高中立体几何定理及性质

1 高中立体几何定理及性质高中立体几何定理及性质 一 公理及其推论一 公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用 公理公理 1 如果一条直线上的 两点在一个平面内 那么这条直线上所 有的点都在这个平 面内 我们说 直线在平 面内 或 平面经过直线 Al Bl AB A B l P Pl 用来验证直线 在平面内 用来说明平 面是无限延展的 可以用来判定 点在平面内 公理公理 2 如果两个平面有一 个公共点 那么它们 还有其他公共点 且 所有这些公共点的 集合是一条过这个 公共点的直线 那么它们有且只 有一条通过这个公 共点的公共直线 P l Pl 用来证明两 个平面是相交关 系 用来证明多 点共线 公理公理 3 经过不在同一条直 线上的三点 有且 只有一个平面 简单的说 不共线 的三点 确定一个 平面 确定一个平面 不共线 CBA CBA CAB A B C 推论推论 1 经过一条直线和这 条直线外的一点 有且只有一个平面 可以用来确定一 个平面 用来证明多点共 面 多线共面 Aa A a 2 推论推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 ba Pba 使 有且只有一个平面 推论推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 ba ba 使 有且只有一个平面 公理公理 4 平行公理 平行公理 平行于同一条直线 的两条直线平行 ca cb ba 用来证明线线平 行 二 平行关系二 平行关系 文字语言符号语言图像语言作用 1 公理 公理 4 平 平 行公理 行公理 平行于同一条直线 的两条直线平行 ca cb ba 2 线面平行的 线面平行的 判定定理判定定理 如果平面外一条直 线和这个平面内的 一条直线平行 那 么这条直线和这个 平面平行 a b a ba 线线平行推线面 平行 3 线面平行的 线面平行的 性质定理性质定理 如果一条直线和一 个平面平行 经过 这条直线的平面和 这个平面相交 那 么这条直线和交线 平行 ba a b b 线面平行推线线 平行 4 面面平行的 面面平行的 判定定理判定定理 如果一个平面内有 两条相交直线都平 行于另一个平面 那 么这两个平面平行 b a Oba b a 线面平行推面面 平行 3 5 面面平行的 面面平行的 判定判定 如果两个平 面垂直于同一条直 线 那么这两个平 面平行 OO OO 线面垂直推面面 平行 6 面面平行的 面面平行的 性质定理性质定理 如果两 个平行平面同时和 第三个平面相交 那 么它们的交线平行 ba b a 面面平行推线线 平行 7 面面平行的面面平行的 性质性质 如果两个平 面平行 那么其中一 个平面内的直线平 行于另一个平面 a a 面面平行推线面 平行 8 面面平行的 面面平行的 性质性质 如果一条直 线垂直于两个平行 平面中的一个平面 那么它也垂直于另 一个平面 l l 9 面面平行的 面面平行的 性质性质 平行于同一个平面 的两个平面平行 三 垂直关系三 垂直关系 文字语言符号语言图像语言作用 10 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直 那么 它也和这条斜线垂直 POa a AOa OPO PA 11 三垂线定理的逆 三垂线定理的逆 定理定理 在平面内的一条直线 如 果和这个平面的一条斜 线垂直 那么它也和这条 斜线的射影垂直 AOa a POa OPO PA 4 12 线面垂直的判定 线面垂直的判定 定理定理 如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直 那么这条直线垂 直于这个平面 l n m Bnm nl ml 线线垂直推线面 垂直 13 线面垂直的判定 线面垂直的判定 如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面 那 么另一条也垂直于这个 平面 b a ba 线线平行推线面 垂直 14 线面垂直的性质线面垂直的性质 定理定理 如果两条直线同垂 直于一个平面 那么这两 条直线平行 ba b a 线面垂直推线线 垂直 平行 15 线面垂直的性质 线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一 个平面 那么这条直线垂 直于这个平面内的所有 直线 l la a 线面垂直推线线 垂直 16 面面垂直的判定 面面垂直的判定 定理定理 如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线 那 么这两个平面互相垂直 AB AB 线面垂直推面面 垂直 17 面面垂直的性质 面面垂直的性质 定理定理 如果两个平面垂直 那 么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于 另一个平面 AB AB CDAB CD 面面垂直推线面 垂直 l a 5 6 其他定理其他定理 文字语言符号语言图像语言作用 等角定理 如果一个角的两边 和另一个角的两边 分别平行 并且方 向相同 那么这两 个角相等 ABA B ACA C BACB A C 判定