柯西积分定理PPT课件.ppt

第二节柯西积分定理 一 单连通区域的柯西积分定理二 复函数的牛顿 莱布尼兹公式三 多连通区域上的柯西积分定理 曲线积分与曲面积分 1 一 单连通区域的柯西积分定理 1 问题的提出 此时积分与路线无关 观察上节例2 观察上节例1 曲线积分与曲面积分 2 由于不满足柯西 黎曼方程 故而在复平面内处处不解析 由以上讨论可知 积分是否与路线有关 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性 曲线积分与曲面积分 3 2 单连通区域的柯西积分定理 定理3 2 1 Cauchy积分定理 证 曲线积分与曲面积分 4 曲线积分与曲面积分 5 注 定理3 2 2 Cauchy Goursat积分定理 Goursat 曲线积分与曲面积分 6 例1 解 根据柯西 古尔萨 Cauchy Goursat 定理 有 曲线积分与曲面积分 7 例2 解 根据柯西 古尔萨 Cauchy Goursat 定理 有 曲线积分与曲面积分 8 例3 解 根据柯西 古尔萨 Cauchy Goursat 定理得及上节例2知 曲线积分与曲面积分 9 曲线积分与曲面积分 10 定理3 2 2 定理3 2 3 推广的Cauchy积分定理 曲线积分与曲面积分 11 定理3 2 4 证 曲线积分与曲面积分 12 曲线积分与曲面积分 13 定理3 2 5 曲线积分与曲面积分 14 二 复函数的牛顿 莱布尼兹公式 1 原函数 定义3 2 1 注 曲线积分与曲面积分 15 定理3 2 6 证 曲线积分与曲面积分 16 曲线积分与曲面积分 17 曲线积分与曲面积分 18 推论3 2 1 曲线积分与曲面积分 19 2 牛顿 莱布尼兹公式 定理3 2 7 证 Newdon Leibniz 曲线积分与曲面积分 20 另证 曲线积分与曲面积分 21 例4 解 由牛顿 莱布尼兹公式知 曲线积分与曲面积分 22 例5 解 使用了微积分学中的 凑微分 法 曲线积分与曲面积分 23 例6 解 此方法使用了微积分中 分部积分法 曲线积分与曲面积分 24 三 多连通区域上的柯西积分定理 1 问题的提出 根据本章第一节例2可知 由此希望将柯西积分定理推广到多连通域中 曲线积分与曲面积分 25 2 多连通区域上的柯西积分定理 曲线积分与曲面积分 26 曲线积分与曲面积分 27 定理3 2 8 多连通区域上的柯西积分定理 曲线积分与曲面积分 28 证 曲线积分与曲面积分 29 例7 解 根据多连通区域上的柯西积分定理得 曲线积分与曲面积分 30 例8 证明 根据多连通区域上的柯西积分定理得 曲线积分与曲面积分 31 例9 解 依题意知 曲线积分与曲面积分 32 根据多连通区域上的柯西积分定理得 曲线积分与曲面积分 33 例10 曲线积分与曲面积分 34 解 曲线积分与曲面积分 35 曲线积分与曲面积分 36 EdouardGoursat EdouardGoursat 1858 1936 EdouardGoursatwasaFrenchmathematicianwhoisbestknownforhisversionoftheCauchy Goursattheoremstatingthattheintegralofafunctionroundasimpleclosedcontouriszeroifthefunctionisanalyticinsidethecontour 曲线积分与曲面积分 37 SirIsaacNewton SirIsaacNewton 1643 1727 IsaacNewtonwasthegreatestEnglishmathematicianofhisgeneration Helaidthefoundationfordifferentialandintegralcalculus Hisworkonopticsandgravitationmakehimoneofthegreatestscientiststheworldhasknown 曲线积分与曲面积分 38 GottfriedWilhelmvonLeibniz GottfriedWilhelmvonLeibniz 1646 1716 GottfriedLeibnizwasaGermanmathematicianwhodevelopedthepresentdaynotationforthedifferentialandintegralcalculusthoughheneverthoughtofthe