微积分讲解PPT课件.ppt

3 2微积分基本公式 3 2 1原函数和不定积分的概念3 2 2基本积分表3 2 3微积分基本公式 3 2 1原函数和不定积分的概念 一 案例二 概念和公式的引出 一 案例 路程函数 这里速度2t是路程t2的导数 反过来 路程t2又称为速度2t的什么函数呢 若已知物体运动的速度v t 又如何求物体的运动方程s t 呢 二 概念和公式的引出 如果在开区间I内 可导函数F x 的导函数为f x 或 则称函数F x 是函数f x 在区间I内的一个原函数 原函数 即 其它符号的名称与定积分中的名称一致 不定积分 C称为积分常数 或 或 函数的不定积分与导数 或微分 之间的运算关系 3 2 2基本积分表 一 案例二 概念和公式的引出 一 案例 幂函数的不定积分 于是 类似地 由基本初等函数的求导公式 可以写出与之对应的不定积分公式 因为 是 的一个原函数 1 基本积分表 2 3 4 5 6 7 8 二 概念和公式的引出 9 10 11 12 13 2 不定积分的性质 即两个函数和 差 的不定积分等于这两个函数的不定积分的和 差 性质 可推广到有限个函数的情形 为常数 即被积函数中不为 的常数因子可以提到积分号外 1 性质1 2 性质2 3 2 3微积分基本公式 一 案例二 概念和公式的引出三 进一步练习 列车快进站时必须减速 若列车减速后的速度为 km min 问列车应该在离站台多远的 地方开始减速 解 由变速直线运动路程的计算 有 当列车速度为 时停下 解出 min 一 案例 列车制动 且 km 即列车在距站台1 5km处开始减速 列车从减速开始到停下来的3min内所经过的路程为 将s 0 0代入上式 得C 0 故 原函数 则 此公式称为微积分基本公式 也称为牛顿 莱布尼兹公式 二 概念和公式的引出 微积分基本公式 2 定积分的性质 即两个函数和 差 的定积分等于它们定积分的和 差 性质 可推广到有限个函数的情形 为常数 即被积函数的常数因子可以提到积分号外 1 性质1 2 性质2 牛顿 莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便方法 即求定积分的值 只要求出被积函数f x 的一个原函数F x 然后计算原函数在区间 a b 上的增量F b F a 即可 该公式把定积分的计算归结为求原函数的问题 揭示了定积分与不定积分之间的内在联系 练习1 运动方程 已知一物体作直线运动 1 求速度v与时间t的函数关系 2 求路程s与时间t的函数关系 解 满足 且 求不定积分 得 且 求不定积分 得 练习2 磁场能量 在电压和电流关联参考方向下 电感元件吸收的功率为 在dt时间内 电感元件在磁场中的能量增加量为 电流为零时 磁场亦为零 即无磁场能量 当电流从 0增大到i时 电感元件储存的磁场能量为 由此可见 磁场能量只与最终的电流值有关 而与电流建立的过程无关 练习3 电流函数 若t 0时i 2A 求电流i关于时间t的函数 一电路中电流关于时间的变化率为 解 练习4 结冰厚度 起到时刻t 单位 h 冰的