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文档简介

2线性空间的定义与简单性质 3维数 基与坐标 4基变换与坐标变换 1集合 映射 5线性子空间 7子空间的直和 8线性空间的同构 6子空间的交与和 第六章线性空间 1 2020 4 9 一 线性空间的定义 二 线性空间的简单性质 6 2线性空间的定义与简单性质 2 2020 4 9 一 线性空间 linearspace 的定义 设V是一个非空集合 P是一个数域 在集合V中 定义了一种代数运算 叫做加法 即对 在V中都存在唯一的一个元素与它们对应 称为 的和 记为 在P与V的元素之间还 定义了一种运算 叫做数量乘法 即 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应 称 为 的数量乘积 记为如果加法和数量乘 法还满足下述规则 则称V为数域P上的线性空间 3 2020 4 9 加法满足下列四条规则 1 具有这个性质的元素0称为V的零元素 2 称为的负元素 3 在V中有一个元素0 对 4 2020 4 9 5 6 数量乘法与加法满足下列两条规则 7 数量乘法满足下列两条规则 8 5 2020 4 9 3 线性空间的判定 注意 1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为 2 线性空间的元素也称为向量 线性空间也称 向量空间 但这里的向量不一定是有序数组 线性运算 就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条 则此集合 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭 或者 6 2020 4 9 例1Pn P x 均为数域P上的线性空间 例2数域P上的次数小于n的多项式的全体 再添 法构成数域P上的一个线性空间 常用P x n表示 上零多项式作成的集合 按多项式的加法和数量乘 7 2020 4 9 的加法和数量乘法 构成数域P上的一个线性空间 例3数域P上矩阵的全体作成的集合 按矩阵 用表示 例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数 域P上的线性空间 8 2020 4 9 例5全体正实数R 判断R 是否构成实数域R上的线性空间 加法与数量乘法定义为 解 R 不构成实数域R上的线性空间 9 2020 4 9 1 零元素是唯一的 2 的负元素是唯一的 记为 证 假设有两个负元素 则有 利用负元素 我们定义减法 01 01 02 02 证 假设线性空间V有两个零元素01 02 则有 二 线性空间的简单性质 10 2020 4 9 两边加上
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