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2含参量反常积分 1 本节研究形如 的含参变量广义积分的连续性 可微性与可积性 下面只对无穷限积分讨论 无界函数的情况可类似处理 2 都收敛 则它的值是在区间上取值的函数 表为 3 对于含参量反常积分和函数 则称含参量反常积分在上一致收敛于 4 一致收敛的柯西准则 含参量反常积分在上一致收敛的充要 5 一致收敛的充要条件 含参量反常积分在上一致收敛的充要 条件是 对任一趋于的递增数列 其中 函数项级数在一致收敛 6 魏尔斯特拉斯M判别法 设有函数 使得 7 魏尔斯特拉斯 Weierstrass 判别法 若 一致收敛 证明 因为收敛 所以由广义积分一致收敛的柯西准则 有 且收敛 则关于 8 从而 9 魏尔斯特拉斯 Weierstrass 判别法 若 一致收敛 证明 因为收敛 所以由广义积分一致收敛的柯西准则 有 且收敛 则关于 10 从而 11 例1在内一致收敛 解 因为 而积分收敛 所以在内一致收敛 12 狄利克雷判别法 13 阿贝耳判别法 14 二 一致收敛积分的性质 1 连续性定理 因为在内一致收敛 所以 证明 因此 当时 设在上连续 关于在上一致收敛 则一元函数在上连续 15 又在上连续 所以作为的函数在连续 于是 从而 当时 有 定理证毕 16 2 积分顺序交换定理 设在上连续 关于在上一致收敛 则在可积 并且 17 3 积分号下求导的定理 设在上连续 收敛 关于在上一致收敛 则 在可导 且 18 证明 因为在连续 由连续性定理 在连续 沿区间积分 由积分顺序交换定理 得到 在上式两端对求导 得 定理证毕 19 连续性 即 20 可微性 可微性定理表明在定理条件下 求导运算和积分运算 可以交换 即 21 可积性 22 含参量反常积分在上一致收敛 证明反常积分在上一致收敛 23 证明含参量反常积分 在上一致收敛 在上一致收敛 24 证明含参量反常积分 在上一致收敛 25 例4证明 证 1 用分段处理的方法 26 因为 27 28 例4计算积分 解 29 例5利用积分号下求导求积分 解因为 因为 故 30 由数学归纳法易证 于是 31 例6计算积分 解 令 32 在第二项积分中令 得 故 33 2 含参量反常积分一致收敛的定义 1 含参量反常积分的定义 3 含参量反常积分一致收敛的判别 一致收敛的柯西准则 一致收敛的充要条件 魏尔斯特拉斯M判别法 34
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