运筹学习题集01

12、已知线性规划的最优解为，试利用互补松弛定理，求对偶问题的最优解。解：原问题的对偶问题为：將代入原问题的约束条件，可得： （1）又由 （2）将结论（1）和（2）结合起来，可解得。13、已知线性规划问题其对偶问题的最优解为、，试用对偶理论求解原问题的最优解。解：原问题的对偶问题为：将对偶问题的最优解代入约束条件，可得： （1）又由 （2）将结论（1）和（2）结合起来，可得： ，解得 即原问题的最优解为。14、用对偶单纯形法求解解：先将原问题改写为：建立单纯形表计算如下：2340003121100421301234000105/21/211/22211/23/201/20410132/5011/52/51/5211/5107/51/52/5009/58/51/5故，原问题的最优解为，。例2.6 有线性规划如下：先用单纯形法求出最优解，再分析以下各种条件下，最优解分别有什么变化：（1）约束条件的右端常数由20变为30；（2）约束条件的右端常数由90变为85；（3）目标函数中的系数由13变为8；（4）的系数列向量由-1, 12T变为0, 5T；（5）和的系数列向量由-1, 12T 、1, 4T变为0, 5T 、2, 1T；（6）增加一个约束条件；（7）将约束条件改变为。解：分别在约束条件和中引入松弛变量和，列单纯形表计算如下：5513000201131020/3090124100195513001330/31/31/311/3020070/346/32/3010/31352/32/3013/305201131001016024100250由此可得，原问题的最优解为，。由单纯形表可知，原问题中。（1）约束条件右端常数此时为，由可知，单纯形表应变为：5513005301131003016024100250515231053/2131580121/21600110323/51/5013/101396/52/5101/10103/51/50013/10由此可得，最优解变为，。（2）约束条件右端常数此时为，由可知，最优基不变，最优解为，。（3）若变为8，则的检验数变为故最优解不变。（4）在原最优解中为非基变量，若的系数列变为，由可知，检验数由0变为5，故最优解不变。（5）在原最优解中为基变量，若和的系数列变为，则在约束中引入人工变量，单纯形表变为：551300MM2002310120/301057241055+2M13+3MM001320/302/311/301/3070/35-17/30-10/312/3-5-11/30-13/30-M-13/3故，最优解为，。（6）若引入一个约束，单纯形表将增加一行。在约束中引入松弛变量，单纯形表变为：551300052011310001016024100502350015201131000101602410010504301002500525/211/4105/403/401527/2005/211/205/25/4013/401/45/2007/201/2由此可得，最优解为，。（7）若约束条件变为，即、的系数分别变为、，b列变为，则由于基变量的系数发生变化，故在约束条件中引入人工变量，单纯形表变为：551300M-M20-11310120/30201412410-5-M5+M13+3MM001320/3-1/31/311/301/3200100/340/35/30-10/312/320-2/32/30-13/30-M-13/3130-3011-1/51/5520810-23/52/5-600-3-2/5-M23/5故，最优解为，。例2.7 试分析当参数变化时，的变化，其中是下述线性规划的最优目标函数值。 解：引入松弛变量、和，令，列单纯形表计算，可得：35000020011/31/3560101/20321001/31/30003/21将代入，可得：3+2t5-t000020011/31/35-t60101/203+2t21001/31/3000-3/2+7t/6-1-2t/3由，可知当参数t从0开始增大到9/7，即时，检验数都保持为非正，故此时最优解保持为，。当参数t开始超过9/7，即时，检验数，但其他检验数仍为非正，此时选择为换入变量，用单纯形表迭代计算可得：3+2t5-t000060031-15-t3013/201/23+2t410100009/2-7t/20-5/2+t/2由，可知当参数时，最优解为，。当参数t开始超过5，即时，检验数，但其他检验数仍为非正，此时选择为换入变量，用单纯形表迭代计算可得：3+2t5-t000012020100602-3013+2t41010005-t-3-2t00由，可知当时，最优解为，。综述所述，可知：例 某个求最大值的线性规划问题的最优单纯形表如下，其中、为松弛变量。20113141101003031（1）写出该问题的最优解；（2）当为何值时，其对偶问题无解？解：（1）最优解为。（2）由最优单纯形表的检验数，可得方程组：，可得。若其对偶问题无解，则原问题为无解或无界解。当变化时，原最优单纯形表中只有检验数将变化，故总是原问题的可行解。因此，要使对偶问题无解，原问题必为无界解。由原最优单纯形表可知，的最终列向量为负，故当，即时，原问题有无界解，其对偶问题无解。例1 已知线性规划的最优单纯形表为250101/21/21310001030011/23/200012（1）写出最优基矩阵及其逆矩阵（2）写出其对偶问题；（3）给出对偶问题的最优解；解：（1）由最优单纯形表，可知，（2）原问题的对偶问题为（3）由原问题变量与对偶问题变量之间的对应关系，以及对偶理论，可知：，即对偶问题的最优解为。例2 已知线性规划的最优单纯形表为6212001284/31/311/300625011102040其中，、分别为第1、2个约束的松弛变量。（1）求出最优基不变的变化范围；（2）求出最优解不变的变化范围；（3）在原问题中增加约束条件，求最优解。解：由原问题的最优单纯形表，可知。（1）记，则由可知，要使最优基不变，只需，即。（2）要使最优解不变，只需保证所有检验数仍保持非正，即，可得，即。（3）在新约束条件中引入松弛变量，在原最优单纯形表中增加一行，可得：62120001284/31/311/300062501100121220011284/31/311/30006250110045/34/30-2/30110204001261/311001/2012-1/23001-3/2065/2-2010-3/20-10000-6故，最优解变为，。例1. 用表上作业法求解下述运输问题。甲乙丙丁产量A1067124B1610599C5410104销量5246解：这是一个产销平衡问题，可用表上作业法求解。用最小元素法求得初始解：甲乙丙丁产量A314B459C224销量5246用位势法计算u和v：甲乙丙丁uiA(10)(12)0B(5)(9)-3C(5)(4)-5vj109812计算非基本变量的检验数：甲乙丙丁uiA-3(6)-1(7)0B9(16)4(10)-3C7(10)3(10)-5vj109812以(A乙)作为调入格，用闭回路调整法计算(A乙)的新运量：甲乙丙丁产量A1214B459C44销量5246用位势法计算非基变量的检验数：甲乙丙丁uiA(10)(6)-1(7)(12)0B9(16)7(10)(5)(9)-3C(5)3(4)7(10)3(10)-5vj106812以(A丙)作为调入格，用闭回路调整法计算(A丙)的新运量：甲乙丙丁产量A1214B369C44销量5246用位势法计算非基变量的检验数：甲乙丙丁uiA1(12)0B8(16)6(10)-2C3(4)8(10)4(10)-5vj106711所有非基变量检验均为正数，故已得到最优解，运输成本最小值为118.例2. 用表上作业法求解下述运输问题。甲乙丙丁产量A1067124B1610599C5410104销量5246解：用Vogel法求出初始解，如下：甲乙丙丁产量A1214B369C44销量5246用位势法计算u和v：甲乙丙丁uiA(10)(6)(7)0B(5)(9)-2C(5)-5vj106711非基变量检验数为：甲乙丙丁uiA1(12)0B8(16)6(10)-2C3(4)8(10)4(10)-5vj106711所有非基变量检验均为正数，故已得到最优解，运输成本最小值为118.例3. 用表上作业法求解下述运输问题。甲乙丙丁产量A37645B24322C43853销量3322解：先用Vogel法求得初始解：甲乙丙丁产量A325B202C033销量3322用位势法计算u和v：甲乙丙丁uiA340B32-2C431vj3254非基变量检验数为：甲乙丙丁uiA5(7)1(6)0B1(2)4(4)-2C2(8)0(5)1vj3254所有检验数均为正数或零，故已得到最优解，最小运输成本为32。因为非基变量检验数中有0，故原问题有无穷多最优解。例4. 已知某运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案如下：产销平衡表及最优调运方案B1B2B3B4产量A151015A20101525A355销量5151510单位运价表B1B2B3B4A11012011A2127920A32141618试回答：（1）从A2B2的运价c22在什么范围变化时，上述最优调运方案不变？（2）从A2B4的单位运价c24变为何值时，有无穷多最优调运方案？除表中所示最优方案之外，再写出两个。解：（1）设c22未知，用位势法计算ui和vj：B1B2B3B4uiA1(1)(11)0A2(12)(c22)(9)c22-1A3(2)c22-11vj13- c22110- c2211计算非基变量的检验数，可得：B1B2B3B4uiA1c22- 3(10)c22 +10(20)0A210- c22(20)c22-1A324-c22(14)17(16)18- c22(18)c22-11vj13- c22110- c2210要使原最优方案保持最优，只需所有非基变量的检验数为非负，故：，解得。（2）设c24为未知，用位势法计算ui和vj可得：B1B2B3B4uiA1(1)(11)0A2(12)(7)(9)6A3(2)-4vj61311计算非基变量的检验数可得：B1B2B3B4uiA14(10)17(20)0A2c24-17 (c24)6A317(14)17(16)11(18)-4vj61311要使原问题有无穷多最优解，需要至少有一个非基变量的检验数为0，故必有c24=17。以（A2，B4）作为调入格，用闭回路调整可得另一个最优解：B1B2B3B4产量A11515A200151025A355销量5151510至此，已得到两个最优的基解，两者的凸组合都是最优解，即：B1B2B3B4产量A11515A201525A355销量5151510其中，分别令取两个不同的值即可得到两个不同最优解。例4.4 用单纯形法求解例4.2的问题，即解：在第一个约束中引入松弛变量，构造单纯形表计算如下：0000001121111001111101211556810115.61122-8-101063/211/21/24053/2111/21/210/3051/211/21/2106355116/31113551031221/21/260211331/21/240414/34/31/61/6240215/35/31/31/31111011111104226611010/311/31/31/31/3010/312/32/31/31/31111由单纯形表，可知有两个最优顶点、，故原问题的最优解为，其中。例1. 考虑下述规划问题：其中，。模型的约束约束条件为： 或者，或者 下列各不等式至少有一个成立： 或5或10； ，试建立此问题的整数线性规划模型。解：整数线性规划模型为：例2. 用分枝定界法求解解：用分枝定界法求解原问题的过程如下：例3：用割平面法求解解：引入松弛变量，用单纯形法求解原问题的松弛问题，可得110006211030204501511001311/21/2060803218/301/21/2015/3105/61/618/3012/31/3001/61/6松弛问题的最优解为。的解为非整数，我们以它所在行构造切割方程。由最优单纯形表，可知：即：，可得切割方程，化简得。将切割方程加入松弛问题，代入单纯形表可得：1100015/3105/61/6018/3012/31/300-200-1-1100-1/6-1/6010100-15/6140101-2/3020011-10000-1/6得到最优解为，是整数解，故原问题的最优解为、，最优值为。例. 用Fibonacci法求解在上的极小点，要求最终区间长度不超过的0.08倍。解：求解，得，取。（1），由知：下一步应取，。（2），由知：下一步应取，。（3），由知：下一步应取，（3），由知：下一步应取，。（4），由可知，应取作为近似极小点，近似极小值为1.751。原问题的极小点所属区间为。例. 试以为初始点，用最速下降法求的极小点。解：由可得：，由正定，可知为凸函数，存在唯一极大点。用梯度法列表计算如下：步骤0012134例. 试以为初始点，用变尺度法求的极小点。解：由可得：，由正定，可知为凸函数，存在唯一极大点。用变尺度法计算如下：步骤0010.52例. 用K-T条件解非线性规划解：原问题写为标准形式为：， 故分别向两个约束条件引入广义Lagrange乘子和，则K-T条件可写为：先不考虑，和的取值有4种情况：（1）且，则K-T条件无解。（2）且，解得、，不符合，故不是K-T点。（3）且，解得、，不符合，故不是K-T点。（4）且，解得，满足所有K-T条件，故是K-T点。由于原规划中目标函数为凸函数、可行域也为凸集，故有唯一极小点，即所求得的K-T点。例. 求解二次规划解：可知，原问题为凸规划，存在唯一的极小点，也是最小点。令，则，分别向三个约束引入广义Lagrange乘子，则KT条件可写为：向引入松弛变量，则上述条件可化为：先不考虑最后一行约束，为求解前三个约束，分别在前两个约束引入人工变量和，可得：取初始解为，其它变量为0，用单纯形法求解（注意求解时应满足），可得：，故原二次规划的最优解为：、，。例. 求解二次规划解：可知，原问题为凸规划，存在唯一的极小点，也是最小点。令，将原问题转化为标准形式：各函数的梯度分别为：，分别向四个约束引入广义Lagrange乘子，则KT条件可写为：分别向和引入松弛变量和，则KT条件化为：先不考虑最后一行约束，为求解前四个约束，分别在前两个约束引入人工变量和，可得：取初始解为，其它变量为0，用单纯形法求解（注意求解时应满足），可得：，故原问题的最优解为：，。例. 用可行方向法求解：解：先化为非线性规划的标准形式：则，。取初始可行点。（1），故，而，所以不是近似极小点。取搜索方向。求解：，其中。解得：，故。（2），故。求解线性规划：，即：解得：。求解：其中，。解得：，故。（3）由此继续迭代，可得最优解为：，。例. 用外点法求解：解：构造罚函数：由此可得： 从外部点开始考虑，此时有且，故： 由，可得：当时，故原问题的最优解为。例. 试用内点法求解解：采用对数形式构造障碍项，可得障碍函数：则：，。由，可得故，当时，且。由此可知，原问题的最优解为。例. 用逆序加法求：解：我们可以把这个问题看作一个三阶段动态规划问题，每个阶段确定一个变量的取值。分别取为三个阶段的决策变量，设状态变量表示当前阶段可用的资源量，各阶段的状态变量分别为，其中，。各阶段的状态转移方程为：，。用逆序加法求解过程如下：第三阶段：，最优决策为第二阶段：令，则由，得和（舍去）。又由，故。第一阶段：，其中由，可以推算出各变量的最优取值分别为：，。例. 用顺序加法求解：我们可以把这个问题看作一个三阶段动态规划问题，每个阶段确定一个变量的取值。分别取为三个阶段的决策变量，设状态变量表示当前阶段已经使用了的资源量，各阶段的状态变量分别为，其中，。各阶段的状态转移方程为：，。用表示从第1阶段至第k阶段的最优指标，则用顺序加法求解过程如下：第一阶段：，最优决策为第二阶段：，第三阶段：，由，可以推算出各变量的最优取值分别为：，例. 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备后，可以为国家提供的盈利如下表所示。获得的设备甲的盈利乙的盈利丙的盈利台台台台台台这5台设备应如何分配给各工厂，才能使国家得到的盈利最大？解：将向甲、乙、丙分配设备看作3个阶段。设状态变量表示分配给第k个工厂至第3个工厂的设备数，决策变量表示分配给第k个工厂的设备数，则状态转移方程为：，。由题意知：，。逆序解法的基本方程为：其中，表示分配给第k个工厂台设备产生的盈利。用逆序解法求解如下：在第3阶段：，的值列表如下：012345046111212在第2阶段：列表计算如下：012345000010+45+05120+65+410+010230+115+610+411+014240+125+1110+611+411+0161，250+125+1210+1111+611+411212在第1阶段：由，列表计算如下：01234550+213+167+149+1012+513+0210，2故，原问题的最优解为：，；或者 ，。例. 机器分配问题。某工厂现有100台机器，拟分4个生产周期使用，在每个周期都有A、B两种生产任务。据经验，若把机器投入到A任务，则在一个生产周期后将有1/3的机器将报废；若把机器投入到B任务，则在一个生产周期后将有1/10的机器将报废。已知，每台机器进行A任务的收益为10，进行B任务的收益为7。问怎样分配机器，使得总收益最大？解：将4个生产周期分别看作4个阶段。设状态变量表示在第k阶段初完好的机器数量，决策变量表示在第k阶段用于A任务的机器数，状态转移方程为：由题意知：。逆序解法的基本方程为：其中，表示在第k阶段分配台机器用于A任务、台设备用于B任务时产生的收益，即。用逆序解法求解如下：在第4阶段：，第3阶段：第2阶段：第1阶段：故，最优策略为：前2年将所有机器都分配给B任务，后2年将所有机器都分配给A任务。例. 某工厂要对一种产品制定今后4年的生产计划，估计在今后4年内，市场对该产品的需求分别为：时期1234需求量2324该产品每年生产的固定成本为3千元，每单位产品变动成本为1千元；每年生产能力为6单位产品；每年期末未售出产品，每单位产品需支付存储费0.5千元。假设在第1年年初时库存量为0，要求第4年年末时库存量也为0。试问该厂应如何安排生产，才能既满足市场需求，又使这4年的总成本最小？解：将4个年分别看作4个阶段。在第k年的生产成本为：第k年的存储费用为：。设状态变量表示第k年年末的库存量，决策变量表示第k年的生产量，状态转移方程为：由题意知：。顺序解法的基本方程为：其中，。用顺序解法求解如下：在第1阶段：，其中，。故：时，；时，；时，；时，；时，。在第2阶段：，其中，。故：时，时，时，；时，。在第3阶段：，其中，故：，；，；，在第4阶段，故，最优生产策略为：，。 例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。例. 求下图中从v1到各点的最短路的长度。解：列表计算如下：点wijd(v1, vj)v1v2v3v4v5v6v7v8t=1t=2t=3t=4v10-1-2800-4-4v2602-1-5-5-5v3-30-51-2-2-2-2v43028-7-7-7v5-101-3-3v61017-1-1-1v7-1010-5-5v8-3-5066 例. 有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。现在要开办一所小学，问应该建在哪个村庄，才能使得各村的学生上学的总路程最短？解：分别设小学建在，列表计算出各村庄到学校的最短距离如下：村庄建校地点v1v2v3v4v5v6v10v230v3410v48570v541340v61079260总距离291724261834故，小学应该建在村庄2，才能使得各村的学生上学的总路程最短。例. 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知：设备每年年初的价格表年份12345年初价格1111121213设备维修费用表使用年数0-11-22-33-44-5年维修费用5681118解：用点（）表示在第i年年初购进一台新设备（增加一个点表示第5年年底），从到各画一条弧，弧表示在第i年年初购进一台新设备，并一直使用到第j年年初，弧的权为期间的费用（包括设备的购置费用和维修费用）。可得图：各条弧的权值为：起点终点12345611622304159216223041317233141723518求五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小，就是要寻找一条从v1到v6的最短路，最短距离即为总费用。用Dijkstra法求得两条最短路：（1）v1v3v6，即在第1年、第3年年初各购置一台新设备；（2）v1v4v6，即在第1年、第4年年初各购置一台新设备。五年内的最小总费用为53。例（多发点多收点的最大流问题）某产品有两个产地s1、s2，三个销地t1、t2、t3。运输系统如下图所示，其中v1和v2是两个中转站，各弧旁的数字是最大运输能力。求从产地到销地的最大运输量。解：在原网络中添加一个虚拟的发点vs和一个虚拟的收点vt，其中l vs到s1的弧容量为c(s1, t1)+c(s1, v1)+c(s1, v2)=10+5+12=27；l vs到s2的弧容量为c(s2, v2)+c(s2, t3)=15+12=27；l t1到vt的弧容量为c(s1, t1)+c(v1, t1)=10+8=18；l t2到vt的弧容量为c(v1, t2)+v(v2, t2)=6+6=12；l t3到vt的弧容量为c(v2, t3)+c(s2, t3)=10+12=22。所得网络图如下：求上图的最大流，去掉虚拟的发点和收点，即可得原图的最大流，如下图。例（顶点有容量约束的最大流问题）某油田s通过输油管道向一炼油厂t输送原油，中间经过三个泵站v1、v2和v3，管道的输送能力和各泵站的输送能力如下图。求这个系统的最大输送能力。解：把三个有容量约束的顶点站v1、v2和v3各转换成一条弧，如弧的容量即为原顶点的容量，如下图所示：求上图的最大流，保留原图中各弧的流量，即可得原图的最大流。例. 某贸易公司在每个月的月初订货货物，订购后都能及时到货、入库。如果仓库中的货物能在当月售出，则不必付存储费；否则，需要支付6元的存储费，货物转到下个月继续销售。已知仓库的最大容量是120件，1月到6月的货物订购价格和需求量如下表所示。月份123456需求量505550454030订货价格706765808488假设1月份的库存量为0，要求6月底的库存量也为0，不允许缺货。试制定订货计划，使总成本最低。解：用表示第i月初进货后的状态，表示进货，表示销售。于是原问题可以转化为一个最小费用最大流问题，网络图如下。顶点也具有容量约束，即仓库的最大容量。弧旁是数字是，表示单位成本（订货价格、库存费用），表示货物的最大流通量（订购量、销售量、转入下月销量量）。这是一个带有顶点容量约束的最小费用最大流问题，可以先将有容积约束的顶点转化为两个顶点和一条有容量约束的弧，可得一个标准的最小费用最大流问题。求解即可得原问题的最优订货方案，即1月至6月的订货量分别为50、55、120、0、15。例. 某加油站只有一个加油管，据估计，来加油的汽车流是泊松流，平均每2分钟有一辆汽车。加油站院内可容纳4辆汽车（包括正在加油的汽车），再来的汽车需要在院外等候。每个汽车完成加油的时间服从负指数分布，平均为1.5分钟。试计算：加油站空闲的概率；1) 加油站空闲的概率；2) 在院外排队等待的汽车的平均数量；3) 在院外等待的平均时间；4) 在院内等待的平均时间；解：由题意知：，故排队系统可以达到平稳状态。记系统状态的平稳分布为，则：1）加油站空闲的概率即；2) 在院外排队等待的汽车的平均数量为：3）设当一个汽车到达系统时，已有个汽车在加油站中，则该汽车将在院外排队，直到有个汽车完成加油离开加油站，该汽车才能进入院内。记表示个汽车完成加油所需时间，由题意知，服从阶的Erlang分布，速率为，记的密度函数为，即，记汽车在院外等待时间为，则当时，有：当时，其密度函数为：故汽车在院外的平均等待时间为：3) 车在院外的平均等待时间可表示为：，其中表示系统中已有n个顾客时，新顾客的平均等待时间。当时，由题意知，。当时，新顾客在院外的等待时间等于系统完成n3个顾客的服务时间。服从阶的Erlang分布，速率为，故当时，。综上可知：4）顾客在系统内的逗留时间由三部分组成：院外等待时间、院内等待时间、服务时间，故在院内等待的平均时间为：例. 某加油站有一台油泵，来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n辆汽车时，将有一部分汽车不愿等待而离去，离去的概率为n/4（n=0,1,2,3,4）。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值为3分钟的负指数分布。试计算：1) 油泵空闲的概率；2) 加油站内汽车的平均数量；3) 汽车在加油站的平均逗留时间；4) 汽车等待加油的平均时间。解：由题意知，该排队系统内最多有4个顾客，系统的状态转移图为：其中，。由状态转移图可得：解方程可得：，。1）油泵空闲的概率为，即31.1%。2）加油站内汽车的平均数量为：。3）记平均逗留时间为，则，其中表示当系统已有n个顾客时，新顾客的平均等待时间。当系统中已有n（n3）个顾客时，新顾客在系统内的逗留时间等于n+1个顾客完成服务的时间，故服从速率为的n+1阶Erlang分布，可知：n3时，易知，n4时，新顾客将直接离开系统。故4）汽车等待加油的平均时间为平均逗留时间减去平均服务时间，即：例. 某厂可同时采购I、II、III三种元件，年需求量分别为、，每个元件的年存储费用分别为、，每次采购订购费都是。试计算：（1）三种元件分开采购，求各自的经济订购批量、年成本；（2）三种元件合并在一起采购，求经济订购批量、年成本。解：（1）若三种元件分开采购，则由EOQ模型可知：对元件I，对元件II，对元件II，（2）若三种元件合并在一起采购，则t时间内总的平均成本为：故最优订购周期为：三种元件的订货批量分别为：，年成本为：可知，合并采购后平均每年可以节省。例. 某钻探队在某地区进行石油勘探，主观估计该地区有油的概率为，无油的概率为。为了进一步分析有无石油，可以做地震实验。根据积累的资料得知：凡有油地区做试验得到好结果的概率为，凡无油地区得到好结果的概率为。问对该地区做了地震实验后，有油和无油的概率各是多少？解：根据题意可知：，由贝叶斯公式可知：若地震实验得到了好结果（F），则：即有油的概率为9/11，无油的概率为2/11。若地震实验得到了坏结果（B），则：即有油的概率为1/9，无油的概率为8/9。例. 某公司需要对某种新产品的生产批量作出决策。市场对该产品的需要有三种可能：需求量大、中、小。现有三种生产批量：大批、中批、小批生产。公司目前对市场需求的估计，以及各生产批量的收益（单位：万元）如下表所示：需求量大需求量中需求量小P=0.3P=0.5P=0.2大批生产3614-8中批生产2016