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另类的“化圆为方”泰州市朱庄中学 莫 莉 指导老师 CaoKQing大约公元前5世纪，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个几何尺规作图问题： 1. 三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 2. 立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 3. 化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的几何尺规作图三大难题，它们在欧几里得（Euclid）的几何原本问世之前就提出了。1637年，笛卡儿（Descartes）创建了解析几何，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年，旺策尔（Wantzel）给出三等分任意角及立方倍积不可能用尺规作图的证明。1882年，林得曼（Linderman）证明了是超越数（即不是任何整数系数多次式的根），从而确立了化圆为方尺规作图的不可能性。本文研究的问题是“由两条圆弧围成的图形的面积是否都一定与有关？”或者说得更具体一些：由两条圆弧围成的图形的面积是否都一定不能“化圆为方”？如图1，点O是正方形ABCD的中心，以OA为半径的圆弧与以AD为直径的半圆围成一个新月形，我们来求这个新月形的面积：图1设正方形ABCD的边长为a，则OA.因为新月形扇形OAD半圆ADAOD，所以新月形AOD.所以新月形AOD. 也就是说，这个新月形的面积与无关。接下来的问题是，这个结论能否推广到任何正多边形的情形？我们考虑正六边形：如图2，点O是正六边形ABCDEF的中心，以OA为半径的圆弧与以AG为直径的半圆围成一个新月形，我们再来求这时新月形的面积：图2设正六边形ABCDEF的边长为a，则OAa.因为新月形扇形OAG半圆AGAOG，所以新月形所以新月形.可见，这时新月形的面积与有关，因此不能推广到任何正多边形的情形。既然一个新月形的面积都难与无关，那么两个不同的新月形面积的和能与无关吗？答案是肯定的！请看：如图3，在RtABC中，ACB=90，分别以AB、BC 、CA为直径作半圆围成两个新月形。我们来求这两个新月形面积的和，设这两个新月形面积的和为.图3因为半圆AB半圆BC半圆CARtA
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