Bygmixu哈罗德—多马经济增长模型与新古典增长模型

七夕 古今诗人惯咏星月与悲情 吾生虽晚 世态炎凉却已看透矣 情也成空 且作 挥手袖底风 罢 是夜 窗外风雨如晦 吾独坐陋室 听一曲 尘缘 合成诗韵一首 觉放诸古今 亦独有风韵也 乃书于纸上 毕而卧 凄然入梦 乙酉年七月初七 啸之记 哈罗德哈罗德 多马经济增长模型与新古典增长模型多马经济增长模型与新古典增长模型 经济增长模型指的是经济增长的理论结构 它所要说明的是经济增长与有关经济变量 之间的因果关系和数量关系 对经济增长的不同理论分析构成了不同的经济增长模型 这 里 我们主要介绍两个著名的经济增长模型 即哈罗德 多马经济增长模型和新古典经济 增长模型 一 哈罗德一 哈罗德 多马经济增长模型多马经济增长模型 1 哈罗德 多马经济增长模型的假定 英国经济学家哈罗德与美国学者多马几乎同时提出自己的经济增长模型 由于两者在 形式上极为相似 所以称为哈罗德 多马模型 两者的区别在于哈罗德是以凯恩斯的储蓄 投资分析方法为基础 提出资本主义经济实现长期稳定增长模型 而多马模型则以凯恩 斯的有效需求原理为基础 得出与哈罗德相同的结论 哈罗德 多马模型考察的是一国在 长期内实现经济稳定的均衡增长所需具备的条件 这里所讨论的基本形式的哈罗德 多马模型的假定条件包括 1 不存在货币部门 且价格水平不变 2 劳动力按不变的 由外部因素决定的速度n增长 即 常数 n N dtdN 3 社会的储蓄率 即储蓄与收入的比率不变 若记S为储蓄 s为储蓄率 则 为收入 常数 Ys Y S 4 社会生产过程只使用劳动 KN和资本 两种生产要素 且两种要素不能互相替代 5 不存在技术进步 根据假定 4 生产函数可以写为 min ZNVKKNYY 20 10 式中 参数K Y V 为产出 资本比 N Y Z 为产出 劳动比 ZV和 为固定的常数 2 产出和资本 根据上面的说明 由K Y V 有 VKY 20 11 对 20 11 式关于时间t求微分有 dt dK V dt dY 20 12 20 11 式说明 经济中供给的总产出等于产出 资本比乘以资本投入 20 12 式 则说明 总产出随时间的变化率由产出 资本比和资本存量变化 率 即投资水平 所决 定 另一方面 在只包括居民户和厂商的两部门经济中 经济活动达到均衡状态时 要求 投资等于储蓄 即 SI 20 13 根据假定条件 有 sYS 而dt dK I 故 20 13 式变为 sY dt dK 20 14 将 20 14 式代入到 20 12 式 并对其进行变形 有 Vs Y dtdY 20 15 方程 20 15 就是在资本得到充分利用条件下总产出的增长率所必须满足的关系 在 SV和 都为常数的条件下 模型 20 15 式的解为 Vst AeY 20 16 式中 A为常数 t为时间 e为数学中自然对数的底数 718 2 e 为了进一步认识 20 115 所示的增长率的意义 将 20 11 代入到 20 14 式 并对其进行整理 得 Vs K dtdK 20 17 比较 20 15 式和 20 17 式可知 为了使资本得到充分利用 总产出Y与资本K必须 同步增长 其增长率由储蓄率和产出 资本比确定 按照哈罗德的说法 这一增长率被称 为有保证的增长率 记为 W G 即 VsGW 至此 已建立了资本得到充分利用时经济增 长的条件 3 产出与劳动 根据假定条件 劳动力增长率为 常数 n N dtdN 另一方面 根据生产函数 20 8 式 在充分就业情况下 总产出和劳动力的关系为 zNY 20 18 在参数z为常数的情况下 20 18 式意味着总产出必须与劳动力同步增长 事实上 对 20 18 式关于时间t进行微分 有 dt dN z dt dY 20 19 用 20 18 式除 20 19 式 得 n N dtdN Y dtdY 20 20 20 20 式就是劳动力充分就业时经济增长的条件 这一条件的含义是 如果要使经 济实现充分就业的均衡增长 总产出的增长率必须等于劳动力的增长率 哈罗德将这一增 长率称为自然增长率 记为 N G 即 nGN 4 经济均衡增长的条件 为了得到哈罗德 多马模型均衡增长的条件 先考察生产函数 20 8 的等产量 如 图 20 1 所示 K Kb K1 E1 E2 E3 Y3 Y2 Y1 N Na N1 O L 哈罗德 多马条件 图图 2020 1 1 哈罗德哈罗德 多马条件多马条件 从图 20 1 中可以看到 为了生产1 Y 的产出水平 该经济需要1 N 单位的劳动力和 1 K 单位的资本 均衡点为1 E 如果该经济有 a N 单位的劳动力和1 K 单位的资本 那么该 经济的产出水平也只能是1 Y 在这种情况下 一些劳动力会因缺乏生产性资本不能从事生 产而处于失业状态 同样 如果该经济只有1 N 单位的劳动力 而拥有 b K 单位的资本 其 最大产出水平仍然为1 Y 在这种情况下 大量生产性资本又会因劳动力不足而被闲置 显 然 要使经济中所有的生产投入 在这里即劳动和资本 都被充分利用的条件是图 20 1 中通过原点的直线l上的1 E 2 E 和 3 E 等点 根据本节前面的讨论 为了使经济中资本和劳动力都得到充分利用 总产出的增长率 必须满足的条件是 有保证的增长率 W G 等于自然增长率 N G 即 NW GG 20 21 由于 VsGW nGN 故上式又可写为 nVs 20 22 20 22 式被称为哈罗德 多马均衡增长条件 如果这一条件不能满足 如 WN GG 则失业率就会上升 反之 如果 NW GG 则会出现大量资本闲置 在哈罗德 多马模型的框架下 20 22 式给出了保证经济均衡增长 产出资本比V 储蓄率s和劳动力增长率之间的内在联系 哈罗德认为 由于储蓄率 产出 资本比率和 劳动力增长率这三个因素分别由不同的因素秘决定 因此 在现实中没有任何经济机制可 以确保 W G 等于 N G 更何况 即使由于偶然原因 NW GG 使经济处于均衡增长路径 上 但一旦出现某种扰动 有保证的增长率就会越来越偏离自然增长率 换言之 即使存 在均衡增长路径 但该路径也是不稳定的 从一定意义上说 哈罗德 多马模型倒可以用 来解释一些非均衡增长的现象 哈罗德 多马模型作为一种早期的增长理论 虽然具有简单 明确的特点 但该模型 关于劳动和资本不可相互替代以及不存在技术进步的假定也在一定程度上限制了其对现实 的解释 在西方经济增长理论的文献中 经济学家几乎公认 美国经济学家罗伯特 索洛 在 20 世纪 50 年代后半期所提出的新古典增长理论是 20 世纪五六十年代最著名的关于增长 问题的研究成果 下面就来讨论新古典增长理论 二 新古典增长模型二 新古典增长模型 新古典经济增长理论在放弃了哈罗德 多马模型中关于资本和劳动不可替代以及不存 在技术进步的假定之后 所做的基本假定包括 1 社会储蓄函数为 sYS 其中 s是作为参数的储蓄率 2 劳动力按一个不变的比率n增长 3 生产的规模收益不 变 在上述假定 3 并暂时不考虑技术进步的情况下 经济中的生产函数可以表示为人 均形式 kfy 20 23 式中 y为人均产量 k为人均资本 图 20 2 表示了生产函数 20 23 式的图形 Y O k kfy 图图 2020 2 2 人均产量曲线人均产量曲线 从图 20 2 中可以看出 随着每个工人拥有的资本量的上升 即k值的增加 每个工 人的产量也增加 但由于报酬递减规律 人均产量增加的速度是递减的 根据增长率分解式 在假定 2 和不考虑技术进步的条件下 产出增长率就唯一地由 资本增长率来解释 下面就来较细致地考察资本和产量的关系 一般而言 资本增长由储蓄 或投资 决定 而储蓄又依赖于收入 收入或产量又要 视资本而定 于是 资本 产量和储蓄 投资 之间建立了一个如图 20 3 所示的相互依 赖的体系 资本存量 产出 收入 储蓄 投入 资本存量的变化 图图 2020 3 3 资本 产量和储蓄之间的相互依赖资本 产量和储蓄之间的相互依赖 在上述体系中 资本对产出的影响可由集约化的生产函数 20 23 或图 20 3 来描述 资本存量变化对资本存量的影响是明显的和直观的 无需进一步说明 产出对储蓄的影响 可以由储蓄函数来解释 因此 在上述体系中 需着重说明的是储蓄对资本存量变化的影 响 1 新古典增长模型的基本方程 在一个只包括居民户和厂商的两部门的经济中 经济的均衡条件可以表示为 ICY 将上式表示为人均形式 则有 NINCNY 20 24 将 20 24 式动态化 并利用 20 23 式 有 tN tI tN tC tkf 20 25 由于 tN tK tk 对这一关系求关于时间的微分 可得 1 2 dt dN K dt dK N Ndt tdk 20 26 利用 I dt dK n N dtdN 和 上式可表示为 nk dt dk N 1 20 27 由 20 24 式得 N I N CY 注意到 SCY 而 sYS 上式可写为 NINsY 20 28 利用 20 23 式和 20 28 式 将 20 28 式可表示为 nk dt dk ksf 20 29 20 29 式便是新古典增长模型的基本方程 这一关系式说明 一个社会的人均储 蓄可以分为两个部分 1 人均资本的增加 即为每一个人配备更多的资本设备 这被称 为资本的深化 2 每一增加的人口配备每人平均应得的资本设备nk 这被称为资本的广 化 总而言之 这里的意思是 在一个社会全部产品中减去被消费掉的部分之后 剩下来 的便是储蓄 在投资等于储蓄的均衡条件下 整个社会的储蓄可以被用于两个方面 一方 面给每个人增添更多的资本设备 即资本深化 另一方面为新出生的每一个人提供平均数 量的资本设备 即资本广化 2 稳态分析 在新古典增长理论中 所谓稳态是指这样一种状态 这时的人均产量和人均资本都不 再发生变化 按照这种稳态的含义 如果人均资本不变 给定技术 则人均产量也不变 尽管人口在增长 但为使人均资本保持不变 资本必须和人口以相同的速度增长 在假定 技术不变时 按新古典增长理论的假定 便有 n K dtdK N dtdN Y dtdY 换句话说 当经济中的总产量 资本存量和劳动力都以速度n增长 且人均产量固定 时 就达到了稳态 理解基本方程 20 29 式和稳态含义更好的方式是图形分析 如图 20 4 所示 图 20 4 a 中的 kf 曲线为产量曲线 曲线上每一点都表示一个与按人口平均的 资本相对应的按人口平均的产量 例如 当按人口平均的资本为1 k 时 按人口平均的产量 为1 y 曲线 ksf 为储蓄曲线 它表示与每一按人口平均的资本相对应的人均储蓄量 图 中的直线nk为通过原点且斜率为n的直线 根据基本方程 20 29 式及nk线和 ksf 曲线的关系 可以作出图 20 4 下半部 分的图 即 L 曲线 反之 当 ksf 高于nk时 0 nkksf 这时有 0 dt dk 与此 相对应 L 曲线位于横轴的上方 反之 当 ksf 低于nk时 则 0 dt dk 与此相对应 L 曲线位于横轴的下方 当 nkksf等于 时 即 ksf 曲线与nk线相交时 0 dt dk L 曲 线与横轴相交 NYy y B y1 kf ksf N K k k A k2 T R k1 M O nk N K k k z 0 dt dt dk dk O 0 dt dk 图图 2020 4 4 稳态的图示稳态的图示 按照上面关于稳态的说明 当 0 dt dk 时 经济便处于稳态 这对应于图 20 4 上图 中的 A 点和下图中的 z 点 因此 在新古典增长理论中 稳态的条件可表示为 nkksf 20 30 图 20 4 中 由稳态条件确定的人均资本为k 为了进一步理解稳态的含义 考虑 k不等于k的情况 不失一般性 假定实际的k值小于k 由图 20 4 可知 这时有 nkksf 即 n k ksf 20 31 又因为N Y ykf N K k 20 31 式可写为 n K Y s K N N Y s 20 32 在不存在折旧的情况下 根据dt dK ISsY 上式写为 n K dtdK 上式表明 如果实际的 kk小于 时 资本的增长率将大于劳动增长率 换句话说 这 时资本比劳动增加得快 即人均资本在增加 这一点从基本方程 20 29 式看得更清楚 当 nkksf 时 有 0 dt dk 即随着时间的推移 人均资本将会增加 以上的分析表明 只要人均资本低于稳态所要求的水平时 经济中会有一种机制使人均资本不断增加 直到 达到稳态所要求的水平为止 类似地有 当人均资本大于稳态所要求的水平时 则人均资 本将不断减少 直到达到k所表示的水平为止 因此 人均资本k总是趋向于其稳态值 与此相对应 人均产量也趋向于均衡值y 需要特别指出的是 上述关于稳态的分析表明 在稳态时 总收入以与人口相同的速 度增长 即增长率为n 这意味着 稳态中的产量增长率并不受储蓄率的影响 这是新古 典增长理论的重要结论之一 在完成了稳态分析之后 便可进行比较静态分析 3 储蓄率的增加 图 20 5 显示了储蓄率的增加是如何影响产量增长的 图 20 5 中 经济最初位于 C 点的稳态均衡 现在假定人们想使储蓄更大比例的增加 这样使储蓄曲线上移至虚线的位置 这时新的稳态为 C 比较 C 和 C 点 可知储蓄率的 增加提高了稳态的人均资本和人均产量 对于从 C 点到 C 点的转变 这里需要指出两点 1 从短期看 应该说 更高的储 蓄率也导致了总产量和人均产量的增加 这可以从人均资本由初始稳态的 0 k 上升到新的稳 态中的 k 这一事实中看出 因为增加人均资本的唯一途径是资本存量比劳动力更快地增长 进而又引起产量的更快增长 2 由于C点和 C 点都是稳态 按照前面关于稳态的分析 稳态中的产量增长率是独立于储蓄的 从长期看 随着资本积累 增长率逐渐降低 最终 又回到人口增长的水平 图 20 6 概括了以上分析 图 20 6 a 显示了人均收入的时间路径 储蓄率的上升导致人均资本上升 从而增加 人均产量 直到达到新的稳态为止 图 20 6 b 则显示了产量增长率的时间路径 储蓄率 的增加导致资本积累 从而带动了产量的一个暂时性的较高增长 但随着资本积累 产量 的增长最终会回落到人口增长率的水平上 k f s Y O G C k k0 nk k 图图 2020 5 5 储蓄率的增加储蓄率的增加 Y O t t0 t1 Y0 a O G t0 t b 图图 2020 6 6 储蓄率增加的储蓄率增加的 4 人口增长 新古典增长论理论虽然假定劳动力按一个不变的比率n增长 但当把n作为参数时 就可以说明人口增长对产量增长影响 如图 20 7 所示 图 20 7 中 经济最初位于 A 点的稳态均衡 现在假定人口增长从n增加到 n 则图 20 7 中的nk线便移动到 k n 线 这时 新的稳态均衡为 A 点 比较 A 点和A点 可知 人口增长率的增加降低了人均资本的稳态水平 从原来的 0 k 减少到 k 进而降低了人均 产量的稳态水平 这是从新古典增长理论得出的又一重要结论 西方学者进一步指出 作 为人口增长率上升引起的人均产量下降正是许多发展中国家面临的问题 两个有着相同储 蓄率的国家仅仅由于其中一个国家比另一个国家的人口增长率高 就可以有非常不同的人 均收入水平 ksf Y O A A k k0 nk k n k 图图 2020 7 7 人口增长对产量增长的影响人口增长对产量增长的影响 对人口增长进行比较静态分析的另一个重要结论是 人口增长上升提高了总产量的稳 态增长率 理解这一结论的要点在于懂得稳态的真正含义 并且注意到 A 点和A点都是稳 态均衡点 5 考虑技术进步时的稳态 到目前为止 对新古典增长理论的论述都没有涉及技术进步 事实上 如本节开始所 说 考虑技术进步正是新古典增长理论不同于哈罗德 多马模型的重要之处 下面就来论 述考虑到技术进步时的稳态分析 在宏观经济中 考虑到技术进步时的总产量生产函数可以一般地写为 ANKfY 20 33 式中 A 为技术状况 一般地 Y 与 A 具有正向关系 即给定资本和劳动 A 的增加 技术 状况的改进 将带来产量的增加 在增长理论中 为了便于分析技术进步 常将生产函数写为如下形式 NAKfY 20 34 式中 NA 为劳动与技术状况的乘积 这种考虑技术状况的方法据说更容易考察技术进步对 产出 资本和劳动之间关系的影响 如果将 NA 称为有效劳动力 则技术进步意味着增加了经济的有效劳动力 在这种考 虑之下 20 34 式所示的生产函数表示产出是由资本 K 和有效劳动力 NA 两个要素生产的 对于生产函数 20 34 式 若 Y 为 K 和 NA 的一次齐次函数时 可将其表示为 kfy 20 35 式中 NA Y y 被称为有效人均产出 NA K k 被称为有效人均资本 前面的第一部分和第二部分的分析在相当的程度上适用于这里的静态分析 为了避免 重复 下面着重说明特殊之点 1 考虑到技术进步时的稳态是指使有效人均资本和有效人均产量均为常数的状态 在稳态时 总产出将按有效劳动力 NA 的增长率增长 2 由于有效劳动力被定义为 NA 即劳动力 N 与技术状况 A 的乘积 因此 有效劳 动力 NA 的增长率为劳动增长率与技术进步增长率之和 3 将上述 1 和 2 综合在一起 就会看到 在稳态时 总产出的增长率由劳 动力增长率和技术进步率之和所决定 这一增长率与储蓄率无关 利用这一重要结论 并 注意到人均产量被定义为总产量与劳动力之比 则知 在稳态时 人均产量增长率决定于 技术进步率 由于在稳态时 产出 资本和有效劳动力都按相同的比率增长 故这种稳态也被称为 平衡增长状态 根据以上讨论 若记 N g 为人口增长率 A g 为技术进步增长率 则平衡增 长的特征可以被概括为下面的表 20 1 表表 2020 1