大学物理功与能

第4章机械能和功 一 功 1 恒力作用直线运动 描述力对空间累积效果的物理量 2 一般运动 变力作用曲线运动 元功 0正功 900A 0不做功 900A 0负功 4 1动能和动能定理 中学公式 合力的功等于各分力功的代数和 3 合外力的功 直角坐标系下 例1 已知 求 A 解 例2作用在质点上的力为 在下列情况下求质点从a点 处运动到b点 处该力作的功 2 运动轨道为抛物线 1 轨道为直线 解 注意 1 功 标量 可加 2 功与力和位移有关 3 功是过程量 因为位移是过程量 说某时刻的功无意义 4 功与参考系有关 因为位移与参考系有关 5 功的单位为焦耳 J 与能量单位相同 6 功总是某个具体的力或合力的功 二 功率 描述做功快慢的物理量 定义 力在单位时间内所作的功 平均功率 瞬时功率 单位 瓦 W 1W 1J S 1kg m2 s3 watt 三 动能 1 定义 动能是物体状态的单值函数 反映物体做功的本领 2 动能的性质 瞬时性 相对性 铅直下落的冰雹 质量为m 某时刻的速率为v 试问从地面上以速率v水平运动的车上观察 该冰雹的动能是多少 问题 答案 mv2 注意 1 功是动能变化的量度 2 功是过程量 动能是状态量 3 功与动能是对同一惯性参考系的 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 四 动能定理 1 质点动能定理 质点运动的动能定理 例1一根质量为m长为L的匀质链条 放在摩擦系数为 的水平桌面上 其一端下垂 长度为a 如图所示 设链条由静止开始运动 求 链条离开桌面过程中摩擦力所做的功 链条刚刚离开桌面时的速率 2 确定研究对象 3 分析所受的力 重力和摩擦力 1 选择地球惯性系建立坐标系 链条 解 摩擦力 设经时间t秒 链条下落x 4 链条离开桌面过程中摩擦力所做的功 a L a L x x 5 下落过程重力做的功 6 应用动能定理列方程解方程 链条刚刚离开桌面时的速率 例2 光滑水平面上 有一半圆形屏障 质量m的滑块 以初速度v0沿切线方向进入屏障 二者之间的摩擦系数 试求滑块从进入屏障运动到从另一端滑出时摩擦力的功 解 1 确定研究对象 3 受力分析如图 2 选择地球惯性系建立自然坐标系 滑块 4 运用牛顿定律求滑块速度 5 由动能定理得 一 讨论几个特殊力做功 1 重力的功 4 2保守力做功与势能 对的万有引力为 由点移动到点时作功为 2 引力的功 3 弹力的功 保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关 而与路径无关 这种力称为保守力 典型的保守力 重力 万有引力 弹性力 典型的非保守力 摩擦力 2 非保守力 凡做功与路径有关的力 3 保守力的环流 保守力的环流为零 凡是做功与路径无关的力 或环流为零的力称为保守力 1 保守力作用下的物体处于一定位置所具有的能量 或与相互作用的物体相对位置有关的能量 用Ep表示 二 势能 弹性势能 引力势能 重力势能 势能具有相对性 势能大小与势能零点的选取有关 势能是状态函数 势能是属于系统的 注意 重力势能常以地面为零势能点 引力势能常以无穷远为零势能点 弹性势能常以弹簧原长为零势能点 保守力做功与势能的关系 以保守力相互作用的物体系统 相对位置变动时 保守力所做的功等于系统势能的增量的负值 令 势能计算 保守力作正功 势能减小 保守力作负功势能增加 即 例1求质量为m1 在m2的有万有引力作用下 二者之间的距离由x增加到x d所需做的功 解 一 质点系的动能定理 质点系 m1m2 4 3功能原理机械能守恒定律 两式相加得 即 外力的功之和 内力的功之和 系统末动能 系统初动能 所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量 注意 内力能改变系统的总动能 但不能改变系统的总动量 质点系动能定理 由质点系的动能定理 A外 A内 EkB EkA A内 A保内 A非保内 A外 A保内 A非保内 EkB EkA又 A保内 EPA EPB A外 A非保内 EkB EPB EkA EPA 定义E Ek EP 机械能即A外 A非保内 EB EA 质点系在运动过程中 它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于其机械能的增量 称为功能原理 二 质点系的功能原理 注意 1 与动能定理形式不同 无本质的区别 在动能定理中 功包括外力功和所有内力功 在功能原理中的功 包括外力功和非保守内力功 2 不要重复计算保守力的功 3 适用于刚体 功能原理 三 机械能守恒定律 A外 0A非保内 0 则 EB EA 常量 如果 只有保守内力做功的情况下 质点系的机械能保持不变 机械能守恒定律 四 能量守恒与转换定律 A外 A非保内 EB EA 上式也可写成 即在满足机械能守恒条件下的运动过程中 动能的增加等于势能的减少 即动能与势能等量地相互转换着 一个封闭系统经历任何变化时 该系统的所有能量的总和是不变的 它只能从一种形式转化为另一种形式 或从系统内的一个物体传递给另一个物体 例2 如图轻质弹簧一端悬于半径为R的竖直圆环的P点 另一端系一珠子 质量为m 珠子穿在圆环上并能沿光滑圆环运动 开始珠子静止于A点 PA R为弹簧自然长度 当珠子沿圆环运动到底端B点时 对圆环的压力为零 试求弹簧的倔强系数k 1 以地球 圆环 珠子为研究对象 2 分析系统所受的力及力所做的功 所以系统机械能守恒 选择零势能点 3 计算始末态的机械能 弹力 重力零势能 A点 保守力 重力 弹力 非保守力 支持力其功为零 解 A点机械能 60o B点机械能 4 列方程求解 A B两点机械能守恒 在B点 N 0 由牛顿第二定律 解方程得 五 运用功能原理解题步骤 1 确定研究对象 系统 保守力的施力体划在系统内 2 分析系统所受的力及力所做的功 3 选择惯性系建坐标 4 选择零势能点 5 计算始末态的机械能及各力所做的功 6 应用功能原理列方程解方程 例3 一质量m的卫星绕质量M的地球作椭圆运动 近地点A 远地点B分别距地心rA rB远 万有引力常数为G 则卫星在A B两点的动能之差EkB EkA 解 系统机械能守恒 另一解法 例4 如图所示 质量为m的珠子 穿在半径为R的固定不动的铅直圆环上 并可沿圆环作无摩擦的滑动 珠子又与倔强系数为k的轻弹簧连结 而弹簧的另一端固定于环底点C 开始时 珠子静止于环顶A处