实验三 级数.doc

实验三 级数【实验目的】1 了解级数的有关理论。2 了解函数的Taylor展开式3学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】1 求函数的Taylor级数，并考察它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数向的图形的逼近的情况2 计算级数的值3 验证Euler公式【实验准备】1 级数的基本概念数项级数：称用加号将数列的项连成的式子为（常数项）无穷级数，简记为。称级数前项构成的和为级数的部分和。若，则称级数收敛，其和为。Taylor级数：设函数在包含的区域内具有各阶导数，则称幂级数为函数在的Taylor级数，当时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。2级数的MATLAB命令MATLAB中主要用symsum,taylor求级数的和及进行Taylor展开。symsum(s,v,a,b) 表达式s关于变量v从a到b求和taylor(f,a,n) 将函数f在a点展为n-1阶Taylor多项式可以用help symsum, help taylor查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1求函数的Taylor级数，并考察它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数向的图形的逼近的情况clearsyms x;taylor(sin(x),0,1) ans =0 clearsyms x;taylor(sin(x),0,2) ans =x clearsyms x;taylor(sin(x),0,3) ans =x clearsyms x;taylor(sin(x),0,4) ans =x-1/6*x3 clearsyms x;taylor(sin(x),0,5) ans =x-1/6*x3 clearsyms x;taylor(sin(x),0,6) ans = x5/120 - x3/6 + x 在区间上做出函数和其泰勒展开式的前几项构成的多项式的图形clearx=0:0.01:pi;y1=sin(x);y2=x;y3=x-x.3/6;y4=x-x.3/6+x.5/120;plot(x,y1,x,y2,r:,x,y3,k-.,x,y4,c-) 练习2 利用幂级数计算指数函数 建立M脚本文件ex0302x=input(x=);n=input(n=);y=1;for i=1:ny=y+xi/prod(1:i);endvpa(y,10) 取x=1;n=10,对比vpa(exp(1),10)再取x=2;n=10,对比vpa(exp(2),10)发现计算精度不高。为了一次处理x=1,2,4,-4的情况，建立M脚本文件ex030202如下：x=input(x=);n=input(n=);y=ones(size(x);for i=1:n y=y+x.i/prod(1:i); s1=sprintf(%13.0f,i); s2=sprintf(%18.8f,y); disp(s1,s2)end在命令窗口输入ex030202后，输入x=1,2,4,-4n=10 1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180 7.38899471 54.44310406 0.09671958 为减少计算量，可将程序改写为：x=input(x=);n=input(n=);y=zeros(size(x);z=ones(size(x);for i=1:n y=y+z; z=x.*z/i; s1=sprintf(%13.0f,i); s2=sprintf(%18.8f,y); disp(s1,s2)end ex030202x=1,2,4,-4n=10 1 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 2 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 3 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 4 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667 5 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 6 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 7 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 8 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 9 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 10 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986练习3 编写把任意函数展开为泰勒级数的程序，并显示其误差曲线。对于任意函数y=f(x),其泰勒展开式为：解：（1）编写M脚本文件：clear;close all;fxs=input(输入y=f(x)的表达式)K=input(输入展开式的阶);a=input(展开的位置a=);b=input(展开的区间半宽度b=);x=linspace(a-b,a+b);lx=length(x);dx=2*b/(lx-1);y=eval(fxs);subplot(1,2,1)plot(x,y,:);hold onDy=diff(y)/dx;Dya(1)=Dy(round(lx-1)/2);yt(1,:)=y(round(lx/2)+Dya(1)*(x-a);plot(x,yt(1,:)for k=2:KDy=diff(y,k)/(dxk);Dya(k)=Dy(round(lx-k)/2);%求a点的k阶导数;yt(k,:)=yt(k-1,:)+Dya(k)/prod(1:k)*(x-a).k;%求y的k阶导数;plot(x,yt(k,:);e(k,:)=y-yt(k,:);endtitle(fxs的各阶泰勒级数曲线)gridhold offsubplot(1,2,2)for k=1:Kplot(x,e(k,:)hold onendtitle(fxs的各阶泰勒级数的误差曲线)grid hold off另存为ex0303.m（2）在命令窗口输入 ex0303输入y=f(x)的表达式cos(x)fxs =cos(x)输入展开式的阶5展开的位置a=0.5展开的区间半宽度b=2练习4 计算级数的值。解：clear;close all;syms n;s=symsum(1/(n2),n,1,inf) s =1/6*pi2 注：可公式来计算的近似值。如果要精确到小数点后15位，则digits(20);a=1.0;kk=1.0;for n=1:20kk=kk/n;a=a+kk;endvpa(a,17) ans =2.7182818284590455 练习5 （调和级数）级数称为调和级数，我们把它的前项部分和计算的值，以及它们的差解：H(1)=1;C(1)=1;for n=2:100H(n)=H(n-1)+1/n;c(n)=H(n)-log(n+1);C(n)=H(n)-log(n);endc(80:100),C(80:100) ans = 0.5710 0.5835 0.5711 0.5834 0.5712 0.5833 0.5713 0.5832 0.5713 0.5832 0.5714 0.5831 0.5715 0.5830 0.5715 0.5830 0.5716 0.5829 0.5716 0.5828 0.5717 0.5828 0.5718 0.5827 0.5718 0.5826 0.5719 0.5826 0.5719 0.5825 0.5720 0.5825 0.5721 0.5