数列解答题集锦(1)

临沂一中一轮专题复习资料数列好题1（本题满分14分）甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶器往乙容器倒入4克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行 求操作次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？ 欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？解：（1）设操作次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为、克，则，1分 ，2分 又 ，4分且，5分 6分 ，是首项为，公比为的等比数列，8分， 10分（2）依题意：，11分 （或 ）13分又为自然数，的最小值为3，故至少3次能达到要求14分2（本小题满分12分）从原点出发的某质点M，按向量a = (0，1) 移动的概率为，按向量b = (0，2) 移动的概率为，设M可到达点(0,n)的概率为Pn.()求P1 、P2和P3的值； ()设bn=Pn+1-Pn，求证：数列bn是等比数列；()（理）求数列Pn的通项公式及Pn.解()P1= P3=3分()证明：M到达点(0，n+2)有两种情况： 从点(0，n+1)按向量a=(0，1)移动；从点(0，n)按向量b=(0,2)移动.故Pn+2=Pn+2Pn+1= 即bn+1=-所以bn是以P2-P1=为首项，以-为公比的等比数列.7分()bn=Pn+1-Pn=(-)n-1=(-)n+1,Pn-Pn-1=(-)n, Pn=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+(P2-P1)+P1 =(-)n+(-)n-1+(-)2+= 故Pn的通项公式为Pn=10分 Pn=12分3（本题满分14分）甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶器往乙容器倒入4克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行 求操作次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？ 欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？解：（1）设操作次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为、克，则，1分，2分又 ，4分且，5分 6分 ，是首项为，公比为的等比数列，8分， 10分（2）依题意：，11分 （或 ）13分又为自然数，的最小值为3，故至少3次能达到要求14分4（理）等差数列中，首项，公差，已知数列成等比数列，其中。（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：。解：（1），3分，又等比数列中，公比，所以，；6分（2）（理）证明：，时，时，9分记，则，相减得到：，所以，13分所以。14分5（本小题满分12分）已知，且（1）求，的表达式，猜想的表达式并用数学归纳法证明；（2）若关于的函数在区间（-，-1上的最小值为12，求的值。解:（1），,猜想 3分证明：当时，成立；假设时，表达式成立，即，则当时，当时，表达式成立由得对任意,5分（2），。7分当即时，函数在区间（-,-1上是减函数当时，即，又,该方程没有整数解；9分当，即时，解得或（舍去）综上所述，为所求的值12分6（本小题满分14分）设数列是首项为6，公差为1的等差数列；为数列的前项和，且（1）求及的通项公式和；（2）若，问是否存在使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数，不等式恒成立，求正数的取值范围。解:（1）1分又当时，当时,上式对也成立，总之，4分（2）由已知当为奇数时，为偶数,由，得,（舍去） 6分当为偶数时，为奇数，由，得，即，适合题意。总之，存在整数，使结论成立8分（3）将不等式变形并把代入得：设又，即随的增大而增大，.8（本题满分14分）设不等式组 所表示的平面区域为，记内的整点个数为 ,（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点） 求数列的通项公式； 设数列的前项和为，若对于一切正整数，恒成立，求实数的起值范围。解：（1） 由，得, 当时，时， 即 6分. （2） 易求 ,由（1）知 9分 恒成立 (也可以用倒序相加法求和)记 ，则 时，而 为最大， 故的取值范围是。 14分9（理）等差数列中，首项，公差，已知数列成等比数列，其中。（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：。解：（1），3分，又等比数列中，公比，所以，；6分（2）（理）证明：，时，时，9分记，则，相减得到：，所以，13分所以。14分10（本小题满分12分）已知 （）求的表达式； （）定义正数数列，数列是等比数列； （）令成立的最小n值.解：（）1分3分4分5分 （）7分数列是以2为首项，8分 （）10分又满足12分11（本题满分14分）已知正项数列 an 满足a1 = 1，当n2时，都有（）试求数列 an 的通项公式；（）设，试比较与的大小解:()当n2时，由已知式子，得 an an（2n1） = an1（a n1 + 2n1），整理，得 an 2an12 =（2n1）（an + a n1）因为 an 是正项数列，所以 an + a n1 0，故只有 an = an1 + 2n1 2分于是，当n2时， a2 = a1 + 21，a3 = a2 + 21，an = an1 + 2n1，上面n1个式子相加得 ana1 = 2（2 + 3 + + n）（n1），解得 an = n2又当 n = 1时，a1 = 1满足上式，故an = n2 5分（），7分当n = 1时，；当n = 2时，；当n = 3时，； 猜想当n3时， 9分以下用数学归纳法证明： 当n = 3时，左边右边，命题成立 假设当n = k（k3）时，即 当n = k + 1时，（因为 （k + 2）2 3 k（k + 3） 2k24k + 50 2（k1）2 + 30），命题成立故当n3时，综上所述，当n = 1时，n = 2时，当n3时， 14分12（本题满分13分）函数的最小值为且数列的前项和为 （）求数列的通项公式； （）若数列是等差数列，且，求非零常数； （）若，求数列的最大项解：（）由 ， 由题意知：的两根， （）， 为等差数列， 经检验时，是等差数列， （）13（本题满分14分）已知数列、 、的通项公式满足 ，（），若数列是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列. ()试写出满足条件、的二阶等差数列的前五项； （）求满足条件（1）的二阶等差数列的通项公式；（）若数列首项，且满足， 求数列的通项公式.解：()， 4分（） 依题意 所以 6分又 所以 8分（）由已知，可得，即 ， 10分解法一：整理得: , 12分因而数列是首项为,公比为4的等比数列, , 即 14分解法二： 在等式两边同时除以得： 11分令，则,即. 故数列是首项为,公比为的等比数列. 12分所以，即 14分 解法三： ， 猜想： 12分 下面用数学归纳法证明如下：（）当时，猜想成立； （）假设时，猜想成立，即 那么当 时， ，结论也成立 由()、(）可知， 14分14（本小题满分14分）假设某地区2007年教育投入400万元，其中有240万元用于义务教育，预计在今后的若干年内，该地区每年教育投入平均比上一年增长10%另外，每年教育投入中，义务教育的投入资金均比上一年增加60万元，那么，到哪一年底，（）该地区历年义务教育投入的累计资金（以2007年为累计的第一年）将首次不少于3600万元？（）当年用于义务教育的资金占该年教育投入资金的比例首次大于80%？（参考数据：）解：（）设该地区义务教育的投入资金形成数列，由题意可知是等差数列，其中，则， 4分令，即，而n是正整数，6分（）设每年教育投入资金形成数列，由题意可知是等比数列，其中，则， 10分由题意可知，有， 11分满足上述不等式的最小正整数到2011年底，当年用于义务教育的投入资金占该年教育投入资金的比例首次大于80% 14分14某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为求证（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？（1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若则有即两边同时取对数可得故，故使得上式成立的最小为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.n=n+1n=0P=n*n/4+24*nTn-P2005？打印n结束是否15（本题满分14分）数列an的前n项和为Sn，已知。 （1）求数列an的通项公式； （2）若，数列bn的前n项和为Tn，求Tn； （3）张三同学利用第(2)题中的Tn设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）。你是否同意李四同学的观点？请说明理由。解：（1）当n = 1时，a1 = S1 = 2当n2时，3分 （2）当n为偶数时Tn = (b1 + b3 + + bn1) + (b2 + b4 + + bn) = (a1 + a3 + + an1) + (22 + 24 + + 2n) 7分当n为奇数时，则n