高中数学2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用优化训练.docx

2.4.1 向量在几何中的应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在边长为1的等边ABC中，若=a，=b，=c，则ab+bc+ca等于（ ）A. B. C.3 D.0解析：依题意，得ab+bc+ca=3|a|2cos120=-.答案：B2.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是（ ）A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形解析：由=ABCD且ABCD，故四边形为梯形，选B.答案：B3.平面上不共线的三点A、B、C使得+所在的直线和-所在的直线恰好互相垂直，则ABC必为_三角形.解析：如图所示，作ABCD，易知+=，-=-=.依题意知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而ABC为等腰三角形，B为顶角.答案：等腰4.通过点A(3，2)且与直线l：4x-3y+9=0平行的直线方程为_.解：因向量(4，-3)与直线l垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.设P(x，y)为所求直线上的一动点，则=(x-3，y-2)，点P在所求直线上.当且仅当n=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0.答案：4x-3y-6=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在ABC中，有命题：-=；+=0；若(+)(-)=0，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）A. B. C. D.解析：对于，应有-=，故错;对于，由0有|cosA0，cosA0.A为锐角.但B或C是否为锐角，不能肯定，故错.是正确的.答案：C2.设e是单位向量，=2e，=-2e，|=2，则四边形ABCD是（ ）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析：由=2e，=-2e，得ABCD.故为平行四边形.又|=2，|=2，四边形ABCD为菱形.答案：B3.直线3x+2y-6=0与向量n=(-2，3)的位置关系为（ ）A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A.答案：A4.过点A(3，-2)垂直于向量n=(5，-3)的直线方程是_.解析：设此直线方程为5x-3y+c=0，因为直线过A(3，-2)，53-3(-2)+c=0.c=-21，即直线方程为5x-3y-21=0.答案：5x-3y-21=05.如图2-4-1，若D是ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：ADBC.图2-4-1证明：设=a，=b，=e，=c，=d，则a=e+c，b=e+d，a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2.由已知a2-b2=c2-d2，c2+2ec-2ed-d2=c2-d2,e(c-d)=0.=+=d-c，=e(d-c)=0.，即ABBC.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在AOB中，=(2cos，2sin)，=(5cos，5sin)，若=-5，则SAOB等于( )A. B. C. D.解析：|=2，|=5，cos=，=120.SAOB=|sin=.答案：D2.在平面上有A、B、C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有（ ）A.A、B、C三点必在同一条直线上 B.ABC必为等腰三角形且B为顶角C.ABC必为直角三角形且B=90 D.ABC必为等腰直角三角形解析：如图所示，作出ABCD，其中+=，-=-=.由于|m|=|n|，因此|=|，即ABCD的对角线AC与BD相等，故ABCD为矩形.所以ABC为直角三角形，其中B=90.答案：C3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )A.a=(3，4)，b=(3，-4) B.a=(-3，4)，b=(4，-3)C.a=(4，3)，b=(3，-4) D.a=(-4，3)，b=(3，4)解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A，B)，平行的向量为(-B，A).答案：C4.已知ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且+=，则P与ABC的位置关系是( )A.P在ABC内部 B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上 D.P在AC边上解析：+=，+=+=，即=2.A，C，P三点共线，即P在边AC上.答案：D5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则ABC的重心G的坐标为( )A.(4，2) B.(2，4) C.(-4，2) D.(-2，4)解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x，y)，即G(2，4).答案：B6.已知直角梯形ABCD中，ABCD，CDA=DAB=90，CD=DA=AB，则AC与BC的位置关系是( )A.平行 B.垂直 C.共线 D.不确定解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，=(-1，1)，=(1，1)，=-11+11=0.,即BCAC.答案：B7.(2006高考福建卷，理11)已知|=1，|=3，=0，点C在AOB内，且AOC=30,设=m+n(m、nR)，则等于( )A. B.3 C. D.解析：|=1，|=，=0，ABC为直角三角形，其中AC=AB=.=+=OA+=+ (-)=,m=,n=,即=3.答案：B8.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是_.解析：设D(x，y)，由定比分点公式x=，则P(2，1).又由中点坐标公式，可得B(4，2).答案：(4，2)9.在ABC中，A(-1，2)，B(3，1)，C(2，-3)，则AC边上的高所在直线方程为_.解析：与AC边平行的向量为：=(3，-5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，=(x-3，y-1)，所以AC边上的高所在的直线方程为(x-3，y-1)=0，即3x-5y-4=0.答案：3x-5y-4=010.以原点O和A(4，2)为两顶点作等腰直角三角形OAB，OBA=90，求点B的坐标和向量.解：设B(x，y)，则=(x，y)，=(x-4，y-2)，OBA=90，即，=0，x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0. 设OA的中点为C，则C(2，1)，=(2，1)，=(x-2，y-1)，在等腰直角ABC中，2(x-2)+y-1=0，即2x+y-5=0. 联立解得故B点的坐标为(1，3)或(3，-1)；当B(1，3)时，=(-3，1);当B(3，-1)时，=(-1，-3).11.如图2-4-2，已知ABC中，|=，|=4，|=，MN是以