大学数学写作模板doc

大学数学写作模板doc 请作者严格按照该模板进行排版（请用word排版，MathType公式器数学公式）（页面设置页边距上2.5厘米，下2.5厘米，左2.5厘米，右2.5厘米）中文文题（二号宋体，单倍行距，居中。 禁止使用非通用缩略词；尽量不出现“一种”、“研究”等词。 ）（中文标题与作者之间空一行）李勇1，2，李顺文1，李伟2（小四号仿宋，单倍行距，居中。 两个字作者名中间空一汉字格(即敲两下空格键），三个字的不空；姓名之间空一汉字格）（1.西华大学应用数学研究所，成都610039；2.宜宾学院数学研究所，四川宜宾644007）（小五号宋体，单倍行距，居中。 省会城市只写城市名而非省会城市需写省名与城市名）摘要（里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号是宋体;前空两汉字格）摘要字数为100-180字。 （写明研究的目的、方法、结果和结论；不以“本文”、“作者”、“我们”等作为摘要陈述的主语；不使用图、表或数学公式；不使用一次文献中列出的章节号、图号、公式号以及参考文献号等。 ）(摘要内容小五号宋体，单倍行距）关键词关键词1；关键词2；关键词3；关键词4（里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号是宋体;前空两汉字格；内容是35个小五号宋体，单倍行距，词之间用分号）O177.5A（B、C）1672-1454 (2018)01-（里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号是宋体;前空两汉字格；“”按照中图分类法中专业划分填写。 理论写A，应用写B，教学写C）正文排版五号宋体，特殊标注除外1引言（一级标题，顶格，小四号黑体（不是加粗）；一级标题上下各空一行;“1”与“引”之间空一汉字格，“引”与“言”之间空两汉字格）参考文献必须在正文引用处标出，且按照引用顺序排序号。 文中出现的公式、图、表、定理、推理、定义、命题等，均要按其在正文中被引用的顺序，分别采用阿拉伯数字排序，不以章节编号。 xx-10-25；修改日期xx-01-18基金项目国家自然科学基金 （00000000）；四川省教育厅自然科学重点项目（123A164）作者简介李勇（19*-）,男，博（硕、学）士，教授（副教授、讲师、助教），从事*研究.Email:*（19*-）,男，本科在读，*专业.Email:*（19*-）,男，硕士在读，*专业.Email:*（19*-）,男，博士在读，*专业.Email:*就是您的投稿日期，修改日期就是稿件修改后发到部的日期。 作者简介仅需第一作者，若有通讯作者按作者简介格式写全信息（此块放在首页正文下方，正文排版不是页脚，按要求写全信息；里的词是小五号黑体(不是加粗)中括号是宋体;内容排小五号宋体2一级标题（一级标题顶格，小四号黑体（不是加粗）；一级标题上下各空一行）2.1数学量与符号使用规范（二级标题，五号黑体（不是加粗）量的单位采用英文表示，量的数值与量的单位之间留一空格，如“10毫米”应为“10mm”。 2.1.1使用黑斜体的情况（i）矩阵，如A=1234?；（矩阵字母用黑体）（ii）矢量（向量），如r=（x,y,r），=（1,2,3）。 （向量字母用黑体，不用箭头）2.1.2使用空心正体的情况复数集?、实数集?、有理数集、整数集?、自然数集?，及其扩展情况，如正整数集+?，n维实坐标向量空间n?等。 （若空心字母敲不出请用彩色标出以便识别）2.2.3文中内容（如定理、引理、命题、结论?）若按序号列出用罗马数（i）?；（ii）?.（请注意各级标题序号和文中序号的排版格式,请参考您正在看的此模板）2.2.4文中公式若按序号列出用阿拉伯数（重要的和下文需用的写序号，其他的不用写）12()()()y P x yPx y Qx?，2.2.5使用白斜体的情况(i)变量的符号；(ii)一般函数符号。 2.2.6使用正体的情况(i)常量，如，e；(ii)单位，如m，km；(iii)表示数学运算的符号或常用函数，如矩阵转置符T、矩阵求秩函数rank(A)、正弦函数sin、微分符号d、复数虚部i、有限增量符号等。 2.2图文图要求线条清晰。 正文中图随文后，且图必须放在本节内，不得跨节出现。 一般图放右侧左边串文。 图字为小五号黑体。 多幅可并排。 示例若要实解存在，由判别式大于等于零得2()sin1.sinfaqjq?根据假设条件，若上式取大于号，得到f?(?)0，则f(?)存在范围宽图1范围示意图o?/2-a-asin?f(?)f图2图3障碍物包络图2.3表文中所建表格必须有表头并放在第一行。 正文中表随文后，且不能跨节。 （表头用小五号黑体）表身内的数据一般不带单位。 若全表数据单位一致，将单位置于表格右上角，右端空一格；若每行或每列数据单位一致，则将单位归并于量的名称式符号后，即量/单位。 （表身用小五号宋体）表1算法运行时间比较ms算法V/(m/s)101001000AA/()?1)?BB/Hz?本文/(%)?注（说明，分析）?（“注”、“说明”、“分析”等用五号华文楷体；内容用宋体）2.4公式公式、正文中的变量均需采用公式器录入，居中排，全文顺序排号。 公式太长需要换行的，后一行以运算符开始，如3223 (33)DI x x y xy ydxdy?1322 (3)Dx xydxdy?（1D为D中0y?的部分） （1）（重要的与下文需用的写序号，其他的不用写）2.5其他定理1定理名称。 定理描述。 证（不写证明）（“定义”、“定理”、“引理”、“例”、“证”、“解”等用五号黑体（不是加粗）；内容排宋体）3结论（一级标题，顶格，小四号黑体，“结”与“论”之间空两个汉字格；一级标题上下各空一行）总结本文方法及取得的成绩，切勿简单重复摘要内容。 参考文献（五号黑体，居中；字之间空一汉字格）1作者姓名.文章题目J.期刊名称，年份，卷（期）起止页码.2作者姓名.书名M.版次.出版地出版社名，年份页码.（首次出版的版次不用写，页码可以不写）3析出文献主要责任者.析出文献题名M/专著主要责任者.专著题名.出版地出版者，出版年析出文献的页码.4析出文献主要责任者.析出文献题名C/专著主要责任者.会议论文集名.出版地出版者，出版年析出文献的页码.示例1张量，宋卫东.正螺面的两个特征J.大学数学，xx,25 （5）145-147.2Foster DP,George EI.The riskinflation criterionfor multipleregressionJ.The Annalsof Statistics,1994,22 (4):1947-1975.3余敏.出版集团研究M.3版.北京中国世纪出版社，xx:179-193.4Baker SK，Jackson ME.The futureof resourcesharingM.New York:The HaworthPress,1995.5程根伟.1998年长江洪水的成因与减灾对策M/许厚泽，赵其国.长江流域洪涝灾害与科技对策.北京科学出版社，1999:32-36.6钟文发.非线性规划在可燃毒物配置中的应用C/赵玮.运筹学的理论与应用中国运筹学会第五届大会论文集.西安西安电子科技大学出版社，1996:468-471.（顶格排版。 小五号，宋体。 序号与内容之间空一汉字格）Solution toBase on the SimilarStructure of the DoublePorosity-Multilayer Reservoir（除虚词外，每个单词的首写字母均大写。 （三号新罗马(Times NewRoman)，加粗，居中；标题上下各空一行）LI Yong1，2，LI Shun-wen1，LI Wei2（作者姓全大写，名首字母大写；名之间空一汉字格）(1.Institute ofApplied Mathematics,Xihua University，Chengdu610039,China;2.Institution ofMathematical Science,Yibin University,Yibin Sicuan644007,China)（小五号新罗马，正体，单倍行距，居中须提供单位正式英文名称，不能使用简写或缩写。 ）（地址与摘要之间空一行）Abstract:（英文摘要应是中文摘要的直译，所以只要简洁、准确地逐段将文章译出即可，时态常用一般现在时间、一般过去时，少用或不用现在完成时、过去完成时、进行时态和其他复合时态。 尽量使用短句，但也要避免单调和重复。 第一次出现缩略语需要提供英文全称，格式为“multiple inputmultiple output(MIMO)”）（“Abstract:”排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗）Key words:word1;word2;word3;word4（“Key words:”排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗；词之间用分号关于凸性的一些探讨廖俊俊，吴洁（华中科技大学数学与统计学院,武汉430074）摘要现行的不少教材在叙述凸函数定义时，通常都假设函数是连续的。 本文以没有连续为前提的一元凸函数的定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出了判定函数为凸的一个充要条件。 关键词连续性；凸函数；左导数；右导数O172.1C1672-1454 (xx)05-1引言在第二届全国大学生数学竞赛（数学类，预赛）中有如下试题设2R D?是凸区域，函数),(y x f是凸函数，证明或否定),(y x f在D上连续。 注函数),(y x f是凸函数的定义是)1,0(?以及D y x yx?)(),(2211，成立),()1(),()1(,)1(22112121yx f yx f y yx x f?.答案是肯定的。 需要说明的是，这里所说的凸函数（convex function），在现行的有些教材中称为下凸函数。 上述试题引起了我们的思考，原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时，通常都假设函数是连续的1-4，即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件5-7，也并没有以此为基础讨论函数的分析性质。 最近的文8，也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。 本文以没有连续为前提的一元凸函数义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出判别凸函数的一个充要条件。 2凸函数的定义及连续性定义17设函数f在闭区间,b a上有定义，若)1,0(?以及,21b a x x?，成立xx-05-13；修改日期xx-06-20基金项目华中科技大学xx年教学研究项目 （xx068）作者简介廖俊俊（1973-）,男，博士，讲师，从事随机分析、泛函分析研究.Email:liaojunjunhust.通讯作者吴洁（1962-）,女，硕士，教授，主要从事微积分教学与研究.Email:wujie627415163.6)()1()()1(2121x f x f x x f?, （1）则称函数f在,b a上是凸函数。 式 （1）等价于对任意的b x x a?21以及),(21x x内任意一点x，成立11)()(x xx f x f?x xx f x f?22)()(, （2）也等价于)()()()()(111212x f x xx xx f x fx f?. （3）在几何上等价于任意两点)(,11x f x（和)(,22x f x（之间的弧位于这两点连线的下方。 如果将,b a换成),(b a，则得到相应的开区间内的凸函数定义。 下述定理1将告诉我们，凸函数在开区间内每一点都存在左导数与右导数。 定理1设函数f是闭区间,b a上的凸函数，则对任意),(b a x?，)(x f的右导数)(x f?、左导数)(x f?均存在；且)(x f?)(x f?.证对任意),(b a x?，令hx f h x fh F)()()(?，任取充分小的0,21?h h，使得b h x h x x?21，利用式 （2），有121121()()()()f x h f x f x h f xhh h h+-+-+?-，于是)()()()()()(222111h Fhx f h x fhx fh x fh F?，可见当0?h且b h x?时，函数)(h F是单调增的。 由于b hx x a?，根据式 (2)有)()()(h Faxa f x f?，由此知当h单调递减趋于0时，)(hF单调递减且有下界，故极限存在，即有hx fhx fh Fx fh h)()(lim)(lim)(00?，7这就证明了)(x f的右导数)(x f?存在，类似可证明)(x f的左导数)(x f?存在。 注意到),(b ax?以及足够小的0,21?hh，若b hx xhx a?21，由式 （2），有1212()()()().f xhf x fxhf xhh-+-?-分别令?0,021hh，即得)(x f?)(x f?。 由定理1即可得到下面关于连续性的结论。 定理2设函数f是闭区间,b a上的凸函数，则函数f在开区间),(b a内连续。 证对任意),(b ax?，因)()()()(x fhhx fhx fh x f?，由定理1知hx fhx fh)()(lim0?存在，所以)()()()(lim)(lim00x fxfhhx fhxfh xfh h?，故f在),(b a内左连续。 类似可得f在),(b a内右连续，从而f在),(b a内连续。 注尽管当函数f是闭区间,b a上的凸函数时，能得到f在开区间),(b a内连续，但f在端点a及b上并不一定是单侧连续。 例1考查1,1?上函数?1,2,11,1,2)(2xx xxx f的凸性与连续性。 )(xf图像如图1所示。 由图像可知，f是1,1?上的凸函数，且在)1,1(?内连续，但f在1?x以及1?x图1点均不单侧连续。 3区间端点附近的性态探讨例1表明，闭区间,b a上的凸函数f可能在端点a或b处不连续。 我们自然会问对8于一个闭区间上的凸函数，当它在端点不连续时，其在端点附近的形态如何？下面的定理回答了这个问题。 定理3设函数f是闭区间,b a上的凸函数，则函数f在端点a和b单侧极限都存在，并且)()(a fa f?，)()(b fb f?.证仅证)()(a fa f?()()(b fb f?可类似证明).对任意),(b ax?，f是闭区间,b a上的凸函数，由凸函数定义得)()()(b faba xa fa bxbx f?, （4）所以|)(|)(|)(|b fa fxf?，即函数f在,b a上有界。 任意b c c yx a?1，由 （2）知11)()()()(c f c fx yx f y f?，即有)()()()()(11xfx yc f c fy f?.固定c c,1，上式两边令?ax并取下极限，得)(lim)()()()(11xfx yc fc fy fa x?，上式两边令?a y并取上极限，得)(lim)(lim xf y fa xa y?，注意到f在,b a上有界，由此知)(lim xfa x?存在。 进一步，由式 (4)，令?ax即得)()(a fa f?.上述结论告诉我们，尽管闭区间上的凸函数在端点可能不连续，但形态也相当好具有单侧极限。 对于一个开区间内的凸函数，它在区间端点附近又会是什么样的表现呢？请看定理4。 定理4设函数f是),(b a内的凸函数，则(i）对于端点a，要么)(?a f存在，要么?)(a f；(ii）对于端点b，要么)(?b f存在，要么?)(b f.9证(i）任取b yx a?，以及任意b y?1，由凸函数定义，有11)()()()(c fcfx yxf y f?，令?1，由定理1，得)()()(cfx yxf y f?，于是)()()(xfxycf y f?.令?ax，取下极限，即有)(lim)()(xfa ycfyfa x?，此时显然有)(lim)()()()(11xfx yc fc fyfa x?，再令?ay，并取上极限，得)(lim)(lim xfyfa xay?.由此，得到如果)(lim xfa x?存在，那么)(?a f存在；如果?)(lim xfax，那么?)(a f.(ii）的证明与(i)类似。 4凸函数的单侧导数判别定理最后，用单侧导数导出一个函数为凸函数的充要条件。 为此，先证明Fermat定理的一个推广。 引理1设),(b a内的函数f在点),(0b ax?的左、右导数都存在，且)()(00xfxf?.如果0x为f的一个极大值点，那么f在0x点可导，且有0)(0?xf.证由条件，当0x x?时，0)()(00?x xxfxf；当0x x?时，0)()(00?x xxfxf，于是0)()(lim)(0000?x xxfx fx fx x；0000()()()lim0.x xfxfxf xx x+?-?=?-从而) (0)(00xfxf?.而另一方面，根据条件有00()()fxfx?，因此00()()0.fxfx-+=10即f在0x点可导，且有0)(0?xf.注容易知道，对于极小值点也有与引理1对偶的结论。 定理5函数f是闭区间,b a上的凸函数的充要条件是f在开区间),(b a内任一点的左、右导数都存在，以及在端点b a,处对应的单侧极限存在，且满足(i）对任意b yx a?，成立)()()()(yfyfxfxf?；(ii）)()(a fa f?，)()(b fb f?.证必要性。 由定理1知f在),(b a内任一点的左右导数都存在，再由定理3可知f在端点a和b处相应的单侧极限都存在，并且)()(a fa f?，)()(b fb f?。 即得(ii)成立。 对任意b yx a?，任取b y y yx x xa?2121，由式 （2），得x xxfxfx xxfxf?2211)()()()(y yyfyfy yyfyf?2211)()()()(，分别令?y yyyx x x x2121,，得)()()()(yfyfxfxf?，即(i)成立。 充分性。 首先对任意),(b ax?，函数在x点的左右导数都存在，故函数在),(b a内连续；其次，因为在端点的单侧极限存在以及条件(ii），所以不妨假设)()(a faf?，)()(b fb f?.对任意b x xa?21，记?)()()()()()(111212xfx xx xxfxfxfx g，显然g是连续函数，且对21xyx x?，有)()()()(y gy g x gx g?. （5）由凸函数定义的式 （3）形式知，只需证对21x x x?，0)(?x g.用反证法若不然，则存在),(210xxx?使得0)(max)(210?x gx gxxx.由引理1，有0)(0?xg.令0)(),sup011?y gxxyx，由g的连续性，这样的1x是存在且0)(1?x g.显然，对01xxx?，有0)(?x g.于是110)()(lim)(1111?x xx gx gx gxx.注意到式 （5）以及0)(0?xg，知对任意01xxx?，0)()()()(0001?x gx gx gx g.于是知g在,(01xx上可导且0)0(?g，,(01xxx?.故在,(01xx上，0)()(0?x gx g.由连续性得0)()(01?x gx g，与1x的取法相矛盾。 从而,21xxx?，0)(?xg.利用定理5，可以很容易地判断一个分段函数是否为凸函数。 例2考查函数?01,32)1(31,10,)(2x xxex fx的凸性。 解易知函数f在0,1?以及1,0上都是凸的。 由于xx2 (1)12133 (0)lim1lim (0)3xx xxeffx x-+-+?+-=，故由定理5知函数f在上是凸的（如图2所示）。 例3考查函数?01,)1(10,)(2xxxex gx的凸性。 解易知函数)(xg在0,1?以及1,0上都是凸的。 但由于)0(1lim121)1(lim)0(020?gxexxgxx x，由定理5，可知函数)(xg在区间1,1?上不是凸的（如图3所示）。 图2图312