高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1指数函数自主训练二.docx

3.1.1 指数函数自主广场我夯基 我达标1.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=(-4)x B.y=x C.y=-4x D.y=ax+2(a0且a1)思路解析:从指数函数的定义出发解决此题.由指数函数的定义知，选B.答案:B2.下图是指数函数y=ax；y=bx；y=cx；y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A.ab1cd B.ba1dcC.1abcd D.ab1dc思路解析:直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系.答案:B3.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是( )A.y= B.y=()xC.y=0.957 6100x D.y=1-思路解析:首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957 6=1(1-t%)100.t%=1-.y=(1-t%)x=.选A.答案:A4.若函数y=ax+b-1(a0且a1)的图象经过一、三、四象限，则一定有( )A.a1且b1 B.0a1且b0C.0a0 D.a1且b0且a1)的图象经过一、三、四象限，则必有a1；进而可知答案:D5.如果函数y=(a2-4)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是( )A.|a|2 B.|a|C.|a| D.2|a|思路解析:0a2-41，4a2.2|a|0且a1)恒过定点_.思路解析:a3-3+3=a0+3=4.答案:(3，4)11.已知函数f(x)=ax+a-x(a0且a1)，f(1)=3，则f(0)+f(1)+f(2)的值为_.思路解析:f(0)=a0+a0=2，f(1)=a+a-1=3，f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7.f(0)+f(1)+f(2)=12.答案:1212.函数y=(2m-1)x是指数函数，则m的取值是_.思路解析:考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a0且a1.故此2m-10且2m-11，所以m且m1.答案:m且m113.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678二进制110111001011101111 000观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数.当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_.思路解析:此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表：二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1.答案:26-114.函数y=的值域为_.思路解析:考查指数函数的性质、函数值域的求法.由于x2+11，而y=3x在(-，+)上是增函数，所以y=3，即y=的值域为3，+).答案:3，+)15.有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是_.思路解析:本题考查指数函数的应用.第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)a%，第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)(1-)a%=(1-)2a%，依次可得第n次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)na%.答案:(1-)10a%16.求函数y=f(x)=()x-()x+1，x-3，2的值域.思路解析:将()x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解.解答:f(x)=()x2-()x+1，x-3，2，()2()x()-3，即()x8.设t=()x，则t8.将函数化为f(t)=t2-t+1，t，8.f(t)=(t-)2+，f()f(t)f(8).f(t)57.函数的值域为，57.17.已知+=3，求a2+a-2的值.思路解析:本题考查指数的运算.解答：从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件+=3的联系进而整体代入求值.将+=3两边平方得a1+a-1+2=9，即a1+a-1=7.再将其平方，有a2+a-2+2=49，从而得到a2+a-2=47.18.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t)，(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0t6)的图象；(3)写出研究进行到n小时(n0，nZ)时，细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)?思路解析:要注意实际问题与数学模型的各量间的相互对应.解答:(1)y=f(t)的定义域为t0，+)，值域为y|y=2n，nN*.(2)0t6时，为一分段函数y=图象如下图.(3)n为偶数时，y=；n为奇数时，y=.y=19.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-T=(T0-T)，其中T是环境温度.使上式成立所需要的时间h称为半衰期.现有一杯用195热水冲的速溶咖啡放置在75的房间中，如果咖啡降温到105需20min，问欲降温到95需多少时间？思路解析:由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f(t)中求得t.解答:由题意，知T=T+(T0-T).将有关数据代入，得T=75+(195-75).这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+(195-75)，解得h=10.T=75+(195-75). (*)欲使T=95，代入(*)式，得95=75+(195-75)，即=.两边取对数，查表得=2.6，即t=26(min).因此，在咖啡冲好26 min之后降温至95.我综合 我发展20.已知f(x)=0，当x(-，1时恒成立，求实数a的取值范围.思路解析:利用转化的思想，原题化为1+2x+4xa0，再分离参变量得a-()x-()x，然后求指数函数的最值，最后用指数函数的单调性求最值.解答:f(x)0在(-，1上恒成立，即1+2x+4xa0在(-，1上恒成立，进一步转化为a-()x-()x在(-，1上恒成立.当且仅当a大于函数g(x)=-()x-()x的最大值时，a-()x-()x恒成立.而g(x)=-()x-()x在(-，1上是增函数,当x=1时，g(x)max=-=-.因此，所求a的取值范围为a-.21.已知a、bR+，且ab，试求函数f(x)=a2x+(ab)x-2b2x的定义域.思路解析:求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的字母x的取值范围，因此，函数f(x)的定义域就是不等式a2x+(ab)x-2b2x0的解集.解答:a2x+(ab)x-2b2x0等价于()2x+()x-20.()x+2()x-10.()x+2恒正，()x-10.()x1.当ab时，1，x0.函数f(x)的定义域为R+.当ab时，01，x0.函数f(x)的定义域为x|x0.我创新 我超越22.已知f(x)=x(+).(1)判断函数