线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法 3 2一阶系统时域分析 3 3二阶系统时域分析 盐城工学院 3 1系统的时域性能指标 3 4高阶系统时域分析 3 5线性系统的稳定性分析 3 6线性系统的稳态误差计算 3 7线性系统时域分析的MATLAB方法 本章作业 本章习题课 本章提要 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法 具有直观 准确的优点 可以提供系统时间响应的全部信息 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算 讨论系统参数对性能指标的影响 分析改进二阶系统性能的措施 介绍高阶系统时域分析方法 介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法 以及计算稳态误差的方法 盐城工学院 3 1系统的时域性能指标 盐城工学院 1 系统稳定性要求 稳定是系统正常运行的必要条件 完全由系统的结构和参数决定 2 系统稳态性能要求 系统的控制精度由系统稳态误差大小决定 3 控制系统的暂态性能 阶跃响应性能 3 1 1典型输入信号 3 1 1脉冲函数 物理意义 作用时间极短的扰动 单位脉冲函数 3 1 2阶跃函数 A 单位阶跃函数 3 1 3斜坡函数 斜率A 单位斜坡函数 3 1 3抛物线函数 单位加速度函数 3 1 4正弦 余弦函数 3 1 2动态过程与稳态过程 系统在输入信号r t 作用下 输出信号c t 随时间的变化规律 即微分方程的解 就是系统的时域响应 方程的解由两部分构成 齐次方程的通解是由相应的特征方程的特征根决定与系统的结构 参数和初始条件有关 而与输入信号无关 也称为零输入响应 非齐次方程的特解通常是系统的稳态解 是输入信号作用下系统的强迫分量 取决于系统结构 参数及输入信号的形式 稳态分量 特解 是系统在时间趋向于无穷的系统的输出 衡量的是系统的稳态性能指标 稳态误差 暂态分量 通解 是系统从响应到稳态之前的这段过程 衡量其性能的指标有快速性 稳定性等 动态性能指标 1 延迟时间td 响应曲线第一次达到其终值一半所需时间 2 上升时间tr 响应从终值10 上升到终值90 所需时间 对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间 上升时间是响应速度的度量 3 峰值时间 响应超过其终值到达第一个峰值所需时间 4 调节时间ts 响应到达并保持在终值内所需时间 5 超调量 响应的最大偏离量h tp 与终值h 之差的百分比 即 3 1 3动态性能与稳态性能 稳态性能 由稳态误差ess描述 3 2一阶系统的时域分析 3 2 1一阶系统的数学模型 一般地 将微分方程为传递函数为的系统叫做一阶系统 T的含义随系统的不同而不同 传递函数 结构图 微分方程为 控制系统的运动方程为一阶微分方程 称为一阶系统 如RC电路 盐城工学院 输入r t 1 t 输出 3 2 2一阶系统的单位阶跃响应 特点 1 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值 2 初始斜率为1 T 3 无超调 稳态误差ess 0 性能指标 延迟时间 td 0 69T上升时间 tr 2 20T调节时间 ts 3T 0 05 或ts 4T 0 02 输入r t t 输出 3 2 3一阶系统的单位脉冲响应 特点 1 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值 2 初始斜率为 1 T 3 无超调 稳态误差ess 0 3 2 5一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差 e t r t c t Tt T2 1 e t T 随时间推移而增长 直至无穷 因此一阶系统不能跟踪加速度函数 输入r t t 输出一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线 稳态输出与输入同斜率 但滞后一个时间常数T 即存在跟踪误差 其数值与时间T相等 稳态误差ess T 初始斜率 0 稳态输出斜率 1 3 2 4一阶系统的单位斜坡响应 结论 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关 只要时间常数T小 单位阶跃响应调节时间小 单位斜坡响应稳态值滞后时间也小 但一阶系统不能跟踪加速度函数 线性系统对输入信号导数的响应 等于系统对输入信号响应的导数 解 1 与标准形式对比得 T 1 10 0 1 ts 3T 0 3s 例3 1某一阶系统如图 1 求调节时间ts 2 若要求 2 要求ts 0 1s 即3T 0 1s 即 得 ts 0 1s 求反馈系数Kh 解题关键 化闭环传递函数为标准形式 Kh 整理得传递函数 故得结构图 3 3二阶系统的时域分析 在第二章 已得微分方程 取拉氏变换 有 其中 n 自然频率 阻尼比 又因为 标准形式 标准形式 3 3 1二阶系统的数学模型 控制系统的运动方程为二阶微分方程 称为二阶系统 盐城工学院 3 3 2二阶系统的阶跃响应 其根决定了系统的响应形式 其输出的拉氏变换为 单位阶跃函数作用下 二阶系统的响应称为单位阶跃响应 二阶系统特征方程 进一步的描述如下图 传递函数的零点和极点对输出的影响 极点决定系统响应形式 模态 零点影响各模态在响应中所占比重 决定系统响应收敛与发散 即 稳定与否 两极点之间的位置也影响输出 影响各模态的比重 盐城工学院 1 s1s2为不同实数根 2 s1s2为不同复数根 稳态部分等于1 表明不存在稳态误差 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程 阻尼的大小由 n 即 特征根实部 决定 又称衰减系数 振荡角频率为阻尼振荡角频率 d 特征根虚部 其值由阻尼比 和自然振荡角频率 n决定 欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成 1 欠阻尼二阶系统 即0 1时 系统有一对共轭复根 阶跃响应为 其中 系统有两个相同的负实根 s1 2 n 阶跃响应 此时系统有两个纯虚根 s1 2 j n 阶跃响应 c t 1 cos nt 系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线 此时系统有两个不相等负实根 2 临界阻尼二阶系统 即 1时 3 无阻尼二阶系统 即 0时 4 过阻尼二阶系统 即 1时 系统单位阶跃响应是无超调 无振荡单调上升的 不存在稳态误差 系统的单位跃响应无振荡 无超调 无稳态误差 阶跃响应 以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图 3 3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析 单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间 1 动态性能指标计算 上升时间tr 峰值时间tp 单位阶跃响应 即 得 由 得 此时 单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比 超调量 单位阶跃响应进入 误差带的最小时间 调节时间ts 由 有 根据定义 因 则 阻尼比 越小 超调量越大 平稳性越差 调节时间ts长 过大时 系统响应迟钝 调节时间ts也长 快速性差 0 7 调节时间最短 快速性最好 而超调量 5 平稳性也好 故称 0 7为最佳阻尼比 2 结构参数 对单位阶跃响应性能的影响 欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图 包络线 2 时 5 工程上通常用包络线代替实际曲线来估算 3 3 4过阻尼二阶系统的动态过程分析 此时系统有两个不相等负实根 过阻尼二阶系统 即 1时 阶跃响应 系统的单位跃响应无振荡 无超调 无稳态误差 阶跃响应 3 调整时间ts计算 二阶系统近似成一阶系统 当时 查曲线图 当时 临界阻尼二阶系统的调节时间 3 3 5二阶系统的单位斜坡响应 1 欠阻尼单位斜坡响应 误差响应 化为标准形式 即有2 n 1 Tm 5 n2 K Tm 25 解得 n 5 0 5 已知图中Tm 0 2 K 5 求系统单位阶跃响应指标 例题3 2 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示 试确定其开环传递函数 解 图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 由图中给出的阶跃响应性能指标 先确定二阶系统参数 再求传递函数 例3 3 3 3 6改善二阶系统性能的措施 1 在比例控制系统中 通常只有增益可以调节 要同时满足动态与稳态要求是困难的 动稳态性能要求是一对矛盾 3 高精度系统中增大增益能减小非线性误差影响 不能任意降低增益来减小超调 2 动态指标之间的要求相互间也是一对矛盾 开环传递函数 闭环传递函数 1 方法思路 1 比例 微分控制 开环增益 动态过程中阻尼比增大 开环增益不变使得动态超调减小 而不影响稳态精度 误差 抑制振荡 使超调减弱 改善系统平稳性 调节时间减小 未超前校正 超前校正 1 比例 微分控制性能分析 特点 1 引入比例微分控制 使系统阻尼比增加 从而抑制振荡 使超调减弱 改善系统平稳性 2 零点的出现 将会加快系统响应速度 使上升时间缩短 峰值提前 又削弱了 阻尼 作用 因此适当选择微分时间常数 使系统具有过阻尼 则响应将在不出现超调的条件下 显著提高快速性 3 不影响系统误差 自然频率不变 可以使上升时间提前 阻尼增大 超调减小 但闭环系统具有零点 2 比例 微分控制实质 开环传递函数 闭环传递函数 闭环零点对系统的影响 推导过程 推导过程 续 再次说明 系统响应性质是由闭环极点决定的 零点只影响响应解在系统全响应中的比重 即指数函数前面的系数大小 以及附加的相角 动态性能指标 峰值时间tp 调节时间ts 超调量 闭环零点对系统的影响 峰值时间提前 超调增大 振荡加剧 调节时间拉长 r zwn z为闭环极点与闭环零点的实部比 抑制振荡 使超调减弱 改善系统平稳性 调节时间减小 1 方法的思路 超前校正 未超前校正 2 速度反馈控制 由上可知 1 速度反馈使 增大 振荡和超调减小 改善了系统平稳性 2 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点 其输出平稳性优于比例 微分控制 3 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大 因此应适当提高系统的开环增益 在二阶系统中引入微分反馈 闭环传递函数 开环传递函数为 2 性能分析 两种控制方案的比较 1 微分控制的附加阻尼作用产生于系统输入端误差信号的变化率 测速反馈阻尼作用来源于输出信号 在开环增益和输入信号速率确定时 测速反馈稳态误差大 2 微分控制不适用于输入端信号含有高频信号情况 需要提供前置放大器 速度反馈控制的阻尼作用来源于输出量的变化率 是从高能量的输出端向低能量的输入端传递信号 无需放大器 并对输入端的噪声有滤波作用 应用范围广 3 微分控制不影响开环增益和自然频率 测速反馈不影响自然频率 但降低开环增益 要维持稳态误差小 需要增大开环增益 可能引起共振 4 微分控制引入一个闭环零点 加快了上升时间 超调量比同阻尼比的测速反馈大 3 4高阶系统的时域分析 3 4 1高阶系统的单位阶跃响应 特点 1 高阶系统时间响应由简单函数组成 2 如果闭环极点都具有负实部 高阶系统是稳定的 3 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小 形状与闭环零点有关 分析方法 1 由系统主导极点将系统近似成一阶或二阶系统 再估算高阶系统性能 2 忽略偶极子的影响 3 再考虑附加闭环零点的影响 3 4 2高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析 在所有闭环极点中 距虚轴最近且附近没有零点的极点 闭环主导极点 距虚轴最近 其他极点距虚轴的距离远4 7倍以上 附近无零点 零极点之间的距离与极点的模相比小一个数量级 例题 例题3 6 分析 1 四个闭环极点 分布如图示 2 系统近似成二阶系统 3 考虑非主导零极点对系统性能影响 非主导零极点对系统动态性能影响 1 闭环零点对动态性能影响 阻尼比增大 减小峰值时间 加快系统响应速度 超调量增大这种作用随零点接近虚轴增强 2 闭环极点对动态性能影响 增大峰值时间 是系统响应速度变慢 超调量减小 3 闭环零极点彼此接近 则对系统的作用相互削弱 直至形成偶极子 设初始条件为零时 作用一理想脉冲信号到一线性系统 这相当于给系统加了一扰动信号 若 则系统稳定 3 5线性系统的稳定性分析 结论 线性系统稳定的充分必要条件 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 盐城工学院 都小于零 判别系统稳定性的基本方法 1 劳斯 古尔维茨判据 2 根轨迹法 3 奈奎斯特判据 4 李雅普诺夫方法 代数稳定判据 线性系统特征方程为 稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部 从而判断出系统是否闭环稳定 3 5 1赫尔维茨判据 系统闭环稳定的充分必要条件1 特征方程各项系数均大于零 即ai 02 赫尔维茨行列式全部为正 即 已经证明 在特征方程各项系数均大于零时 赫尔维茨奇次行列式全为正 则赫尔维茨偶次行列式必全为正 反之亦然 只要计算奇次或偶次行列式即可 劳斯判据采用表格形式 即劳斯表 当劳斯表中第一列的所有数都大于零时 系统稳定 反之 如果第一列出现小于零的数时 系统就不稳定 第一列各系数符号的改变次数 代表特征方程的正实部根的个数 3 5 2劳斯判据 判别系统稳定性 例3 4设系统特征方程为s4 2s3 3s2 4s 5 0 试用劳斯稳定判据 注意两种特殊情况的处理 1 某行的第一列项为0 而其余各项不为0或不全为0 用因子 s a 乘原特征方程 其中a为任意正数 或用很小的正数 代替零元素 然后对新特征方程应用劳斯判据 2 当劳斯表中出现全零行时 用上一行的系数构成一个辅助方程 对辅助方程求导 用所得方程的系数代替全零行 解 列出劳斯表 第一列数据不同号 系统不稳定性 判断系统的稳定性 例3 5设系统特征方程为s4 2s3 s2 2s 2 0 试用劳斯稳定判据 例3 6设系统特征方程为s6 2s5 6s4 8s3 10s2 4s 4 0 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 解 列出劳斯表s4112s3220s2 取代0 2s12 4 s02 可见第一列元素的符号改变两次 故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点 解 列出劳斯表s616104s5284s4284 辅助多项式A s 的系数s3000 A s 2s4 8s2 4dA s ds 8s3 16s 第一列元素全为正 系统并非不稳定 阵列出现全零行 系统不是稳定的 综合可见 系统是临界稳定的 存在有共轭纯虚根 解辅助方程可得共轭纯虚根 令s2 y A s 2s4 8s2 4 2 y2 4y 2 0 以导数的系数取代全零行的各元素 继续列写劳斯表 s616104s5284s4284s3816 dA s ds的系数s244s18s04 3 5 3系统稳定裕量与相对稳定性 例3 5考虑图示的系统 确定使系统稳定的K的取值范围 解系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为 列劳斯表如下 系统闭环稳定的K的取值范围为 稳定裕量的概念 确定稳定裕量的方法 令带入特征方程 得到s1平面的方程D s1 对D s1 应用劳斯判据判定稳定性 例 对例3 5 要求所有闭环极点距虚轴有0 1个单位的稳定裕量 确定K的取值范围 解将s s1 0 1代入特征方程 在 s1 域使用劳斯判据 若稳定 则在 s 域至少有一个单位的稳定裕量 s1 结论 稳定性要求提高 K取值范围减小 由图所示 误差定义有两种方式 1 e t r t c t 无法量测2 e t r t b t 单位反馈时两种定义相同 稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标 稳态误差是指 稳态响应的希望值与实际值之差 即稳定系统误差的终值 e t 希望值 实际值 3 6 1稳态误差定义 3 6控制系统的稳态误差 盐城工学院 稳态误差计算 根据终值定理 1 使用该公式应满足sE s 在s右半平面及虚轴上解析的条件 即sE s 的极点均位于s左半平面 2 当sE s 在坐标原点具有极点时 不满足虚轴上解析的条件 3 但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致 因此实际应用时可用此公式 误差传递函数为 1 符合终值定理应用条件 3 不符合终值定理应用条件 2 符合终值定理应用条件 为1 r t t 2 r t t2 2 3 r t sin t 求系统稳态误差 解 误差传递函数为 例设单位反馈系统开环传递函数为G s 1 Ts 输入信号分别 本题说明 1 使用终值定理要注意条件2 稳态误差与输入有关 使用终值定理将得出错误结论 一 影响稳态误差的因素 显然 系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次 开环增益K以及输入信号的形式 式中 K为开环增益 为开环系统在s平面坐标原点的极点重数 0 1 2时 系统分别称为0型 型 型系统 一般开环传递函数可以写成如下形式 3 6 2系统类型与静态误差系数 3 6 3 阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数 3 6 4 斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数 3 6 5 加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数 如表3 1 系统型别 静态误差系数与输入信号形式之间的关系 减小或消除误差的措施 提高开环积分环节的阶次 增加开环增益K 表3 1输入信号作用下的稳态误差 3 6 6输入和扰动作用下的稳态误差 扰动单独作用稳态误差 输入单独作用稳态误差 同时作用总稳态误差 书中定义在输出端的扰动误差只有在单位反馈下才可以直接相加 补充 扰动作用下的稳态误差 一 单位阶跃输入作用下误差 二 单位阶跃扰动作用下稳态误差 如将积分环节与惯性环节互换后 稳态误差为 结论 与扰动作用点之前的积分环节个数和放大系数有关 3 6 7提高稳态精度措施 1 增大开环放大倍数或增加积分环节个数 扰动作用点之前 2 采用补偿方式 前馈校正 I 按给定补偿 闭环传递函数 误差为 再用终值定理求稳态误差 II 按扰动补偿 全补偿 误差为零 的条件 易造成过补偿 一般采用欠补偿 减小误差 3 采用串级控制抑制内回路扰动 3 采用串级控制抑制内回路扰动 扰动抑制能力 例3 8 求r t 1 t 2t n t 1 t 时系统稳态误差 解 r t 作用时 Kp Kv K 10 essr 0 2 10 0 2 对扰动作用来讲 减小或消除误差的措施 增大扰动作用点之前的前向通路增益 增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律 动态误差系数不要求 n t 作用时 例系统输入r t t t2 2 1 t 求0型 型 型系统的稳态误差 解 利用叠加原理 可得系统的稳态误差为 3 5 4动态误差系数法 动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差 其中C0 C1 C2 为动态误差系数 设误差传递函数在s邻域展开成泰勒级数为 例题 思路 1 求误差函数2 闭环传递函数3 终值定理 3 6顺馈控制的误差分析 一 顺馈补偿 参见P8 2 按扰动输入补偿 1 按参考输入补偿 盐城工学院 二 复合控制系统的误差和稳定性分析 3 等效传递函数 型变为 型 型变为 型 结论 复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性 习题课 1学时 例题1 复合控制系统结构如图示 其中都是大于零的常数 1 确定系统闭环稳定应满足的条件 2 求输入r t Vt时 选择校正装置使得系统稳态误差为零 1 劳斯判据 特征多项式 闭环传递函数 开环传函 2 稳态误差 误差输出 闭环传递函数 开环传函 解 1 结构图等效变换求出闭环传递函数 系统特征方程 2 误差