2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)

1 2017 年上海市高三数学竞赛 2017 03 26 解答 供参考 一 填空题 本大题满分60分 前4小题每小题7分 后4小题每小题8 分 1 函数y lg arcsin 2x2 x 的定义域是 值域是 答案 1 2 1 0 2 1 2 lg 提示 求定义域 求值域 10 2 2 x x 2 0 2arcsin 2 x x 2 数列是递增数列 满足 an 12 an2 81 18 an an 1 2anan 1 n a n 1 2 而且a1 1 则数列的通项公式an n a 答案 an 3n 4 2 或者 3n 2 2 提示 方法一 找规律找规律 数学归纳法数学归纳法 代入检验代入检验 计算可得 nan 11 2416 32549 464100 归纳得 an 3n 4 2 或者 3n 2 2 数学归纳法证明 代入检验略 方法二 严格推导严格推导 注意舍去增根舍去增根 2 原方程变形可得 an 12 2an 18 an 1 an2 18an 81 0 由求根公式可得 2 1 3 6 9 nnnn aaaa 开方可得 3 1 nn aa 计算可得 a2 4或者16 当a2 4 a3 25 当a2 16 a3 49 由已知数列是递增数列 所以当n 3 n N 时 n a3 1 nn aa 进而 小根不满足 数列是递增数列 因此舍去 3 1 nn aa n a 可证数列从第三项开始等差数列 验证可得前两项也符合 本题有两解 n a 3 用一张正方形纸片 不能裁剪 完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥 则这个正方形的边长至少是 答案 2 26 提示 将正四棱锥的四条侧棱剪开 把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下 来 使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面 那么能包住此 侧面展开图 图形的最小正方形即符合题意 4 一个口袋中有10张卡片 分别写着数字0 1 2 9 从中任意连 续取出4张 按取出的顺序从左到右组成一个四位数 若0在最左边 则该数 视作三位数 则这个数小于2017的概率是 答案 1260 253 提示 分类讨论 第一位是0 第一位是1 第一位是2 2013 2016 3 1260 253 42 4 10 3 9 P P p 5 设 则 1 2 1 1 2 xx xf 89 tan 2 tan 1 tanfff 答案 2 267 提示 方法一 运用数列 逆序求和法逆序求和法 计算 90 tan tan ff 1 cot 2 1 cot 1 1 tan 2 1 tan 1 22 3 21 tan1 tan2 tan1 tan 1 tan 2 1 tan 1 2 2 2 记 89 tan 2 tan 1 tan fffS 则 1 tan 88 tan 89 tan fffS 两式相加可得 可得原式的值为 89 3 2S 2 267 方法二 严格推导 三角函数三角函数 数列分组求和法数列分组求和法 计算 cos sin cos2 cos sin cos 1 tan 2 1 tan 1 tan 22 2 2 f cos2 cos sin cos cos sin cos2 cos sin cos 2 22 2 综上 原式 89cos2 89cos 89sin 89cos 1cos2 1cos 1sin 1cos 22 1sin2 1sin 1cos 1sin 1cos2 1cos 1sin 1cos 22 4 2 267 1 2 1 132 45sin2 45sin 45cos 45sin 44 21 2 6 设集合A a1 a2 a3 是集合 1 2 16 的子集 满足a1 7 a2 4 a3 则这样的子集A共有 个 答案 165 提示 穷举法穷举法 对于a2的值分类讨论 a2 4 5 12 分别有 1 9 2 8 9 1种可能 符合题意的子集A共有 S 1 9 2 8 3 7 9 1 9 9 1 9 1 6 12 1 1 5 10 10 n n 2 n nnn nnnnnn 165 285450 6 19 10 9 10 9 5 7 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 0 3 B 2 3 及圆C 若线段AB 包括端点A B 在圆C的外 2 15 1 2 22 a yax 部 则实数a的取值范围是 答案 64 2 提示 方法一 数形结合数形结合 分类讨论分类讨论 1 若a 0 符合题意 2 若a 0 圆心C a 1 在第三象限 此时只需点A在圆C外即可符合题 意 恒符合题意 3 若0 a 2 圆心C a 1 在第四象限 而且在线段AB的正下方 此时 只需圆C的半径r 4即可符合题意 解得0 a 64 综上所述 实数a的取值范围是 64 2 方法二 转化成不等式恒成立问题不等式恒成立问题 分类讨论分类讨论 在线段AB上任取一点P t 3 t 0 2 由题意 点P恒在圆C外 因 此 即对任意t 0 2 2 15 13 2 22 a at 1 2 2 2 a at 恒成立 对实数a的值分类讨论可得 1 如果 即 原不等式恒成立 符合题意 0 1 2 2 a 2 2 2 t 意 2 2 若 代入得 当时该不等式不成立 舍去 2 a0 2 2 t2 t 3 如果 即或者 0 1 2 2 a 2a 3 1 若 则t a 0 因此 可得2 2 a at 1 2 2 a at 分子有理化可得 对任意t 0 2 恒成立 符合题意 1 2 1 2 2 2 a a a t 3 2 若 则t a 0 因此 可得2 2 a at 6 该不等式对任意t 0 2 不恒成1 2 2 a at2 1 2 2 a a 立 不符合题意 舍去 3 3 若a 2 则t a 2 a ta1 2 0 解得1 2 a 综上所述 实数a的取值范围是 64 2 8 一串 号排成一行 从左向右看 就会产生 变号 例如 其中有4次 变号 若有10个 号与6个 号 排成一行 产生7次 变号 则这种排列共有 种 答案 672 提示 由于是否变号仅看 号是否从左向右交替出现 考虑 号有几组 连续的 号算作一组 用 表示 要产生7次 变号 必须出现4组 号 与 号组 用 表示 的相对位置有如下两种情况 1 2 将6个 号分成4组 亦有两种情况 3 1 1 1 2 2 1 1 1 由插杠法可得 84 3 9 C 2 由插杠法可得 252 3 84 1 3 3 9 C C 3 由插杠法可得 84 3 9 C 4 由插杠法可得 252 3 84 1 3 3 9 C C 7 综上所述 共有2 84 252 672种 二 解答题 本大题满分60分 每题15分 9 已知数列的各项均为正实数 a1 1 而且对于一切正实数n 均有 n a 2 211 nnn aaaaa 1 证明 数列的每一项都是完全平方数 n a 2 证明 9 a100 答案 证明 1 当n 2 n N 时 2 1211 n nn aaaaa 两式相减可得 进而 n nnnn aaaaa2 11 n nn aaa2 11 换元法设 可得 n 2 n N nn ab n nn bbb2 11 又 把n 2代入原等式计算得a2 4 因此 1 11 ab2 22 ab 由 n 2 n N 易知 11 2 nnn bbb 对于任意n 3 n N 恒有 数列 bn 单调递增 而且每一项都是正整数 所以 对于任意n N 数列 bn 的每一项都是正整数 而 所以数列的每一项都是完全平方数 得证 2 nn ba n a 2 由 n 2 n N 可得 11 2 nnn bbb 8 12 12 12 11 nnnn bbbb 易证数列构成一个以为首项 12 1 nn bb 12 12 12 bb 为公比的等比数列 可得 可得 12 1 1 12 12 n nn bb 易证数列 12 4 2 12 12 4 2 1 1 n n n n b b 构成一个以为首项 12 4 2 n n b 4 22 12 4 2 1 1 b 为公比的等比数列 可得 21 n n n b 12 4 2 21 4 22 1 即 进而 21 21 4 2 nn n b 2 21 21 8 1 nn n a 故 250502100100 100 223 223 8 1 21 21 8 1 a 225252525 223 223 223 223 8 1 22 3 22 33 2 8 1 224124 25 2232 25 250 25 CCC 22525 25 3223 25 1241 25 22 22 3 22 3 2 CCC 22 22 33 3 2 22424 25 2222 25 240 25 CCC 22 22 3 22 3 2525 25 3223 25 1241 25 CCC 22 22 33 2 9 22424 25 2222 25 240 25 CCC 22 22 3 22 3 2525 25 3223 25 1241 25 CCC 综上所述 9 a100 9 10 给定正实数a 若复数 这里i是虚数单位 t是实参数 满足 tia z 1 z i 的最大值是2 求a的值 答案 3 2 a 提示 方法一 数形结合复数数形结合复数 模模 的几何意义的几何意义 解析几何轨迹方程解析几何轨迹方程 由已知 i ta t ta a ta tia tia z 222 222 1 设复数z在复平面内对应的点是P x y 那么 2222 ta t ta a yx 消t可得 配方可得 原点除外 0 2 xyaax 2 2 2 4 1 2 1 a y a x 2 由已知 z i 的最大值是2 说明 在复平面内点P到点Q 0 1 的距离 的最大值是2 可知 圆和圆x2 y 1 2 2内切 2 2 4 1 2 1 a y a x 2 列式得 解得 aa2 1 2 10 0 2 1 22 3 2 a 方法二 复数的四则运算复数的四则运算 模公式模公式 求分式函数值域求分式函数值域 由已知 i ta t ta a ta tia tia z 222222 1 所以 1 2222 i ta t ta a iz 424 22234242 2 22 22 2 22 2 222 taa tatatatta ta tta ta a 10 222 22 4224 2223 12 1 2 22 1 ta tat ttaa atatt 22 12 1 at t 对参数a的值分类讨论可得 1 如果2t 1 0 即 此时 2 1 t1 iz 2 如果2t 1 0 即 此时 2 1 t1 0 即 此时 2 1 t 4 1 12 2 1 12 4 1 12 1 12 1 22 22 att t at t iz 12 4 1 2 1 4 12 1 1 2 t a t iz 由基本不等式可得 12 4 1 4 12 2 t a t 4 1 12 4 1 4 12 2 2 2 a t a t 当且仅当 即时取等号 12 4 1 4 12 2 t a t 2 114 2 a t 进而 12 4 1 2 1 4 12 2 t a t 2 1 4 1 2 a 11 取倒数可得 0 12 4 1 2 1 4 12 1 2 t a t 2 1 4 1 1 2 a 故1 12 4 1 2 1 4 12 1 1 2 t a t 2 1 4 1 1 1 2 a 所以1 iz 2 1 4 1 1 1 2 a 综合 1 2 3 可知 解得 2 2 1 4 1 1 1 max 2 a iz 3 2 a 11 求满足2n cos20 cos40 cos 2n 10 1 的所有正整数n 答案 n 6t 3 t N 提示 1 20sin 102cos 40cos20cos20sin2 nn 1 20sin 102cos 40cos40sin 2 1 2 nn 1 20sin 102cos 80cos80sin 2 1 2 2 nn 1 20sin 2 102sin 2 1 2 nnn 去分母可得 n 20sin 202sin 12 解三角方程可得 2n 20 20 360 k k Z 或者 2n 20 180 20 360 k k Z 化简得 2n 1 18k k Z 或者2n 8 18k k Z 前者由于2n 是偶数 1 18k是奇数 等号不成立 舍去 所以2n 8 18k k Z 即2n 1 4 9k k Z 反表示可得 9 164 4 9 12 4 9 424 9 42 6 3 331 n n n n k 当且仅当是非负整数 即n 6t 3 t N 时 k是整数 n是正整数 6 3 n 其余情况可以用余数定理来判断均不符合题意 过程略 综上所述 所求正整数n 6t 3 t N 12 将5 5矩阵的每个元素都取成1 2 3 4 5这5个数之一 要求每行 的5个元素互不相等 而对任意相邻两行 恰存在一个k 1 2 3 4 5 使得这两行在第k列上的元素相等 此时 若矩阵中存在某一列上相邻的3个元素相等 则称该矩阵为 有趣的 否则 若任意一列上都不出现相邻的3个元素相等 则称该矩阵为 无趣的 试比较有趣的矩阵的个数x与无趣的矩阵的个数y的大小 答案 x y x y 提示 对于同一列上相邻的相等元素的个数展开分类讨论 1 同一列上相邻的5个元素相等 12345 1不重复9 种 13 1不重复9 种 1不重复9 种 1不重复9 种 3936600 9 44 4 1 5 1 51 PCCx 2 同一列上相邻的4个元素