正弦定理和余弦定理知识点总结(学案).doc

正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常见变形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsinAsinBsinC；(4)；(5)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C二、对三角形解的个数的探究正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：1已知两角和任意一边，求另两边和另一角；2已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：(1)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；(2)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0sin B1可得B有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大角对大边”、“三角形内角和等于180”等，此时需进行讨论判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定设A为锐角，若ab，则AB，从而B为锐角，有一解；若ab，则A1，无解；sin B1，一解；sin B1，两解法二：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabbsin Aababab解的个数一解两解无解一解无解三、三角形的面积公式已知条件选用公式三角形的一边及此边上的高公式1：SABCahabhbchc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)三角形的两边及夹角公式2：SABCabsin Cbcsin Aacsin三角形的两角及一边 公式3：SABCa2，SABCb2，SABCc2.三角形的三边公式4：(海伦公式)SABC，其中p(abc).SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R、r分别是三角形外接圆、内切圆的半径)，并可由此计算R，r.高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A1个B2个C0个D无法确定(2)在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_(3)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数 (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数【变式探究】(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax2Bx2C2x2D2x2(2)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB_.高频考点二和三角形面积有关的问题例2、(2015浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值【感悟提升】(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【举一反三】(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理【变式探究】在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形练习：1已知ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，b2acosB，c1，则ABC的面积等于() A. B. C. D.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C2B，则为() A2sinC B2cosB C2sinB D2cosC3已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B. C. D.4在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lgblg，则A()A90 B60 C120 D1505在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为() A B. C1 D.6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinAacosC，则sinAsinB的最大值是()A1 B. C. D37.在ABC中,若A=3,B=4,BC=32,则AC=()A.32B.3C.23D.458.在ABC中,若a2+b2b B.ab C.a=b D.a与b的大小关系不能确定11.在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cosB=.12.ABC中,三个内角A,B,C对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B=.13.ABC中,点D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)若BAC=60,求B.14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2A2-2sin2B2=32,且AB,求ca.16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.正余弦定理在实际中的应用对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.如图中ABC为北偏东60或为东偏北30. （4） （3） （3） （2） （1） 知识点一测量距离问题例1 (导学号：30280048)如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60.求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离1如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A240(1)mB180(1) mC120(1) m D30(1) m知识点二测量高度问题例2 (导学号：30280050)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.知识点三测量角度问题例3 (导学号：30280052)如图，在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10 n m