第三章 线性系统的时域分析法

第三章时域分析法 3 1系统的时域性能指标3 2一阶系统的时域分析3 3二阶系统的时域分析3 4高阶系统的时域分析3 5线性系统的稳定性分析3 6线性系统的稳态误差计算 概述分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型 然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计 由于多数控制系统是以时间作为独立变量 所以人们往往关心状态及输出对时间的响应 对系统外施一给定输入信号 通过研究系统的时间响应来评价系统的性能 就是控制系统的时域分析 3 1系统的时域性能指标 基本概念时域分析法 含义 在时间域内研究控制系统性能的方法 分析方法 通过拉氏变换直接求解系统的微分方程得到系统的 单位阶跃 时间响应 根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能典型输入信号 引入目的 便于对系统进行分析 设计和比较 根据系统常遇到的输入信号形式 在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数 称为典型输入信号 实例 单位阶跃 单位斜坡 速度 函数 单位加速度 抛物线 函数 单位脉冲函数和正弦函数 瞬态响应 含义 指系统在典型输入信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程 又称动态过程或过渡过程 应用 分析系统稳定性 响应速度及阻尼情况等 稳态响应 含义 指系统在典型输入信号作用下 当时间t趋于无穷时 系统输出量的表现方式 稳态响应又称稳态过程 应用 分析系统稳态误差 稳定性 含义 若控制系统在初始条件或扰动影响下 其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零 则称系统稳定 反之 不稳定 控制系统能在实际中应用 其首要条件是保证系统具有稳定性 稳定性取决于系统本身的结构和参数 与外加信号无关 误差和稳态误差控制系统在输入信号的作用下 其输出量中包含瞬态分量和稳态分量 对于稳定的系统 瞬态分量随时间的推移而逐渐消失 稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在 其表现方式就是稳态响应 稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度 这种能力或精度称为系统的稳态性能 一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的 动态性能指标上升时间tr 振荡 响应曲线从0首次上升到稳态值h 所需时间 无振荡 从稳态值的10 上升到90 所需时间 峰值时间tp响应曲线超过稳态值h 达到第一个峰值所需时间 调节时间ts在稳态值h 附近取一误差带 通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间 超调量 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比超调量表示系统响应过冲的程度 超调量大 不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下 而且使调节时间加长 振荡次数N在调节时间以内 响应曲线穿越其稳态值次数的一半 tr和tp表示控制系统反映输入信号的快速性 和N反映系统动态过程的平稳性 即系统的阻尼程度 ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标 除简单的一 二阶系统外 要精确确定这些动态指标的解析表达式是很困难的 一阶系统 s 标准形式及h s 3 2一阶系统的时域分析 一阶系统动态性能指标计算 T 1 2 5 10时一阶系统的仿真曲线 0 没有超调 为非周期响应 惯性环节亦称非周期环节 5 2 T越小 系统快速性越好 例1 系统如图所示 现采用负反馈方式 欲将系统调节时间减小到原来的0 1倍 且保证原放大倍数不变 试确定参数Ko和KH的取值 解 闭环系统应满足 3 2 3一阶系统的典型响应 r t R s C s F s R s c t 一阶系统典型响应d t 11 t t 一阶系统的典型响应 例2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求G s 解 例3 一阶系统的结构图如图所示 若kt 0 1 试求系统的调节时间ts 如果要求ts 0 1秒 试求反馈系数应取多大 解 系统的闭环传递函数 一阶系统问题求解思路根据题意求出系统闭环传递函数 输入输出传递函数 抓住性能指标与时间常数T之间关系求解 二阶系统的数学模型位置随动系统 3 3二阶系统的时域分析 二阶系统传递函数的标准形式 为系统的阻尼比 为无阻尼振荡频率 简称固有频率 也称自然振荡频率 闭环特征方程 闭环传递函数的极点 特征根 当 0时 系统有一对共轭纯虚根 称为无阻尼或零阻尼状态 当0 1时 此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根 称为欠阻尼状态 当 1时 特征方程具有两个相等的负实根 称为临界阻尼状态 当 1时 特征方程具有两个不相等的负实根 称为过阻尼状态 二阶系统的单位阶跃响应过阻尼 1 情况 当系统的输入信号为单位阶跃函数时系统输出 注 过阻尼二阶系统看作两个时间常数不同的一阶系统的串联 注 过阻尼二阶系统起始速度小 然后上升速度逐渐加大 到达某一值后又减小 响应曲线不同于一阶系统 过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts 根据公式求ts的表达式很困难 一般用计算机计算出的曲线确定ts 临界阻尼 1 情况 注 过阻尼包括临界阻尼时 二阶系统的响应较缓慢 实际控制系统一般不采用过阻尼系统 欠阻尼 0 1 情况为衰减系数为阻尼振荡频率为无阻尼振荡频率或固有频率 自然振荡频率 欠阻尼系统是现实中最多也是我们最感兴趣的系统 角的定义 注 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的 衰减速度取决于特征值负实部的大小 而衰减振荡的频率 取决于特征根虚部的大小 越大 超调量 越小 响应的振荡性越弱 平稳性越好 反之 越小 振荡性越强 平稳性越差 当 0时 系统的零阻尼响应为若 过大 如 系统响应迟缓 调节时间ts长 快速性差 若 过小 虽然响应的起始速度较快 tr和tp小 但振荡强烈 响应曲线衰减缓慢 调节时间ts亦长 欠阻尼二阶系统动态过程分析延迟时间td的计算当 近似有 上升时间tr 当一定时 越小 tr越小当 一定时 越大 tr越小 峰值时间tp对c t 求导数 得 当一定时 越小 tp越小当 一定时 越大 tp越小 超调量 超调量是阻尼比 的函数 与无阻尼振荡频率的大小无关 与 的关系曲线 增大 减小通常为了获得良好的平稳性和快速性 阻尼比 取在0 4 0 8之间 相应的超调量25 2 5 调节时间tsts 当 0 8时 经验公式 有误差 振荡次数N在调节时间内 响应曲线穿越其稳态值次数的一半 为阻尼振荡的周期 例1 已知单位反馈系统的开环传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数 试计算放大器增益KA 200时 系统输出响应的动态性能指标 当KA增大到1500时或减小到13 5 这时系统的动态性能指标如何 解 系统的闭环传递函数为 根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式 可以求得 由此可见 KA越大 越小 越大 tp越小 越大 而调节时间ts无多大变化 系统工作在过阻尼状态 峰值时间 超调量和振荡次数不存在 而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计或在响应曲线上求得 KA增大 tp减小 tr减小 可以提高响应的快速性 但超调量也随之增加 仅靠调节放大器的增益 即比例调节 难以兼顾系统的快速性和平稳性 为了改善系统的动态性能 可采用比例 微分控制或速度反馈控制 即对系统加入校正环节 n 例2 下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统 系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制 试分析比例微分校正对系统性能的影响 解 系统的开环传递函数为 系统闭环传递函数等效阻尼比 分析 引入微分校正后 增大了系统的阻尼比 但不改变系统的无阻尼振荡频率wn和开环增益k 使系统动态过程的超调量下降 调节时间缩短 但并不影响系统的稳态精度 比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s 1 Td 前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用 由于稳态误差与开环增益成反比 因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td 既可减小稳态误差 又可获得良好的动态性能 对抑制噪声不利 例3 上图是采用了速度反馈控制的二阶系统 试分析速度反馈校正对系统性能的影响 解 系统的开环传递函数为 为引入速度反馈开环增益 比原系统开环增益有所减小 增大了稳态误差 因此降低了系统的稳态精度 闭环传递函数显然 所以速度反馈可以增大系统的阻尼比 不改变无阻尼振荡频率wn 因此 速度反馈可以改善系统的动态性能 在应用速度反馈校正时 应适当增大原系统的开环增益 以补偿速度反馈引起的开环增益减小 同时适当选择速度反馈系数kt 使阻尼比在适当范围 在减小系统的超调量的同时 提高系统的响应速度 使系统各项性能指标满足要求 例4 实验测得二阶系统的单位阶跃响应c t 如下图所示 试根据已知的单位阶跃响应c t 计算系统性能及值 例5 设系统结构图如图所示 若要求系统具有性能指标 试确定系统参数K和 并计算单位阶跃响应的 解 由图知 系闭环传递函数为 与传递函数标准形式相比 可得再由峰值时间计算式 算出从而解出 由于所以若取误差带 则调节时间为 二阶系统问题求解思路根据题意求出系统闭环传递函数 输入输出传递函数 抓住性能指标与之间关系求解 3 4高阶系统的时域分析 定义高于二阶的常微分方程所描述的系统 或闭环传递函数中分母的最高次幂大于2的系统 叫做高阶系统 设高阶系统的闭环传递函数为分解因式 写为零极点形式 极点 可以是实数 也可以是复数 零点 可以是实数 也可以是复数令r t 1 t 即所有极点均为实数 若有r对共轭复数极点及q个实极点阶跃响应为一阶和二阶系统的时间响应组成 高阶系统比较复杂 一般用近似分析方法 即利用主导极点 它对瞬态响应起主要作用 3 5线性系统的稳定性分析 稳定性的基本概念如小球平衡位置b点 受外界扰动作用 从b点到点 外力作用去掉后 小球围绕b点作几次反复振荡 最后又回到b点 这时小球的运动是稳定的 如小球的位置在a或c点 在微小扰动下 一旦偏离平衡位置 则无论怎样 小球再也回不到原来位置 则是不稳定的 定义若系统在初始偏差作用下 其过渡过程随时间的推移 逐渐衰减并趋于零 具有恢复平衡状态的性能 则称该系统为渐近稳定 简称稳定 反之为不稳定 系统的初始偏差是指扰动消失时系统与平衡位置的偏差 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数 而与外作用及初始条件无关 是系统的固有特性 线性系统稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为 对于输入R s 来说 系统输出由此可见 系统稳定性由决定 其中R s 提供的分量是稳定的 稳定的充要条件系统特征方程 D s 0 的全部根都具有负实部 或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左 劳斯稳定判据 代数判据 判定系统稳定与否只取决于特征根实部的正负号 可不必求出具体数值 系统稳定的必要条件设系统特征方程式的一般形式为必要条件特征方程的各项系数均为正 且不缺项 若不满足必要条件 则系统一定不稳定 如 上面条件不是充分条件 如劳斯判据步骤 1 列出系统的特征方程式若满足稳定的必要条件 即 且不缺项 则继续进行 2 由特征方程式列劳斯表 已知 待求参数 3 由行列表或劳斯表中第一列各数的符号 可得系统稳定的充要条件 劳斯表中左端第一列数为正 第一列若出现小于零的元素 则系统不稳定 第一列元素符号改变的次数等于正实数根的个数 例1 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性 解 因为满足必要条件 列劳斯表 符号变了两次 系统不稳定 其中有两根在s右平面 因劳斯判据是根据第一列元素的符号决定 为了简化计算可以使带分数的一行全乘以正整数 而不影响判据的正确性 例2 设系统的特征方程式为试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性 解 该系统劳斯表劳斯表第一列系数两次变号 系统不稳定 劳斯判据的两种特殊情况 重要 劳斯行列表中某一行第一个数为零 其余不为零 办法 用一个很小的正数来代替这个零 从而使劳斯表继续算下去并进行判断 例2 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性 解 因为满足必要条件 列劳斯表 符号变化两次 故有两个根在右平面 系统不稳定 劳斯表中第k行所有数均为零表明在特征方程中存在关于原点对称的实根或共轭虚根或共轭复根对 办法 利用k 1行的系数构成辅助方程将辅助方程式对s求导 然后将其系数构成新行代替全零行 继续完成劳斯表解辅助方程 求出关于原点对称的根 系统关于原点对称的根由辅助方程解出根 这是一种求解一类含关于原点对称根的特征方程的便捷方法 例3 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性 解 1 显然系统是不稳定的 列劳斯表 辅助方程 求导 2 列辅助方程 3 将辅助方程式对s求导 然后将其系数构成新行代替全为零的行 4 符号变化一次 故有一根在s右半平面 解辅助方程 5 求方程第5个根 例4 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性 并求系统的特征根 解 因为满足必要条件 列劳斯表 第一列系数全大于零 故没有根在右半平面 列辅助方程 全0行上一行构成辅助方程 特征多项式分解为辅助方程另一个因式 求其余根 例5 试求出方程的六个根 解 列劳斯表 列辅助方程分解特征多项式求另外两个根由对应关系得a 2 b 2得 共轭 必关于原点对称 例6 某系统如图 若系统以频率作等幅振荡 试确定振荡时的k与a 解题思路 等幅振荡 临界稳定 虚轴上有根 劳斯表存在全0行 解 特征方程列劳斯表全0行由振荡频率可知系统有一对在虚轴上的共轭复根 对于本题正是辅助方程的解 k 2 a 0 75 例7 设系统的特征方程式为试判别系统的稳定性 解 按劳斯稳定判据的要求 列出如下劳斯表 由于出现全零行 故用行系数构造如下辅助方程 取辅助方程对变量s的导数 得导数方程 用导数方程的系数取代全零行相应的元 便可按劳斯表得计算规则运算下去 得到由于劳斯表第一列符号变化 系统不稳定 有一个正实部根 劳斯稳定判据的应用检验系统稳定的程度 或裕量 因特征根在s左半平面 离虚轴越远 稳定性越好 劳斯判据可以判断系统的根是否都位于Y轴的左边 如何利用劳斯判据判断系统的根是否都位于S 1 的左边呢 思路 引入新变量 以代入原特征方程构成关于s1新的特征方程 例7 已知系统的特征方程为 试求使系统能稳定的k值范围 若要求特征根均位于s 1垂线之左 问k值应为多大 解 1 特征方程两边同时除以0 025得列劳斯表 由第一列元素均大于0可知K应满足 2 若要求全部特征根在s 1之左 则令代入原特征方程得新特征方程列新劳斯表 例8 设比例 积分 PI 控制系统如图所示 其中 K1为与积分器时间常数有关的待定参数 已知参数及试用劳斯判据确定使闭环系统稳定的K1的取值范围 如果要求闭环系统的极点全部位于s 1垂线之左 问K1的值范围又应取多大 解 根据上图写出系统的闭环传递函数 闭环特征方程为列出相应的劳斯表 根据劳斯稳定判据 求得K1当要求闭环极点全部位于s 1垂线之左时 令s s1 1 代入原特征方程 得到如下新特征方程 整理得相应的新劳斯表为可得 3 6线性系统的稳态误差计算 误差和稳态误差误差定义输入信号与主反馈之差 即稳态误差约束条件1 稳态误差为零的必要条件 系统稳定约束条件2 sE s 除在原点处有唯一的极点外 在s右半平面及虚轴解析 即sE s 的极点均位于s左半平面 包括坐标原点 关于求解稳态误差的重要说明 约束条件1必须成立 约束条件2存在两种情况 成立不成立中去掉暂态分量 保留稳态分量 例1 某控制系统的方框图如图所示 欲同时保证阻尼比和单位斜坡响应的稳态误差 试确定参数 解 先求系统开环传递函数 稳态误差不仅与系统结构参数有关 还与系统输入信号有关 求稳态误差求阻尼比 闭环传递函数 例2 求系统的稳态误差 解 1 先判断系统的稳定性 求特征方程 由得特征方程 可知系统稳定 2 求稳态误差 说明 本例中开环系统是不稳定的 极点s 1 而闭环系统稳定 所以开环不稳定的系统并不一定闭环也不稳定 尽管系统是稳定的 但是稳态误差却是无穷大 所以稳态误差无穷大的系统不一定不稳定 稳态误差与输入信号有关 若在本例中 则 例4 设单位反馈系统的开环传递函数为 输入信号分别为以及 试求控制系统的稳态误差 解 当时sE s 在s 0处有一个极点 对上式求拉氏变换由此可得 可以应用终值定理 当时显然 由于正弦函数的拉氏变换在虚轴上不解析 所以不能应用终值定理求正弦函数作用下系统的稳态误差 否则会错误认为 不可以应用终值定理 输入信号作用下系统稳态误差的一般分析为系统的开环增益为开环传递函数中积分环节的个数分别称为0型 I型 型系统 在给定输入作用下 系统稳态误差既与系统的型别v 开环增益K有关 也与输入信号R的形式 幅值有关 阶跃输入 静态位置误差系数 斜坡输入静态速度误差系数 加速度输入静态加速度误差系数 说明 系统型别v与的关系 v越大 易消除稳态误差开环增益K与的关系 K增大 可减少稳态误差与的关系 增大 使得增大稳态误差分析的前提 系统稳定 结论 增大v或K容易消除或减少稳态误差 但v K太大容易引起系统不稳定 理解物理意义 例1 错误结论 3型系统 K 8 正确结论 系统不稳定 稳态误差分析的前提 系统稳定 例2 时 求时的 解 时 零型系统 K 10 扰动作用下稳态误差的分析 例3 求出下列两系统由扰动作用引的 尽管开环传递函数相同 但由于扰动作用点不同 不同 结论 扰动作用下的稳态误差与扰动作用点之前的前向通道传递函数中的积分环节的个数和增益大小有关 而与扰动作用点之后的前向通路传递函数中积分环节的个数和增益大小无关 v大或K大均可使减少 积分环节越多 系统越不稳定 同时 K大也容易使系统不稳定 总误差 输入信号引起的误差 扰动误差 例4 设比例控制系统如图所示 图中 为阶跃输入信号 M为比例控制器输出转矩 用以改变被控对象的位置 为阶跃扰动转矩 试求系统的稳态误差 解 令扰动N s 0 系统为 型系统 对阶跃输入信号的稳态误差为零 令R s 0 则系统在扰动作用下输出量的实际值为 利用动态误差系数求稳态误差动态误差系数 动态误差求动态误差系数的方法 长除法 利用反拉氏变换求稳态误差将反拉氏变换得到时域形式即可知 减小或消除稳态误差的措施增大系统开环增益或扰动作用点之前的前向通道增益在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道串联积分环节采用串联控制 前馈补偿 抑制内回路扰动 注 前两种方法可能引起系统稳定性下降 例5 如图所示比例 积分控制系统 试分别计算系统在阶跃转矩扰动和斜坡转矩扰动作用下的稳态误差 解 在扰动点之前积分环节数 故该比例 积分控制系统对扰动作用为 型系统 在阶跃扰动作用下不存在稳态误差在斜坡扰动作用下存在常值稳态误差 小结 时域法常用的典型输入信号系统的时域性能指标一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应一阶系统动态性能指标计算二阶系统传递函数标准形式及分类欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 小结 稳定性的概念稳定的充要条件系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半s平面稳定判据判定稳定的必要条件劳斯判据劳斯判据特殊情况的处理劳斯判据的应用 判定稳定性 确定稳定的参数范围 稳定误差计算利用终值定理计算稳态误差的前提条件正弦输入作用下的稳态误差计算 基本概念测验题一 单项选择题 1 适合于应用传递函数描述的系统是 A 非线性定常系统 B 线性时变系统 C 线性定常系统 D 非线性时变系统 2 某0型单位反馈系统的开环增益为K 则在输入下 系统的稳态误差为A 0 B C D 3 动态系统0初始条件是指t 0时系统的A 输入为0 B 输入 输出以及它们的各阶导数为0 C 输入 输出为0 D 输出及其各阶导数为0 4 若二阶系统处于无阻尼状态 则系统的阻尼比 应为A 01 D 0 5 讨论系统的动态性能时 通常选用的典型输入信号为A 单位阶跃函数 B 单位速度函数 C 单位脉冲函数 D 单位加速度函数 6 某I型单位反馈系统 其开环增益为 则在输入下 统的稳态误差 8 二阶系统的闭环增益加大 快速性越好 超调量越大 峰值时间提前 对动态性能无影响 7 典型欠阻尼二阶系统的超调量 则其阻尼比的范围为 9 欠阻尼二阶系统的 都与 有关 无关 有关 无关 10 稳态速度误差的正确含义为 A为常值 时 输出速度与输入速度之间的稳态误差 时 输出位置与输入位置之间的稳态误差 时 输出位置与输入位置之间的稳态误差 时 输出速