线性代数试卷答案(南理工).doc

2003年6月线性代数(2.5)试卷一 是非题(每小题3分, 共15分)1. 设Rn中向量组线性无关, 为不全为零的数，则线性组合 ( ) 2.设A是n阶方阵且不是单位矩阵，若A2=A则必有A=0 ( ) 3. n维向量组中必有一向量可表示为其余向量的线性组合 ( ) 4.V1, V2都是Rn的子空间,若dim V1=dim V2, 则必有V1= V2 ( )5. 设A是n阶方阵, 是n维向量, 若, 则必有0为A的一个特征值 ( )二. 填空题(每小题5分, 共25分) 1.设矩阵A=与B=等价，则 k =_ 2. n阶行列式 3. 设向量为R3的标准正交基, 则a =_ , b =_ 4. 设n阶方阵A有一个特征值-3，则A2+A必有特征值_5. a的取值满足_时，为正定矩阵三. (8分)求向量组的秩和一个极大无关组四. (10分) 设有非齐次线性方程组，问k为何值时 (1) 方程组无解? (2) 方程组有解?并求出通解五. (8分)解矩阵方程AX =B+X，已知A=，B=六. (10分) 求一正交变换，将二次型 化为标准形七. (8分)设R2中的两组基分别为，已知线性变换s 在基下的矩阵为,求s在基下的矩阵八. (8分)设A为n阶可逆矩阵，为A的一个特征值, 证明： (1) ; (2) 为A* 的特征值九. (8分)设欧式空间Rn中的向量组与均线性无关,且内积,证明：(1) 向量组的任一线性组合与均正交(2) 向量组,线性无关2003年6月(2.5)答案一1 2. 3. 4. 5. 二1k =0, 2.n +1, 3. a=2, b =-6, 4. 6 , 5. a 1三 r =3, 为极大无关组四 （1）k = -1时无解 （2）k- 7时，通解 k为任意常数五特征值 标准化后的正交矩阵作正交变换X= QY , 标准形 七， 八.(1) 设为A的全部特征值, 则(2) 设x 为A的对应于l0 的特征向量，则Ax =l 0 x九（1） (2)令 仍记 (*)(*)两边与g 作内积,则由(1) 1 ,2 ,s线性无关，于是 将g =0 代回(*)同理可得故1 , 2 , s , 1 , 2 , t线性无关2004年4月线性代数(2.5)试卷一是非题(每小题3分, 共15分) 1.若n阶方阵A与B合同，则秩A=秩B ( ) 2.设是欧式空间Rn中的向量， 则 ( ) 3.向量组1 , 2 ,s与1 , 2 ,s-1等价，则向量组1 , 2 ,s线性相关 ( )4.非齐次线性方程组AX= b(A为n阶方阵，b0)的系数行列式|A|=0则此方程组有无穷多解 ( )5. n阶矩阵的一个特征向量只可以属于一个特征值 ( )二. 填空题(每小题5分, 共25分) 1. n阶行列式| Dn|=, 2.当参数t满足条件_时, 二次型正定3.设A=，则与A可交换的所有矩阵的一般形式是_4.设B,C均为n阶可逆矩阵，计算分块矩阵乘积5.三阶方阵A与B相似，且|A|=，则行列式|A*B|=_三.(10分)设, 问1. t为何值时线性相关2.当线性相关时,求此向量组的秩和一个极大线性无关组四.(12分)求线性方程组的通解五.(12分)求一正交变换，将二次型 化为标准形六.(10分)设与都是R3的基底, 且1. 求由基到基的过度矩阵 2.设R3中线性变换s 在基的矩阵是A=，求s在基的矩阵七.(8分)设向量组1 , 2 ,t线性无关，证明：向量组也线性无关八.(8分)设n阶矩阵B满足B2=B，I为n阶单位矩阵，证明： 1.若BI，则B不可逆 2. 若A=I + B, 则A可逆，且2004年4月(2.5)答案一1 2. 3. 4. 5. 二1, 2., 3., 4. I2n , 5. t =1时, 1, 2, 3, ,4线 性相关2. r = 3, 1, 2, 3为极大无关组通解 五特征值 标准化后的正交矩阵作正交变换X= QY , 标准形 七令, 即 线性无关于是 故线性无关八1若B可逆, ,则B=I矛盾！ B不可逆 2 2004年6月线性代数(2.5)试卷一是非题(每小题3分, 共15分) 1.若n阶方阵A与B合同，则它们的行列式|A|=|B| ( ) 2. 若阵A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则AB+BA是反对称矩阵 ( ) 3.设Rn中向量组线性相关,且有常数使，则不全为零 4.设都是R n的子空间,则也必为Rn的子空间 ( ) 5. n阶实矩阵A的特征值全为正数，则A必为正定矩阵 ( )二. 填空题(每小题5分, 共25分) 1.设| D|=, Aij表示| D|中元素aij的代数余子式，则 A13+A23+A43=_ 2.R2中由基到基的过度矩阵C =_ 3.设矩阵A=，则 4. 设向量1, 2, 3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量,则常数k满足_时， 1, 2, 3也是AX=0的基础解系5.设 =是矩阵A=的属于特征值l 的特征向量，则a =_, l =_三.(8分) 设,求向量组 的秩与一个极大线性无关组四.(12分)设有线性方程组,问a, b为何值时线性方程组(1)无解(2)有唯一解 (3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解五.(12分)设A=,求一正交矩阵Q与对角阵,使QTAQ=六. (10分)已知矩阵A=，且AX=A+2X，求矩阵X七. (8分)若从n(n2)阶矩阵A中划去一行得n-1阶矩阵B，证明： (1)(rB表示B的秩) (2)若，则|A|=0八. (10分)设非齐次线性方程组AX= b的系数矩阵A的秩为r， 是它的线性无关的解，证明：(1) 向量组线性无关(2) 若任意常数满足，则AX= b的通解是2004年6月(2.5)答案一1 2. 3. 4. 5. 二14； 2., 3., 4. k -1 , 5. 四 （1）b 2时无解，（2）时有唯一解 （3）是有无穷多解，通解五. ,则Q为正交矩阵，且六(A-2I )X=A , X=(A-2I )-1 A=七(1)B中子式均为A的子式, 故B中最高阶数的非零子式也是A的非零子式 (2)假设|A|0，则，矛盾.|A|=0八(1) 令 即 线性无关 得线性无关 形如的向量是AX= b的解 令X是AX= b的任一解，由(1) 线性无关从而是AX=0的基础解系，则记 , 则 其中2005年5月(2.5)试卷一选择题(每小题3分, 共15分)1. n阶行列式Dn中_，则必有Dn=0(A)0的个数多于n个 (B)主对角线元素全为0(C)有一列向量为另两列向量之和 (D)每个元素均为二数之和2.设A，B都是n阶矩阵，以下各式中正确的是_(A) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 (B)行列式 |AB| = |BA| (C) (A+B) (A-B) = A2 -B2 (D) (AB)2 = A2 B23.设A是mn阶矩阵, A的秩rA=r，则A中_ (A) 至少有一个r阶子式不等于0 (B ) 所有r阶子式都不等于0 (C) 所有r -1阶子式都不等于0 (D ) 有一个r +1阶子式等于0，其余r +1阶子式可能不等于04. 向量组线性相关充要条件是_ (A) 其中每个向量都可以由其余m -1个向量线性表示 (B) 中至少有一个零向量 (C) 中有两个向量对应元素成比例 (D) 中有一个向量是其余m -1个向量的线性组合5.设非齐次线性方程组AX=b的增广矩阵(A b)为m阶方阵, 且其行列式|(A b)|0，则该方程组_ (A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)解的情况无法确定二. 填空题(每小题5分, 共25分)1.设的标准形为，则a =_2.设是矩阵的一个特征向量，则a =_ b =_3.设三阶矩阵A与B相似, 且, 则行列式|A*B|=_4.当参数t满足条件_时, 二次型正定5.已知四阶矩阵A的特征值为1，2，3，4，则行列式|I+2A|=_三. (8分)设向量组，求的维数和一组基四. (12分)已知，问a, b为何值时 (1)不能由线性表示? (2) 可由线性表示?并写出表示式 (3 ) 可由用无穷多方式线性表示?写出一般表示式五. (12分)求一正交变换，将二次型 化为标准形六. (10分)设向量组与都是R3的基底，且 (1) 求由基到基的过度矩阵P (2) 设R3中线性变换在基下矩阵是，求在基下矩阵B七. (6分) 设 (1)求(2)若数列满足，且 求通项八. (8分)设是n阶方阵A的互异特征值，分别是属于的特征向量，证明：不是A的特征向量 2005年5月(2.5)答案一1C; 2. B ;3. A; 4.D; 5. A二1a = 2； 2. a = -3, b= 1; 3. ; 4. ; 5. 945 dimL(1, 4)=3, 是一组基四 设 （1）b2时,不能由线性表示，（2）时, 可由唯一表示为 （3）有无穷多表示方法， 五 将正交化, , 将单位化,得, ，作正交变换X=T Y, 标准形 七由AB=0知rA+rB 3,又A0，rA1 (1)k 9时，rB=2，得rA =1； (2) k= 9时，rB =1，rA =1或rA =2八A正定必可对角化,即有可逆矩阵P使A=P-1P, 其中=diag(l1, l2, , ln) l1, l2, , ln为A的所有正特征值，从而,即Ak的所有特征值都为正， 且(Ak )T=(AT )k , Ak为实对称矩阵，故为Ak正定矩阵九(1) 线性无关，故部分向量组线性无关， 又线性相关， 可由线性表示 (2)若可由线性表示,而可由线性表示，则可由线性表示, 与线性无关矛盾故不可由线性表示2005年6月(2.5)试卷一选择题(每小题3分, 共15分)1. 设A，B是任意n阶矩阵(n2)，以下各式中正确的是_(A) |A+B|= |A| +|B| (B) |ABT| = |B|.|A| 2.设满足AB=B，则矩阵B=_ (k1,k2为任意常数)3.设n维向量线性相关，则必定_ 中有一零向量 (B)矩阵的秩rA=1 的对应元素成比例 不可由线性表示4.设n阶矩阵A有特征值0，则以下命题不正确的是_ (A)零向量是A的特征向量 (B) A不可逆 (C)|A|=0 (D) A的列向量组线性相关5.设，则与矩阵相似的对较阵是_ 二填空题(每小题5分, 共25分) 1.已知则 2.向量线性相关，则a =_, b =_ 3. 设与是R3中两组基, 则由到基的过度矩阵是_4. 5. 已知是线性方程组的两个解(a, b, c, d为某组常数)，则该方程组的通解是_三.(10分)已知n阶矩阵A=, 求A的行列式|A|和 (A*)-1四. (12分)已知矩阵A=，且AX=A-2X，求矩阵X五.(12分)求线性方程组的通解六.(12分)设A=，求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵七.(5分)已知三阶矩阵，矩阵( k为常数),且AB=0, 求A的秩八. (6分)设A为正定矩阵，证明：Ak也是正定矩阵( k为正整数)九. (7分)已知向量线性无关，线性相关， 证明：(1) 可由向量线性表示 (2) 不可由向量线性表示2005年6月(2.5)答案一1B; 2. C ;3. C; 4. A; 5. A二16m； 2. ; 3. ; 4. ; 5. 得方程组的一般解，取得特解X*=(-1, 1, 0, 0)T导出组的一般解得导出组的基础解系x1=(8, -6, 1, 0)T ，x 2=(-7, 5, 0, 1)T通解X= 六，八设x1 +x 2是A的对应于特征值l0的特征向量即A (x1 +x 2)= l0 ( x1 +x 2)又 又x1 , x 2线性无关 得 矛盾 x1 +x 2不是A的特征向量2006年4月 线性代数试卷 学分2.0 一选择填空题(每小题3分, 共15分) 1. 设A、B均为n阶方阵，则下列等式中_ 成立 (A) |AB|= |BA| ; (B) |A+B|=|A|+|B|; (C) (AB)T= ATBT ; (D) AB= BA2. 设Rn中非零向量组线性相关，则_ (A) s n ; (B的部分向量组线性相关 (C) 有部分向量组线性无关； (D) 中任一向量可由其余向量线性表示3. 设A是mn阶矩阵且m n (C) k s 时，组线性相关； (D) 存在1ks , 使 是其余向量的线性组合3. 设向量是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则下列向量组中_也是AX=0的基础解系 (A) (B) (C) (D) 4. 设A*是n(n2)阶方阵A的伴随矩阵, 若rank(A)=n-2，则rank(A*)=_ (A) 0 ; (B) n-2; (C) 2 ；(D) 无法确定5. 设n(n2)阶方阵A是负定矩阵，则下列结论中正确的是_ (A) A的所有顺序主子式均为负数;(B) ; (C) ; (D) -A的所有顺序主子式均为正数二 . 填空题(每小题5分, 共25分) 1. 设三阶方阵A的行列式，则行列式|A*-A-1|=_2. 设矩阵，多项式f(x)=x2+x+3，则f(A)=_ 3. 矩阵与等价，则k=_ 4. R 3中由基到基的过渡矩阵P =