数学教案知识点总结

数学教案知识点总结第一单元 分数乘法1.分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。2.分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。(为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。)注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。3.一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。4.分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。(为了计算简便，可以先约分再乘。)注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。5.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。乘法交换律： a b = b a乘法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法分配律： ( a + b )c = a c + b c a c + b c = ( a + b )c6. 一个数(0除外)乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数(0除外)乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数(0除外)乘以一个带分数，所得的积大于它本身。7.分数应用题一般解题步骤。(1)找出含有分率的关键句。(2)找出单位“1”的量(以后称为“标准量”) 找单位“1”： 在分率句中分率的前面;或“是”、“占”、 “比” 、“ 相当于”的后面(3)画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。(4)根据线段图写出等量关系式：标准量对应分率=比较量。求一个数的几倍： 一个数几倍; 求一个数的几分之几是多少： 一个数。写数量关系式技巧：(1)“的” 相当于 “” “占”、“是”、“比”相当于“ =”(2)分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量(3)分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量(1分率)=分率对应量(5)根据已知条件和问题列式解答。8.乘法应用题有关注意概念。(1)乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少?单位“1”对应分率=对应量(2)找单位“1”的方法：从含有分率的关键句中找，注意“的”前 “是、比、相当于、占、等于”后的规则。(3)甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几，乙比甲少几分之几表示乙比甲少的数占甲的几分之几。(甲-乙)乙 = 甲乙-1 (甲-乙)甲= 1-乙甲(4) 应用题如：小湖村去年水稻的亩产量是750千克，今年水稻的亩产量是800千克，增产几分之几?题目中的“增产”是多的意思，那么谁比谁多，应该是“多比少多”，“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多几分之几，结合应用题的表达方式，可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几?”(5)“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。(6)当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。(7)乘法应用题中，单位“1”是已知的。(8)单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比较，单位一致”的规则。(9)分率与量要对应。多的比较量对多的分率; 少的比较量对少的分率; 增加的比较量对增加的分率;减少的比较量对减少的分率; 提高的比较量对提高的分率; 降低的比较量对降低的分率;工作总量的比较量对工作总量的分率; 工作效率的比较量对工作效率的分率;部分的比较量对部分的分率; 总量的比较量对总量的分率;第二单元 位置与方向(二)一、确定物体位置的方法：1、先找观测点;2、再定方向(看方向夹角的度数);3、最后确定距离(看比例尺)二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。三、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性。在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。四、相对位置：东-西;南-北;南偏东-北偏西第三单元 分数除法1.乘积是1的两个数互为倒数。2.求一个数(0除外)的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。3.分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。4.分数除以整数(0除外)，等于分数乘这个整数的倒数。整数除以分数等于整数乘以这个分数的倒数。5.一个数除以分数的计算法则：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。6.分数除法的计算法则：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。7. 一个数(0除外)除以一个真分数，所得的商大于它本身。一个数(0除外)除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。一个数(0除外)除以一个带分数，所得的商小于它本身。8. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算;对应量对应分率=单位“1”分数应用题：关键是找标准量，即单位“1”。若单位“1”已知，用乘法计算;若单位“1”未知，用除法计算。求甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)的解题规律：(甲-乙)乙已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)，求甲的解题规律：乙(1+几分之几) 乙(1-几分之几)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)，求乙的解题规律：甲(1+几分之几) 甲(1-几分之几)四则混合运算1.分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。在有一级运算和二级运算的计算中，要先算二级运算再算一级运算，即：先乘除后加减。在同级运算中，应按从左到右的顺序依次计算。2.在分数四则混合运算中，可以应用运算定律使计算简便。运算定律包括：加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律、乘法的分配律。第四单元 比1.两个数相除又叫做两个数的比。比式中，比号()前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。从应用的角度理解，比可以分为同类量比和不同类量比;同类量比表示倍数关系，比的前项和后项必须单位一致;不同类量比的结果产生新的量，比的前项和后项的单位不相同。注：连比如：3：4：5读作：3比4比52.比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。例：1220= =1220= =0.6 1220读作：12比20注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变。4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。1)、两个整数的比，用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。2)、两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。3)两个小数的比，前后项同时向右移动小数点的位置，先化成整数比，再按化简整数比的方法来化简。5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数(或分数)，相当于商，不是比。6、比和除法、分数的区别：除法 被除数 除号() 除数(不能为0) 商 商不变性质 除法是一种运算分数 分子 分数线() 分母(不能为0) 分数值 分数的基本性质 分数是一个数比 前项 比号() 后项(不能为0) 比值 比的基本性质 比表示两个数的关系附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。7.比的后项不能为0。8.在工农业生产中和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。比的应用1、已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少?例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人?题目解析：60人就是男女生人数的和。解题思路：第一步求每份：60(5+7)=5人第二步求男女生：男生：55=25人 女生：57=35人。2、 已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少?例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人?全班共有多少人?题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。解题思路：第一步求每份：255=5人第二步求女生： 女生：57=35人。 全班：25+35=60人3、 已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少?例如：六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人)，男女生的比是7：5，男女生各有多少人?全班共有多少人?题目解析：“男生比女生多20人(或女生比男生少20人)”就是其中的一个数量。解题思路：第一步求每份：20(7-5)=10人第二步求女生： 女生：510=50人。 男生：50+20=70人4、要求量=已知量5、比在几何里的运用：(1)已知长方形的周长，长和宽的比是a：b。求长和宽、面积。长=周长2 宽=周长2面积=长宽(2)已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是a：b：c。求长、宽、高、体积长=周长4 宽=周长4高=周长4体积=长宽高(3)已知三角形三个角的比是a：b：c，求三个内角的度数。三个角分别为：180180180(4)已知三角形的周长，三条边的长度比是a：b：c，求三条边的长度。三条边分别为：周长周长周长分数除法和比的应用1、已知单位“1”的量用乘法;2、未知单位“1”的量用除法;3、分数应用题基本数量关系：(1)甲是乙的几分之几? 甲=乙几分之几 ，乙=甲几分之几， 几分之几=甲乙 。(例：9是15的几分之几?915 )(“是”字相当“”号，乙是单位“1”)(2)甲数比乙数多(少)几分之几? 单位“1”是乙数。乙数=甲数(1+几分之几) 乙数=甲数(1几分之几)甲数=乙数 乙数几分之几 甲数=乙数(1几分之几)。A例：9比15少几分之几?(15-9)15B例： 15比9多几分之几?(159)9;(3)、按比例分配：把一个量按一定的比进行分配的方法叫做按比例分配。例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比35，求甲、乙分别是多少?方法一：56(3+5)=7 甲：37=21 乙：57=35=35+ =21 乙： 56535 +方法二：甲：56533 5、画线段图：(1)找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。(2)分析数量关系。(3)找等量关系。(4)列方程。注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。6、解方程的一般步骤：(1)审题：弄清题意;(2)设未知数：一般是问什么设什么(直接设)，也有时间接设;(3)找相等关系(文字等式);(4)列方程;(5)解方程;(6)答;不要忘记单位。第五单元 圆1.圆的定义：平面上的一种曲线图形。2.将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。6.在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。8.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d=2r 或r=9.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆的周长和直径的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母表示。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率精确到小数点后面第七位的人是我国的数学家祖冲之。小于3.14。11.圆的周长公式：C= d或C=2r12、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。13.把圆平均分成若干份，然后把它们剪开，可以拼成一个近似长方形的图形，这个长方形的长相当于圆的周长的一半(=r)，长方形的宽相当于圆的半径(r)，因为长方形的面积等于圆的面积，所以圆的面积是 rr=r214.圆的面积公式：S=r2或者S= ()2 或者S=(C2)215.如右图：在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。(外方内圆)S小正：S圆：S大正=2： ：4在圆里面画一个最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径。(外圆内方)r22:r2:(2r)2 = 2r2:r2:4r216.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r(其中R=r+环的宽度)圆环的面积(铺小路的面积)=大圆的面积 - 小圆的面积=R2-r2=(R2-r2)18.环形的周长=外圆周长+内圆周长19.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长公式：C=d 2+d或C=r+2r20.半圆面积=圆的面积2公式为：S=r2 221.在同一个圆里，半径扩大或缩小几倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数;面积则扩大或缩小对应数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。22.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是22：32=4：9。23.当一个圆的半径增加a，它的周长就增加2a;当一个圆的直径增加a，它的周长就增加a。24.在同一个圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积占圆面积的几分之几;所对的弧占圆周长的几分之几。25.周长相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的面积依次增大。(圆面积最大)面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的周长依次减少。(圆周长最小)26.扇形弧长公式：L=d360n 扇形的面积公式：S= r2360n (n为扇形的圆心角度数)27.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。28.只有1条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形只有5条对称轴的图形是：正五边形、五角星有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。29.直径所在的直线是圆的对称轴。第六单元 百分数(一)1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫做百分率或百分比。如：25%的意义：表示一个数是另一个数的25%。百分数表示两个数之间的倍数关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。2、百分数与分数的区别(1)意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.(2)应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。(3)书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公因数，都不约分;百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.(4)百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称。3、百分数一般有三种情况： 100%以上，如：增长率、增产率等。100%以下，如：发芽率、成长率等。刚好100%，如：正确率，合格率等。4.小数与百分数互化的规则：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号;把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。5.百分数与分数互化的规则：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数)，再把小数化成百分数;把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。6.百分率公式：合格率=100% 发芽率=100% 出勤率=100%达标率=100% 成活率=100% 含盐率=100%小麦出粉率=100% 出油率=100% 百分数应用题知识点归纳(有时单位“1”的量也叫标准量)1、 a是b的百分之几?ab(把结果化成百分数) 方法：标准量(单位“1”)是除数。注意：把“是”改为“除号”2、 求一个数的百分之几是多少 一个数(单位“1”) 百分率 注意：把“的”改为“乘号”3、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 部分量百分率=一个数(单位“1”)方法：标准量已知用乘法;标准量未知用除法。4、求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等a率=a的数量总量(再化成百分数)5、 比多比少的第一种类型：求一个数比另一个数多(或少)百分之几(未知数) 实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。口诀：“一减一除”(大的减小的除以比后面的)求甲比乙多百分之几 (甲-乙)乙100%求乙比甲少百分之几 (甲-乙)甲100%方法：1、找准单位“1”，作除数;2、求出比较量与标准量间的差，作被除数;3、结果要化成百分数。6、 a增加x%后是多少?a(1+x%); a减少x%后是多少?a(1-x%)某数增加x%后是a，求这个数?a(1+x%); 某数减少x%后是a，求这个数?a(1-x%)方法：1、找准单位“1”， 2、找好“量”与“率”对应关系，3、单位“1”已知时用乘法，未知时用除法。注意：比多(或提高、增加.)括号内就“+”，比少(降低、减少.)括号内就“-”百分数应用题(一)求增加百分之几?减少百分之几?公式：增加百分之几=增加的部分单位1减少百分之几=减少的部分单位1例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几?解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5单位1水的45就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米第二步：增加的部分：5045=5立方厘米第三步：增加百分之几：54511.1%2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几?解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米;最后用增加的部分5单位1水的45就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米第二步：增加的部分： 5立方厘米第三步：增加百分之几：54511.1%3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几?解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用505求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米;最后用增加的部分5单位1水的45就等于增加百分之几。计算步骤：第一步：单位1：水：505=45立方厘米第二步：增加的部分： 5立方厘米第三步：增加百分之几：545=11.1%4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”“增长百分之几“等。与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。百分数应用题(二)比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。例如1、光明小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生?解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用(1+25%)算式：80(1+25%)2、光明小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生?解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用(1-25%)算式：80(1-25%)3、光明小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生?解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用(1+25%)算式：100(1+25%)4、光明小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生?解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用(1-25%)算式：100(1-25%)百分数应用题(三)列方程解百分数应用题1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页?解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。等量关系式：第一天第二天=20页方法1：解：设这本书一共有X页。由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天第二天=20页”可以列方程为：25%X20%X=20方法2：“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对应分率。列算式为：20(25%20%)2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页?等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。方程列为：25%X+20%X=20算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。列算式为：20(25%+20%)3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页?等量关系式：一本书第一天第二天=20页方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。列方程为：X25%X20%X=20算术法：20(1- 25%X- 20%)百分数应用题概括：1、求一个数是另一个数的百分之几。一个数另一个数100%2、求一个数比另一个数多百分之几。(一个数另一个数)另一个数100% 可概括为：(大数小数)小数100%3、求一个数比另一个数少百分之几。(另一个数一个数)另一个数100% 可概括为：(大数小数)大数100%4、求一个数的百分之几是多少。单位“1”的量百分之几=百分之几对应量5、求比一个数多百分之几的数是多少。单位“1”的量(1+百分之几)=(1+百分之几)对应量6、求比一个数少百分之几的数是多少。单位“1”的量(1-百分之几)=(1-百分之几)对应量7、已知一个数的百分之几