高考数学冲刺总复习六大专题分析及解题策略

1 高考数学冲刺总复习 共分六大专题 高考数学冲刺总复习 共分六大专题 专题一 三角与向量的题型分析及解题策略专题一 三角与向量的题型分析及解题策略 例例 1 分析分析 根据向量的坐标确定平行公式为 再代入已知解析式可得 还 可以由向量的坐标得图象的两个平移过程 由此确定平移后的函数解析式 经对照即可作 出选择 解析解析 1 由平移向量知向量平移公式 即 代入 y sin2x 得 y 3 sin2 x 即到 y sin 2x 3 由此知 B 3 故选 C 6 3 3 解析解析 2 由向量 3 知图象平移的两个过程 即将原函数的图象整体 a 6 向左平移 个单位 再向下平移 3 个单位 由此可得函数的图象为 y sin2 x 3 即 6 6 y sin 2x 3 由此知 B 3 故选 C 3 3 例例 2 分析分析 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式 由于可求得 A 角的正弦值 再根据角的范围即可解决第 小题 而第 小题根据第 小题的结果 及 A B C 三个角的关系 结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式 再根据 B 的范围求最值 解解 共线 2 2sinA 1 sinA cosA sinA cosA sinA 则 p q sin2A 3 4 又 A 为锐角 所以 sinA 则 A 3 y 2sin2B cos 2sin2B cos C 3B 2 2sin2B cos 2B 1 cos2B cos2B sin2B 3 1 2 sin2B cos2B 1 sin 2B 1 1 2 6 B 0 2B 2B 解得 B ymax 2 2 6 6 5 6 6 2 3 2 例例 3 分析分析 第 小题从向量垂直条件入手 建立关于 的三角方程 再利 用同角三角函数的基本关系可求得 tan 的值 第 小题根据所求得的 tan 的结果 利用 二倍角公式求得 tan 的值 再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果 2 解解 0 而 3sin cos 2sin a b a b a b 5sin 4cos 故 6sin2 5sin cos 4cos2 0 a b 由于 cos 0 6tan2 5tan 4 0 解之 得 tan 或 tan 4 3 1 2 2 tan 0 故 tan 舍去 tan 3 2 1 2 4 3 2 3 2 2 3 4 由 tan 求得 tan tan 2 舍去 sin cos 4 3 2 1 2 2 2 2 cos cos cos sin sin 2 3 2 3 2 3 1 2 例例 4 分析分析 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第 小题 而 第 小题则可变角 然后就须求 sin 与 cos 即可 解解 2 2 2 a b 2 5 5 a a b b 4 5 将向量 cos sin cos sin 代入上式得 a b 12 2 cos cos sin sin 12 cos 4 5 3 5 0 0 2 2 由 cos 得 sin 3 5 4 5 又 sin cos 5 13 12 13 sin sin sin cos cos sin 33 65 例例 5 分析 分析 利用向量内积公式的坐标形式 将题设条件中所涉及的向量内积转 化为三角函数中的 数量关系 从而 建立函数 f x 关系式 第 小题直接利用条件 f 2 可以求得 而第 小题利用三角函数函数的有界性就可以求解 2 解 解 f x m 1 sinx cosx a b 3 由 f 2 得 m 1 sin cos 2 解得 m 1 2 2 2 由 得 f x sinx cosx 1 sin x 1 2 4 当 sin x 1 时 f x 的最小值为 1 42 例例 6 分析分析 第 小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程 再 利用二倍角公式求得 A 角 然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b c 的方程 组求取 b c 的值 第 小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式 进 而求得 b c 的范围 解解 cos sin cos sin 且 m A 2 A 2 n A 2 A 2 m n 1 2 cos2 sin2 即 cosA A 2 A 2 1 2 1 2 又 A 0 A 2 3 又由 S ABC bcsinA 所以 bc 4 1 23 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos b2 c2 bc 16 b c 2 故 b c 4 2 3 由正弦定理得 4 又 B C A b sinB c sinC a sinA 3 b c 4sinB 4sinC 4sinB 4sin B 4sin B 3 3 0 B 则 B 则 sin B 1 即 b c 的取值范围是 2 4 3 3 3 2 3 33 专题训练专题训练 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 解析解析 由数量积的坐标表示知 cos40 sin20 sin40 cos20 sin60 a b 3 2 2 D 解析解析 y 2sin2x y 2sin2 x 即 y 2sin2x 2 2 2 2 3 A 解析解析 因为 cos BAC 0 BAC 为钝角 4 B 解析解析 由平行的充要条件得 sin cos 0 sin2 1 2 90 45 3 2 1 3 5 B 解析解析 sin sin sin sin 0 a b 3 2 a b a b 4 6 A 解析解析 6 4 2 代入 y sinx 得 4 2 sin 1 解 c a b 12 2 得 5 2 7 B 解析解析 考虑把函数 y sin x 的图象变换为 y cosx 的图象 而 y sin x 5 6 5 6 cos x 即把 y cos x 的图象变换为 y cosx 的图象 只须向右平行 个单位 3 3 3 所以 m 故选 B 3 8 C 解析解析 3 P1P2 2 sin cos 2 2 cos sin 210 8cos 2 9 D 解析解析 cos cos sin sin cos cos sin sin a b a b cos2 cos2 sin2 sin2 0 a b a b a b a b 10 C 解析解析 2 2 t2 2 2t 1 t2 2t sin20 cos25 cos20 sin25 t2 u a b a b t 1 t 2 min 2 1 2 u2min 1 2 u 11 C 解析解析 设 BC 的中点为 D 则 2 又由 AB AC AD OP OA AB AC 2 所以与共线 即有直线 AP 与直线 AD 重合 即直线 AP 一定通过 AP AD AP AD ABC 的重心 12 A 解析解析 设 x y x 轴 y 轴 z 轴方向的单位向量分别为 1 0 0 1 a i j 由向量知识得 cos cos 则 cos2 cos2 1 二 填空题二 填空题 13 解析解析 由 得 m n sin 2cos tan 4 sin2 1 233 2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1 14 解析解析 5 10cos co s 10sin sin 5 10cos OA OB 5 cos sin AOB 又 2 5 S AOB 2 5 1 2 OA OB 1 2 15 1 解析解析 要经过平移得到奇函数 g x 应将函数 f x tan 2x 1 的图 6 3 5 象向下平移 1 个单位 再向右平移 k Z 个单位 即应按照向量 k 2 6 1 k Z 进行平移 要使 a 最小 a k 2 6 16 1 0 或 0 1 解析解析 设 x y 由 1 有 x y 1 由 n m n 与夹角为 有 cos 1 则 x2 y2 1 由 解得 m n 3 4 m n m n 3 4 n 或 即 1 0 或 0 1 n n 三 解答题三 解答题 17 解解 bccosA cacosB AB AC BA BC 又 bccosA cacosB AB AC BA BC 由正弦定理 得 sinBcosA sinAcosB 即 sinAcosB sinBcosA 0 sin A B 0 A B A B 0 即 A B ABC 为等腰三角形 由 知 bccosA bc ba AB AC b2 c2 a2 2bc c2 2 c k 1 2 18 解解 由题意得 sinA cosA 1 2sin A 1 sin A m n3 6 6 1 2 由 A 为锐角得 A A 6 6 3 由 知 cosA 所以 f x cos2x 2sinx 1 2sin2x 2sinx 2 sinx 1 2 1 2 2 3 2 因为 x R 所以 sinx 1 1 因此 当 sinx 时 f x 有最大值 1 2 3 2 当 sinx 1 时 f x 有最小值 3 所以所求函数 f x 的值域是 3 3 2 19 解解 由 得 2sin2A 1 cosA 0 即 2cos2A cosA 1 0 cosA 或 m n 1 2 cosA 1 A 是 ABC 内角 cosA 1 舍去 A 3 b c a 由正弦定理 sinB sinC sinA 33 3 2 B C sinB sin B 2 3 2 3 3 2 cosB sinB 即 sin B 3 2 3 2 6 20 解解 由已知得 则 sin cos 3cos 4 2 9sin2 9cos2 3sin 4 2 6 因为 0 3 4 由 3cos 4 3cos 3sin 3sin 4 0 得 sin cos 平方 得 sin2 3 4 7 16 而 2sin cos sin2 2sin2 sin2 1 tan 2sin2 cos 2sin cos2 sin cos 7 16 21 解解 由 得 0 从而 2b c cosA acosC 0 m n m n 由正弦定理得 2sinBcosA sinCcosA sinAcosC 0 2sinBcosA sin A C 0 2sinBcosA sinB 0 A B 0 sinB 0 cosA 故 A 1 2 3 y 2sin2B 2sin 2B 1 cos2B sin2Bcos cos2Bsin 6 6 6 1 sin2B cos2B 1 sin 2B 1 2 6 由 得 0 B 2B 2 3 6 6 7 6 当 2B 即 B 时 y 取最大值 2 6 2 3 22 解解 假设 则 2cosx cosx sinx sinx cosx sinx 0 a b 2cos2x sinxcosx sin2x 0 2 sin2x 0 1 cos2x 2 1 2 1 cos2x 2 即 sin2x cos2x 3 sin2x 3 与 sin2x 矛盾 2 42 42 故向量与向量不可能平行 a b f x cosx sinx cosx sinx sinx 2cosx a b cos2x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x 22 4 x 2x 当 2x 即 x 时 f x 有最大值 4 4 4 4 3 4 4 2 82 当 2x 即 x 时 f x 有最小值 1 4 4 4 7 专题二 函数与导数的题型分析及解题策略专题二 函数与导数的题型分析及解题策略 例例 1 分析分析 根据原函数 y f x 的图象可知 f x 有在两个上升区间 有两个 下降区间 且第一个期间的上升区间 然后相间出现 则反映在导函数图象上就是有两部 分图象在 x 轴的上方 有两部分图象在 x 轴的下方 且第一部分在 x 轴上方 然后相间出 现 解解 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负 只有答 案 A 满足 例例 2 分析分析 先观察所给出的导函数 y f x 的图象的正负区间 再观察所给 的选项的增减区间 二者结合起来即可作出正确的选择 本题还可以通过确定导函数 y f x 的 图象零点 0 2 对应原函数的极大或极小值点来判断图象 解法解法 1 由 y f x 的图象可以清晰地看出 当 x 0 2 时 y f x 0 则 f x 为 减函数 只有 C 项符合 故选 C 解法解法 2 在导函数 f x 的图象中 零点 0 的左侧函数值为正 右侧为负 由可知 原函数 f x 在 x 0 时取得极大值 又零点 2 的左侧为负 右侧为正 由此可知原函数 f x 在 x 0 时取得极小值 只有 C 适合 故选 C 例例 3 分析分析 第 小题先求导函数 f x 由于含有参数 a 根据判别式确定 对 a 的分类标准 进而确定单调区间 第 小题根据第 小题的结果 建立关于 a 的不等式组 由此可确定 a 的范围 解解 由 f x x3 ax2 x 1 求导得 f x 3x2 2ax 1 当 a2 3 时 4 a2 3 0 f x 0 f x 在 R 上递增 当 a2 3 f x 求得两根为 x 则 函数 f x 在区间 上递增 在区间 上递减 在区间 上递增 由 得 且 a2 3 解得 a 2 例例 4 分析分析 先求导函数 f x 然后由 x 1 和 x 2 是 f x 0 的两个根建立 关于 a b 的方程组求解 解解 因为 f x 5x4 3ax2 b 由 x 1 和 x 2 是函数 f x x5 ax3 bx 1 的两个极值点 所以 f 1 0 且 f 2 0 即 解得 a b 20 25 3 点评点评 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系 对于三次函数极值点的 导数一定为 0 但导数为 0 的点不一定是极值点 本题解得充分利用上述关系 通过建立方 程组求得了 a 和 b 的值 8 例例 5 分析分析 先求导函数 f x 然后令 f c 0 及一元二次方程根与系数的 关系可解决第 小题 而解答第 小题须对 k 与 c 进行分类讨论进行解答 解解 f x k x2 c 2x kx 1 x2 c 2 kx2 2x ck x2 c 2 由题意知 f c 0 即得 c2k 2c ck 0 即 c 1 2 k c 0 k 0 由 f 0 0 得 kx2 2x ck 0 由韦达定理知另一个极值点为 x 1 由 式得 c 1 当 c 1 时 k 0 当 0 c 1 时 k 2 2 k 当 k 0 时 f x 在 c 和 1 内是减函数 在 c 1 内是增函数 f 1 0 m f c 0 k 1 c 1 k 2 kc 1 c2 c k2 2 k 2 由 M m 1 及 k 0 解得 k k 2 k2 2 k 2 2 当 k 2 时 f x 在 c 和 1 内是增函数 在 c 1 内是减函数 M f 1 0 m 0 而 M m 1 1 k2 2 k 2 k 1 c 1 k 2 k2 2 k 2 k 2 k 1 2 1 k 2 恒成立 综上可知 所求的取值范围为 2 k 2 例例 6 分析分析 首先求函数 f x 再解方程 f x 0 得两个根 而两根含有参数 但不知两根的大小 因此须分类讨论讨论函数 f x 的单调区间 进而确定 f x 在给定区间上 的最大值 解解 f x 3x2 2ax 令 f x 0 解得 x1 0 x2 2a 3 当 0 即 a 0 时 f x 在 0 2 上单调递增 从而 f x max f 2 8 4a 2a 3 当 2 时 即 a 3 时 f x 在 0 2 上单调递减 从而 f x max f 0 0 2a 3 当 0 2 即 0 a 3 f x 在 0 上单调递减 在 2 上单调递增 2a 3 2a 3 2a 3 从而 f x max 综上所述 f x max 例例 7 分析分析 根据解答分段函数 对号入座 的解题原则 分别利用两段函数表 达式建立不等式可求得第 小题 而第 小题则须先求函数 V t 然后利用导数 与函数最值关系求解 解解 当 0 t 10 时 V t t2 14t 40 e 50 50 化简得 9 t2 14t 40 0 解得 t 4 或 t 10 又 0 t 10 故 0 t 4 当 10 t 12 时 V t 4 t 10 3t 41 50 50 化简得 t 10 3t 41 0 解得 10 t 又 10 t 12 故 10 t 12 41 3 综合得 0 t 4 或 10 t 12 故知枯水期为 1 月 2 月 3 月 11 月 12 月共 5 个月 由 知 V t 的最大值只能在 4 10 内达到 由 V t e t t 4 e t 2 t 8 1 4 3 2 1 4 令 V t 0 解得 t 8 t 2 舍去 当 t 变化时 V t 与 V t 的变化情况如下表 t 4 8 8 8 10 V t 0 V t 极大值 由上表 V t 在 t 8 时取得最大值 V 8 8e2 50 108 32 亿立方米 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108 32 亿立方米 例例 8 分析分析 第 小题直接根据所给函数的解析式进行计算 第 小题 须根据条件建立耗油量为 h x 关于行驶速度 x 的函数关系式 再利用导数的知识进行解答 解解 I 当 x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 100 40 要耗没 403 40 8 2 5 17 5 升 1 128000 3 80 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 II 当速度为 x 千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为 h x 升 100 x 依题意得 h x x3 x 8 x2 0 x 120 1 128000 3 80 100 x 1 1280 800 x 15 4 h x 0 x 120 令 h x 0 得 x 80 x 640 800 x2 x3 803 640 x2 当 x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当 x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当 x 80 时 h x 取到极小值 h 80 11 25 因为 h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它 是最小值 答答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为 11 25 升 专题训练 参考答案 一 选择题 1 D 解析解析 f x 3x2 2ax 3 则 x1 x2 1 2 C 解析解析 f x x2 a 又 f 1 0 a 1 f 1 1 1 1 3 1 3 3 B 解析解析 f x 3x2 3a 由于 f x 在 0 1 内有最小值 故 a 0 且 f x 0 的解 为 x1 x2 则 0 1 0 a 1 aaa 10 4 B 解析解析 f x ax3 bx2 f x 3ax2 2bx 即 令 f x 3x2 6x 0 则 0 x 2 即选 B 5 A 解析解析 由条件 f x 0 知 选择 f x 图象的下降区间即为解 6 A 解析解析 f x cos x 则 3 则由 3x 2k 即 x k k Z 6 6 2 2 3 9 由此可知 x 为 f x 的图象的一条对称轴 9 7 A 解析解析 f x 的图象与 x 轴有 A B O C 四个交点 其中在 A C 处 f x 的值都 是由正变负 相应的函数值则由增变减 故 f x 点 A C 处应取得极大值 在 B 处 f x 的值由负变正 相应的函数值则由减变增 故 f x 在点 B 处应取得极小值 点 O 处 f x 的值没有正负交替的变化 故不是极值点 这就是说 点 B 是唯一的极值点 8 C 解析解析 因为 u logax 0 a 1 在 0 上是减函数 根据函数的单调性的复 合规律得 0 logax 即 a 1 故选 C 1 2a 8 B 解析解析 y cosx xsinx xsinx 令 xsinx 0 则 xsinx 0 各选项中 x 均为 正 只须 sinx 0 故 x 2 9 B 解析解析 f x x2 2ax a2 1 x a 2 1 又 a 0 f x 的图象为第三个 知 f 0 0 故 a 1 f 1 a 1 1 3 1 3 11 B 解析解析 依题意得 f x 是奇函数 在 0 上是增函数 故在 0 上是增函 数 即当 x 0 时 f x 0 g x 是偶函数 在 0 上是增函数 故在 0 上 是减函数 即当 x 0 时 g x 0 12 B 解析解析 令 F x xf x 则 F x xf x f x 由 xf x f x 得 xf x f x 0 即则 F x 0 所以 f x 在 R 上为递增函数 因为 a b 所以 af a bf b 二 填空题 13 4 解析解析 根据导函数对应方程 f x 0 的根与极值的关系及极值的定义易得结果 14 3 a 解析解析 f x x2 ax 2 由题知 解得 3 a 11 3 11 3 15 解析解析 f x 3x2 2bx c f x 在 1 2 上减 f x 在 1 2 上非正 15 2 由 即 15 2 b c 0 b c 15 2 16 解析解析 设直线 L 平行于直线 y x 1 且与曲线 y 2x4相切于点 P x0 y0 5 16 2 则所求最小值 d 即点 P 到直线 y x 1 的距离 y 8x3 1 x0 x0 d 1 2 1 8 5 16 2 三 解答题 17 解解 由已知得f x 6x x a 1 令f x 0 解得 x1 0 x2 a 1 当 a 1 时 f x 6x2 f x 在 上单调递增 当 a 1 时 f x 6x x a 1 f x f x 随 x 的变化情况如下表 x 0 0 0 a 1 a 1 a 1 f x 0 0 11 f x 极大值 极小值 从上表可知 函数 f x 在 0 上单调递增 在 0 a 1 上单调递减 在 a 1 上 单调递增 由 知 当 a 1 时 函数 f x 没有极值 当 a 1 时 函数 f x 在 x 0 处 取得极大值 在 x a 1 处取得极小值 1 a 1 3 18 解解 f x ax3 3x f x 3ax2 6x 3x ax 2 x 1 是 f x 的一个极值点 f 1 0 a 2 当 a 0 时 f x 3x2在区间 1 0 上是增函数 a 0 符合题意 当 a 0 时 f x 3ax x 由 f x 0 得 x 0 x 2 a 2 a 当 a 0 时 对任意 x 1 0 f x 0 a 0 符合题意 当 a 0 时 当 x 0 时 由 f x 0 得 1 2 a 0 符合题意 2 a 2 a 综上所述 a 2 19 解解 由 f x 的图象经过 P 0 2 知 d 2 则 f x x3 bx2 cx 2 f x 3x2 2bx c 由在 M 1 f 1 处的切线方程是 6x y 7 0 知 6 f 1 7 0 即 f 1 1 且 f 1 6 即 解得 b c 3 故所求的解析式是 f x x3 3x2 3x 2 f x 3x2 6x 3 令 3x2 6x 3 0 即 x2 2x 1 0 解得 x1 1 x2 1 当 x 1 或 x 1 时 f x 0 2222 当 1 x 1 时 f x 0 22 故 f x x3 3x2 3x 2 在 1 内是增函数 在 1 1 内是减函数 在 222 1 内是增函数 2 20 解解 令 g x x 1 ln x 1 ax 对函数 g x 求导数 g x ln x 1 1 a 令 g x 0 解得 x ea 1 1 1 当 a 1 时 对所有 x 0 g x