下：1、求支反力；2、求各杆端的内力值，将刚架在刚节点处用垂直于杆轴线的截面截成若干杆件-梁或柱，根据其平衡条件，分别画出单个杆件的内力图。3、逐杆作内力图。4、内力图的校核。可截取某刚节点或某杆端为分离体，并验算它是否满足平衡条件。【小 结】计算刚架内力时：先用垂直于杆轴的截面将刚架截成若干段梁或柱，截面上的未知内力一般有剪力、弯矩和轴力；再用静定平衡方程求出杆端内力，然后根据内力图的规律分段画出内力图；最后可截取某刚节点或某杆段，用静力平衡条件校核。【课后作业】 教材：P166,习题1.8.2 三铰拱的内力与合理拱轴线方程8.2.1 概述1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。图8-7（b）. (a) (b) 图8-7 2、拱与曲梁的区别拱是杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力的结 构3、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（2）用料省、自重轻、跨度大。（3）可用抗压性能强的砖石材料。（4）构造复杂，施工费用高。 4、工程实例 广泛用于桥梁建筑外，在房屋建筑体育馆大跨度建筑使用。5、拱的分类 三铰拱，两铰拱，无铰拱。6、拱的组成 图 8-88.2.2 三铰拱的内力计算1、支反力的计算lP1P2ABCl/2l/2f 图8-9 三铰拱的竖向反力与其等代梁的反力相等;水平反力与拱轴线形状无关.荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比.比较拱与相应的简支梁可得2、内力计算拱的内力计算时，仍按截面法计算，且截面应与拱轴垂直，该截面的位置由截面形心的坐标x、y及该截面处拱轴切线的倾角来确定。 由于推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小。三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。三铰拱内力计算举例例8.3 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物曲线 ：q=10kn/m,M=100kn.m,求拱各截面之内力。 图 8-11(2）内力计算 ：一般先将共轴沿水平方向分成若干等分，求出各等分点截面的内力后，即可绘出内力图。先以x=12m的6截面左侧为例说明计算步骤。（3）截面的几何参数：根据拱轴线方程（4）6截面左侧的内力提问：6截面右侧的内力与左侧内力是否相同？例8.4试求图所示三铰拱K截面的内力，设拱轴方程图 8-12 注意：竖向荷载推导的公式在计算水平荷载作用下的内力时不适用。8.2.4 三铰拱合理拱轴的概念1、合理拱轴的概念：（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。例8-5 试求如图8-13a所示三铰拱在满跨均布荷载作用下的合理拱轴。解 作出相应简支梁如图8-13b所示，其弯矩方程为由式求得水平推力为由式可得合理拱轴的轴线方程为 图8-13由此可见，在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴是二次抛物线。应当注意，三铰拱的合理拱轴只是对一种荷载情况而言的，不同的荷载有不同的合理拱轴。工程中，拱可能受到多种荷载的作用，通常以主要荷载作用下的合理拱轴作为拱轴线。【小 结】拱是一种外形为曲线且在竖向荷载作用下产生水平推力的结构。水平推力是拱的力学特性。拱的内力一般有剪力、弯矩和轴力。由于水平推力使拱的弯矩比对应简支梁的弯矩小很多，还可采用合理拱轴，使拱在给定荷载作用下处于无弯矩状态。拱是主要承受压力的结构，【课后作业】教材：P166,习题2。8.3 静定桁架的内力计算8.3.1 概述1、桁架的简化计算 1）、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等）。 2）、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。 3）、取桁架计算简图时采用的假定： （1）各杆两端用理想铰联结； （2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 通常把理想情况下计算出的内力称为“主内力”；因理想情况不能完全实现的而出现的内力称为“次内力”。2、桁架各部分的名称及分类1）、名称：上弦杆下弦杆竖杆斜杆桁高（h)节间长度(d)跨度（l） 图8-142）、分类：（1）按外形分： 平行弦、折弦、三角形、梯形等。（2）按竖向荷载作用下支座是否产生水平推力分： （a）无推力桁架（梁式桁架）； （b）有推力桁架（拱式桁架）。（3）按几何组成分： a)简单桁架：由基础或基本铰结三角形开始，依次增加二元体而形成的桁架。 b)联合桁架：若干个简单桁架按几何不变体系组成规则铰结而成的桁架。 c)复杂桁架：不属于以上两类的静定桁架（可采用“零载法”分析）。8.3.2 静定平面桁架的内力计算1、结点法 1）、定义：利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。 2）、实质：作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。 3）、注意点： （1）一般结点上的未知力不能多余两个。 （2）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。（3）应用结点法时，利用结点平衡的特殊情况，常可以简化计算。常见的几种特殊情况如下： 不共线的两杆结点，无外力作用时，两杆的内力都等于零（图8-15a）。 不共线的两杆结点，当外力F沿其中一杆的方向作用时，则该杆内力等于外力F，而另一杆的内力为零（图8-15b）。图 8-15 无外力作用的三杆结点，其中两杆共线，则第三杆的内力为零，共线的两杆内力相等且性质相同，同为拉力或压力（图8-15c）。 无外力作用的四杆结点，其中两杆共线，不共线的两杆与共线的两杆夹角相等（这种结点可称为“K”形结点），则不共线的两杆内力相等，符号相反（图8-15d）。 两两共线的四杆结点（“X”形结点），无外力作用时，则在同一直线上的两杆内力相等且性质相同，同为拉力或压力（图8-15e）。上述结论均可由结点的平衡条件得出。桁架中内力为零的杆件称为零杆。利用上述结论可判断图8-16a、b中用虚线绘出的杆件为零杆。图8-16桁架中的零杆在施工时切不可“精减”，各零杆仍起着重要的构件作用，更何况按计算简图算出的零杆，其真实内力未必为零。解：（1）求支座反力 校核：（2）以各节点为研究对象，求各杆的内力。（3）将计算结果标在桁架计算简图上：2、截面法1）、定义：截取桁架的一部分（至少两个结点），利用平衡条件求解桁架内力的方法。2）、实质：作用在隔离体上的各力组成一平面任意力系。3）、注意点：（1）一般隔离体上上的未知力不能多余三个。（2）技巧：选取平衡方程时，最好使一个方程只含一个未知数。4）、截面法举例：例8.6：试求图示桁架杆25、35、34之轴力。解：求出支座反力后，作1-1截面，研究其左半部：（1）： （2）将轴力N35移至结点5处沿x、y方向分解后： （3）将轴力N34移至结点4处沿x、y方向分解后： 8.3.3几种桁架受力性能的比较 不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下面就常用的三种桁架加以比较。 1.平行弦桁架 内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同， 便于标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。2. 抛物线形桁架：内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造上复杂。大跨度桥梁(100150m)及大跨度屋架(18-30m)中常采用。 3. 三角形桁架：内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶要求，在屋架中常采用。【小 结】桁架的突出优点是每根杆只承受轴力，横截面上的正应力均匀分布，能充分发挥材料的作用，从而取得较好的经济效果。桁架比梁能跨越更大的跨度、承受更大的荷载，但制作和施工比梁复杂。计算桁架的内力可用节点法和截面法。节点法是截取一个节点为研究对象，每一个节点都是一个平面汇交力系，利用平衡条件可求解两个未知轴力。截面法是截取部分桁架（包括两个或两个以上节点）为研究对象，这部分桁架上的已知荷载、反力和未知轴力构成平面一般力系，然后用静力平衡条件求解三个未知轴力。【课后作业】 教材：P167,习题4、5。8.4 静定平面组合结构的内力计算1. 组合结构的概念：由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合组成的结构。2. 组合结构的计算步骤：（1）求支座反力；（2）计算各链杆的轴力；（3）分析受弯杆件的内力。例题8.7 分析此组合结构的内力。解： 1. 由整体平衡条件求出支反力。 2. 求各链杆的内力：作截面拆开C铰和截断DE杆，取右部为隔离体。VCHC由MC=0 有38SDE2=0SDESED=12kN(拉）再考虑结点D、E的平 衡可求出各链杆的内力。再考虑结点D、E的平 衡可求出各链杆的内力。3. 分析受弯杆件取AC杆为隔离体，考虑其平衡可求得：HC=12kNVC=3kN并可作出弯矩图。AC12kN6kNF6kNHCVC=12kN=3kN8kN120ABC1kN6kN8kN3kN6kN0【小 结】对于静定组合结构的计算仍采用截面法。但是应注意区分两类杆件，只要两端铰接的二力直杆才是桁架杆，若中间有外力作用，或中间与其它杆件相连，或两端铰接的二力折杆均为刚架杆。若截断的杆件为桁架杆，截面上只有轴