（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何9第9讲曲线与方程教学案.docx

第9讲曲线与方程1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点3求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y与xy2表示同一曲线()(5)ykx与xy表示同一直线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(选修21P37练习T3改编)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆 D抛物线解析：选D.由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线2(选修21P35例1改编)曲线C：xy2上任一点到两坐标轴的距离之积为_解析：在曲线xy2上任取一点(x0，y0)，则x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.答案：23(选修21P37A组T4改编)已知O的方程为x2y24，过M(4，0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为_解析：根据垂径定理知：OPPM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在O内的部分以OM为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O的交点为(1，)结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0x1)答案：(x2)2y24(0x1)易错纠偏(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”1(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是_(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2y22x0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则2，整理得3x23y24x4y80，所以满足条件的点的轨迹是圆(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x1的距离相等，其轨迹是抛物线，且1，所以其方程为y24x(x0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y0(x0)故动圆圆心M的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)答案：(1)圆(2)y24x(x0)或y0(x0)2已知A(2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是_解析：由角的平分线性质定理得|PA|2|PB|，设P(x，y)，则2，整理得(x2)2y24(y0)答案：(x2)2y24(y0)定义法求轨迹方程 已知A(5，0)，B(5，0)，动点P满足|，|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为_【解析】由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)【答案】1(x4) (变条件)若将本例中的条件“|，|，8”改为“|，|，8”，求点P的轨迹方程解：由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制 1(2020浙江名校联考)已知ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_解析：设A(x，y)，由题意可知D.又因为|CD|3，所以9，即(x10)2y236，由于A，B，C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y0，所以点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)2(2020杭州七校模拟)已知动圆C过点A(2，0)，且与圆M：(x2)2y264相内切求动圆C的圆心的轨迹方程解：圆M：(x2)2y264，圆心M的坐标为(2，0)，半径R8.因为|AM|4|AM|.所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a4，c2.所以b2a2c212.所以动圆C的圆心的轨迹方程为1.直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容主要命题角度有：(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；(2)无明确等量关系求轨迹方程角度一已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹) 已知点F(0，1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22y Dy24x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，1)因为，所以(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.【答案】A角度二无明确等量关系求轨迹方程 (2020金华十校联考)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)求直角顶点C的轨迹方程【解】法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性提醒对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围 1已知|AB|2，动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹方程为_解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)设P(x，y)，因为|PA|2|PB|，所以 2，整理得x2y2x10，即y2.所以动点P的轨迹方程为y2.答案：y22如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)因为M(x，y)为线段AB中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)当x1时，因为l1l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以kPAkPB1，即1(x1)，化简得x2y50(x1)当x1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点为(1，2)，满足方程x2y50(x0，y0)综上得M的轨迹方程为x2y50(x0，y0)利用相关点法(代入法)求轨迹方程 (2020杭州模拟)已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆 B抛物线C双曲线 D椭圆【解析】因为点P满足()，所以Q是线段PF1的中点设P(x1，y1)，由于F1为椭圆C：1的左焦点，则F1(，0)，故Q，由点Q在椭圆C：1上，则点P的轨迹方程为1，故点P的轨迹为椭圆【答案】D 1(2020浙江名校联考)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为_解析：由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得所以所以x0，且|x|2，故点Q的轨迹是以C，F为焦点的双曲线，a1，c2，得b23，所求轨迹方程为x21.答案：x2110(2020杭州高级中学模拟)已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析：，如图，22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点的坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案：111设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.12已知P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1，0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解：(1)圆A的圆心为A(1，0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，即a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.综合题组练1已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：选A.由2log2y2log2x得log2y2log2(4x)，故点M(x，y)的轨迹方程为y24x(x0，y0)，即y2(x0)，故选A.2已知点A，B分别是射线l1：yx(x0)，l2：yx(x0)上的动点，O为坐标原点，且OAB的面积为定值2，则线段AB的中点M的轨迹方程为_解析：由题意可设A(x1，x1)，B(x2，x2)，M(x，y)，其中x10，x20，则因为OAB的面积为定值2，所以SOABOAOB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2，而x1x22，所以x2y22.由于x10，x20，所以x0，即所求点M的轨迹方程为x2y22(x0)答案：x2y22(x0)3曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点O到两个定点F1(1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，而a21，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1，0)，F2(1，0)关于原点对称，设M是曲线C上任意一点，所以|MF1|MF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，所以正确答案：4已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解：(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1，1)到直线l的距离d，由题意，得4252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y460.5.(2020温州市普通高中模考)如图，P为圆M：(x)2y224上的动点，定点Q(，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.(1)求动点N的轨迹方程；(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2y22的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|OB|的最大值解：(1)连接QN，因为|NM|NQ|NM|NP|MP|22|MQ|，所以动点N的轨迹为椭圆，所以a，c，所以