专题复习与增分策略》专题七 第3讲坐标系与参数方程.doc

第3讲坐标系与参数方程【高考考情解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识高考中以解答题形式出现，中档难度，分值为10分1 直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.2 圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：r；(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)圆心位于M，半径为r：2rsin .3 常见曲线的参数方程(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)(2)圆(xx0)2(yy0)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆1的参数方程为(为参数)(4)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)(5)过定点P(x0，y0)的倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)4 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.考点一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16. (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 (1)(2012陕西改编)求直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长解直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.故弦长为2.(2)(2012湖南)在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.考点二参数方程与普通方程的互化例2(1)(2013江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值. (1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用 (1)(2013广东改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程解由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2y22.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，故l的极坐标方程为cos sin 20.(2)(2013课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)M点到坐标原点的距离d(0b0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，求椭圆C的离心率解椭圆C的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆O的方程为x2y2b2，由题意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为(cos sin )1，若曲线C1与C2相交于A、B两点求线段AB的长；求点M(1,2)到A、B两点的距离之积解由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为yx2(x0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为xy10，则曲线C2的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C1的普通方程得t2t20，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t22，所以AB|t1t2|.由可得MAMB|t1t2|2.1 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度2 极坐标方程与普通方程互化核心公式：，.3 过点A(0，0) ，倾斜角为的直线方程为sin()0sin(0)特别地，过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos a.平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.4 圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)5 重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义.1 在极坐标系中，求过圆6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程解把6cos 两边同乘以，得26cos ，所以圆的普通方程为x2y26x0，即(x3)2y29，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为cos 3.2 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为，点P(1cos ，sin )，参数0,2)(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l距离的最大值解(1)由得点P的轨迹方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲线C的直角坐标方程为xy9.圆(x1)2y21的圆心(1,0)到直线xy9的距离为4，所以(PQ)min41.(推荐时间：60分钟)1 (2013湖南改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，求常数a的值解由消去参数s，得x2y1.由消去参数t，得2xaya.l1l2，a4.2 (2012江苏)如图，在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .3 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程解由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长b3，从而c4，所以右焦点为(4,0)将已知直线的参数方程化为普通方程：x2y20.故所求直线的斜率为，因此其方程为y(x4)，即x2y40.4 (2013重庆改编)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长解将极坐标方程cos 4化为直角坐标方程得x4，将x4代入得t2，从而y8.所以A(4,8)，B(4，8)所以AB|8(8)|16.5 在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或a2.故a的值为8或2.6 求直线关于(R)对称的直线方程解直线化为直角坐标方程为3x2y5，化为直角坐标方程为yx，则3x2y5关于yx对称的直线方程为3y2x5，化为极坐标方程为3sin 2cos 5，即.7 在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求PQ的最大值解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.圆心坐标为(0,6)，半径为6.又12cos，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，圆心坐标为(3，3)，半径为6.(PQ)max6618.8 已知曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于点M，N.(1)将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN的长解(1)由4sin ，得24sin ，即曲线C1的直角坐标方程为x2y24y0，由(R)得，曲线C2的直角坐标方程为yx.(2)把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x10，x2，y10，y21.MN2.即线段MN的长为2.9 (2013辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.10(2012辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.