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线面平行的证明 西稍门胡明先 符号表示 若平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 则该直线和这个平面平行 直线和平面平行的判定定理 一 中位线模型 证明线面平行的三种模型 证明 连结AC 交BD于点O 连结EO 四边形ABCD为平四边形 D为AC的中点 E为AP的中点 EO PC PC 平面BDE 例1 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为平行四边形 E为棱PA的中点 求证 PC 平面BDE 例2如图 正四棱锥P ABCD的各棱长都为2 点O M N Q分别是AC PA PC PB的中点 求证 PD 平面QAC 例3 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱与底面垂直 ABC 90 AB BC BB1 2 M N分别是AB AC1的中点 求证 MN 平面BCC1B1 2012年辽宁改编 1 2014年山东文 如图 四棱锥P ABCD中 AP 平面PCD AD BC 2AB 2BC AD E F分别为线段AD PC的中点 1 求证 AP 平面BEF 2 求证 BE 平面PAC 真题欣赏 2 2014年全国新课标 卷理 如图 四棱锥P ABC中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 证明 PB 平面AEC 设二面角D AE C为60 AP 1 AD 求三棱锥E ACD的体积 3 2013年高考课标 卷 文 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别AB BB1的中点 1 证明 BC1 平面A1CD 2 设AA1 AC CB 2 AB 2 求三棱锥C A1DE的体积 二 平行四边形模型 例1 如图 正方形ABCD的边长为2 PA 平面ABCD DE PA 且PA 2DE 2 F是PC的中点 求证 EF 平面ABCD 证明 取AC的中点为M 连结FM DM F为PC的中点 MF PA且PA 2MF DE PA且PA 2DF DE MF且DE MF 四边形DEFM为平行四边形 EF MD 例2如图所示 凸多面体ABCED中 AD 平面ABC CE 平面ABC AC AD AB 1 BC CE 2 F为BC的中点 求证 AF 平面BDE 例3如图 四棱锥P ABCD的底面是矩形 PA平面ABCD E F分别为AB PD的中点 求证 AF 平面PCE 1 2014年北京文 如图 在三棱柱ABCD A1B1C1D1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 E F分别为A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 真题欣赏 17 可编辑 2 2014年天津文 如图 四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形 AD 2 BA BD PA PD E F分别是棱AD PC的中点 1 证明 EF 平面PAB 2 若二面角P AD B为60 证明 平面PBC 平面ABCD 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值 3 2013年高考山东卷 文 如图 四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 求证 CE 平面PAD 求证 平面EFG 平面EMN 4 2014山东理 如图 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是等腰形 DAB 60 AB 2CD 2 M是线段AB的中点 求证 C1F A1ADD1 若CD1垂直于平面ABCD且CD1 求平面C1D1M和平面ABCD所成的角 锐角 的余弦值 5 2014年湖北文 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F P Q M N分别是棱AB AD DD1 BB1 A1B1 A1D1的中点 求证 直线BC1 平面EFPQ 直线AC1 平面PQMN 3 面面平行模型 例 如图 FD垂直于矩形ABCD所在平面 CE DF 2CE FD 求证 BE 平面ADF 证明 一 真题欣赏 1 2013 辽宁卷 文 如图 AB是圆O的直径 PA垂直圆O所在的平面 C是圆O上的点 1 求证 BC 平面PAC 2 设Q为PA的中点 G为 AOC的重心 求证 QG 平面PBC 2 2013年高考广东卷 文 如图4 在边长为1的等边三角形ABC中 D E分别是AB AC边上的点 AD AE F是BC的中点 AF与DE交于点G 将 ABF沿AF折起 得到如图5所示的三棱锥A BCF 其中BC 1 证明 DE 平面BCF 2 证明 CF 平面ABF 3 当AD 时 求三棱锥F DEG的体积VF DEG 3 2012年辽宁改编 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱与底面垂直 ABC 90 AB BC BB1 2 M N分别是AB AC1的中点 求证 MN 平面BCC1B1 4 2013年高考福建卷 文 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD AB DC AB AD BC 5 DC 3 AD 4 PAD 60 1 当正视图方向与有向线段AD的方向相同时 画出四棱锥P ABCD的正视图 要求标出尺寸 并画出演算过程 2 若M为PA的中点 求证 DM 平面PBC 3 求三棱锥D PBC的体积 5 2013年高考北京卷 文 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD AB AD 2AB CD 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分别是CD和PC的中点 求证 1 PA 底面ABC 2 BE 平面PAD 3 平面BEF 平面PCD 6 2013年高考天津卷 文 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱A1A 底面ABC 且各棱长均相等 D E F分别为棱AB BC A1C1的中点 证明 EF 平面A1CD 证明 平面A1CD 平面A1ABB1 求直线BC与平