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文档简介

一 高斯点 定义 高斯公式 机械求积公式 含有2n 2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n 1次代数精度 则这类公式称为高斯公式 4 1 请回答 以前学过的梯形公式 辛甫生公式 柯特斯公式 中矩形公式是高斯公式吗 答 除中矩形公式外都不是 定义 高斯点 高斯公式的求积节点称为高斯点 举例 求 a b 上的一点和二点高斯公式 解 设一点高斯公式为 则其代数精度应为 即 解得 中矩形公式 再设两点高斯公式为 则其代数精度应为 即 这是关于四个未知数的非线性方程 难于求解 高斯点具有以下性质 定理 对于插值型求积公式 4 1 其节点 是高斯点的充要条件是 以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过n的多项式P x 均正交 即 启发 如何求高斯公式 证明 先证必要性 即 是高斯点 设P x 是任意次数不超过n的多项式 则 P x x 的次数不超过2n 1 因此应准确成立 但 故 再证充分性 即 是高斯点 对于任意给定的次数不超过2n 1的多项式f x 用除f x 记商为P x 余式为Q x 即 2n 1 n 1 n n 由已知条件 x 与P x 正交 得 由于所给求积公式 4 1 是插值型的 它至少具有n次代数精度 故对Q x 能准确成立 再注意到 xk 0 知Q xk f xk 从而有 于是由前面的推导知 这说明公式对一切次数不超过2n 1的多项式均能准确成立 故xk是高斯点 定理给我们的启发 1 求出 a b 上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式 n 1 x 2 求出 n 1 x 的n 1个零点就是高斯点 请回答 1 1 上与所有次数不超过0的多项式都正交的多项式 1 x 解 设P0 x C 1 x x x0 由于 即 展开 得 则一个点的高斯公式为 中矩形公式 二 高斯 勒让得公式 特别地 取 a b 1 1 其上高斯公式为 下面求对应的高斯点 由于勒让得多项式是 1 1 上的正交多项式 因此勒让得多项式Pn 1 x 的零点就是高斯点 特殊地若取P1 x x的零点x0 0作节点构造求积公式 令它对f x 1准确成立 即可定出A0 2 即一点高斯公式为 中矩形公式 令它对f x 1 x准确成立 即可定出A0 A1 可得两点高斯 勒让得公式为 再取的零点作节点构造求积公式 注 其它的高阶公式详见书 请回答 高斯 勒让得公式仅适用于求积区间是 1 1 那么对于任意求积区间 a b 如何求 解 作变换 可以化到区间 1 1 上 这时 三 带权的高斯公式 定义 带权的高斯公式 求积公式 若该公式具有2n 1次代数精度 则称这类公式为带权的高斯公式 上述 x 0是权函数 高斯点 定理 是高斯点的充要条件是 是区间 a b 上关于 x 的正交多项式 特殊的 若 a b 1 1 权函数是 所建立的高斯公式为 切比雪夫 高斯公式 xk是切比雪夫多项式的零点 注意 运用正交多项式的零点构造高斯求积公式 这种方法只是针对某些特殊的权
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