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1 第四节隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一 隐函数的求导法则 这种对应关系可以有多种表示方式 1 隐函数的定义 常见的表示方式为 上述函数称为显式函数 体现 可以确定函数 2 定义 隐函数 因为 注 并不是所有的方程都可以确定隐函数的 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的 例如 3 部分隐函数可以显化 即从方程中解出y x 的表达式 但许多隐函数不易或者不能显化 例如 问题 如何求隐函数的导数 这里假设隐函数存在且可导 至于隐函数存在且 可导所需的条件 下学期学习 情形1 隐函数可以显化 显化后求导即可 情形2 隐函数无法显化 应用隐函数求导法则求导 4 例1 解 上述方程两边关于x求导 得 5 例1 解 上述过程亦可如下表述 方程两边关于x求导 注意y是x的函数 6 隐函数求导法则 思想 从中解出即可 应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导 例2 解 方程两边关于x求导 注意y是x的函数 得 解得 7 例3 解 所以所求切线方程为 方程两边关于x求导 得 8 例4 解 由例2得 9 例4 另解 原方程两边关于x求导 得 上式两边继续关于x求导 得 10 二 对数求导法 方法 先对函数两边取对数 利用对数性质化简 然后 应用隐函数求导的方法求得导数 回顾对数性质 对数恒等式 11 例5 解 等式两边取对数 化简 12 所以 说明 13 例5 解 等式两边取对数 化简得 14 例6 解 等式两边取对数 化简 15 例5 解 等式两边取对数 化简 注意 需把y换回成原来表达式 勿丢 16 例6 本题常见问题 1 为取对数而取对数 没有任何化简 比原式更繁 2 虽然进行了化简 但没有化简到最简单 就急着求导 17 例7 解 等式两边取对数得 另解 18 例8 解 等式两边取对数得 19 作业 20 知识回顾 1 隐函数求导法则 2 对数求导法 方法 先对函数两边取对数 利用对数性质化简 然后 应用隐函数求导的方法求得导数 适用题型 由多个初等函数通过乘 除 乘方 开方运 算所构成的复杂函数和幂指函数 21 例9 解 等式两边取对数得 22 三 由参数方程所确定的函数的导数 由复合函数及反函数的求导法则可得 即 则称此函数为由参数方程确定的参数式函数 23 即 勿丢 注 书上那个很复杂的公式不用去记忆 24 例10 解 则是错解 因为这样是对参数t求导而非对自变量x求导 25 例11 解 26 例12 解 所求切线方程为 27 作业 28 3 参
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