数学名师选修1-1答案.doc

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系第一课时自测自评1.下列语句中不是命题的是( )A.梯形是四边形B.等边三角形是等腰三角形吗?C.空集是任何集合的真子集D.若ac=bc,则a=b解析:B不是陈述句,所以不是命题.答案:B 2.语句“若ab,则a+cb+c”( )A.不是命题 B.是假命题C.是真命题 D.不能判断真假解析:这是“若p,则q”形式的命题,是真命题.答案:C3.“若xyR且x2+y2=0,则xy全为0”的否命题是( )A.若xyR且x2+y20,则xy全不为0B.若xyR且x2+y20,则xy不全为0C.若xyR且xy全为0,则x2+y2=0D.若xyR且xy0,则x2+y20答案:B4.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的_命题.答案:逆典例剖析【变式训练1】 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列;(2)当x=4时,2x-10;(3)若直线l不在平面内,则直线l与平面平行;(4)所有的正偶数都是合数吗?解 (1)是命题,因为当等比数列的首项a11时,该数列为递减数列,因此,是一个假命题.(2)是命题,是一个真命题.(3)是命题,因为直线与平面可以相交,因此,是一个假命题.(4)不是命题,它是一个疑问句,没有作出判断. 【变式训练2】 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)斜率相等的两条直线平行;(2)垂直于同一平面的两平面平行.解 (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行,真命题.(2)若两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行,假命题.【变式训练3】 写出命题“若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac0,则该函数图象与x轴有公共点”的逆命题否命题逆否命题.解 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点,则b2-4ac0 平行于同一条直线的两条直线平行吗?A. B.C. D.答案:B 2.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为( )A.若一个数是负数,则它的平方是正数B.若一个数的平方不是正数,则它不是负数C.若一个数的平方是正数,则它是负数D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数答案:C3.以下三个命题:分别在两个平面内的直线一定是异面直线;过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直;平行于同一条直线的两个平面平行.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:错,异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线,正确,错.答案:B4.下列命题中是假命题的是( )A.任意的锐角三角形ABC中,有sinAcosB成立B.命题“若x2-3x+2=0,则有x=1”的逆否命题为“若x1,则x2-3x+20”C.把y=sin3x(xR)的图象上所有的点向右平移 个单位即可得到函数y=sin(3x-)(xR)的图象D.直线x=是函数y=2sin(2x-)的图象的一条对称轴答案:D5.下列命题中正确的是( )“若x2+y20,则x,y不全为零”“边数相等的正多边形都相似”“若m0,则x2+x-m=0有实根”“若x-3y是有理数,则x是无理数”A. B.C. D.答案:A6.有下列命题:ax2+5x-1=0是一元二次方程;抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;互相包含的两个集合相等;空集是任何集合的真子集.其中真命题的序号是_.答案:7.命题:若a0,则二元一次不等式x+ay-10表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)是_命题(“真”或“假”).答案:真8.“若ab,则2a2b-1”的否命题是_.答案:若ab,则2a2b-19.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)偶函数的图象关于y轴对称.解:(1)若一个数是实数,则这个数的平方是非负数,是真命题.(2)如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于y轴对称,是真命题.10.写出下列命题的逆命题否命题逆否命题,并判断真假.(1)实数的平方是非负数;(2)对顶角相等;(3)若m0或n0,则m+n0.分析:分清条件和结论,利用相关知识点判断真假.解:(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角.假命题.否命题:若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.假命题.逆否命题:若两个角不相等,则这两个角不是对顶角.真命题.(3)逆命题:若m+n0,则m0或n0.真命题.否命题:若m0且n0,则m+n0.真命题.逆否命题:若m+n0,则m0且n0.假命题.感悟高考答案:D第二课时自测自评1.命题“若函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则loga20,a1)在其定义域内不是减函数B.若loga20,a1)在其定义域内不是减函数C.若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a0)在其定义域内是减函数D.若loga20,a1)在其定义域内是减函数答案:A 2.在原命题及其逆命题否命题逆否命题这四个命题中,真命题的个数可以是( )A.1或2或3或4 B.1或3C.0或4 D.0或2或4答案:D3.若命题p的逆命题是q,q的逆否命题是r,则命题r是命题p的( )A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.等价命题答案:B4.命题:“设abcR,若ac2bc2,则ab”及其逆命题否命题逆否命题中真命题共有( )A.3个 B.2个C.1个 D.0个答案:B典例剖析【变式训练1】 判断下列命题的真假.(1)已知abcdR,若ac或bd,则a+bc+d;(2)若m1,则方程x2-2x+m=0无实数根.解 (1)abcdR,若ac或bd,则a+bc+d的逆否命题是:abcdR,若a+b=c+d,则a=c且b=d.显然该命题是假命题(不妨举反例,取a=d=2,b=c=3),所以原命题是假命题.(2)若m1,则方程x2-2x+m=0无实数根的逆否命题为:若方程x2-2x+m=0有实数根,则m1.x2-2x+m=0有实数根,=4-4m0即m1.逆否命题成立,故原命题是真命题.【变式训练2】 下列命题中,是真命题的是( )A.命题“相似三角形的周长相等”的否命题B.命题“若b=3,则b2=9”的逆命题C.命题“若AB=B,则AB”的逆否命题D.命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题答案 D【变式训练3】 证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a,bR.若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.分析 该题直接证明比较困难,可考虑证明它的逆否命题.证明 原命题的逆否命题是:“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).”若a+b0,则a-b,b-a,又f(x)在R上是增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a).f(a)+f(b)b,则a2b2的逆否命题”;“若x-3,则x2+x-60”的否命题;“若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案:B3.a,b,c是三条直线,是两个平面,b,c,则下列命题不成立的是( )A.若,c,则cB.“若b,则 ”的逆命题C.若a是c在内的射影,ba,则bcD.“若bc,则c”的逆否命题答案:B4.下列命题:“全等三角形的面积相等”的逆命题;“正三角形的三个角均为60”的否命题;“若k0,则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:的逆命题“面积相等的三角形必全等”是假命题.的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题.当k0,方程有两相异实根,原命题与逆否命题均为真命题.答案:C5.命题“若方程ax2+bx+c=0(a0)的=b2-4ac0.则方程无实根”的否命题的逆否命题是( )A.若方程ax2+bx+c=0(a0)的=b2-4ac0,则方程有二实根B.若方程ax2+bx+c=0(a0)无实根,则其=b2-4ac0C.若方程ax2+bx+c=0(a0)有二实根,则其=b2-4ac0D.以上均不对答案:B6.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是v,则q是v的_命题.答案:逆否7.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题否命题逆否命题三个命题中,是真命题的是_.答案:逆否命题答案:9.判断命题“已知axR,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,则a1”的逆否命题的真假.解:原命题的逆否命题为:已知a,xR,如果a1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7a1,4a-70.即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.故逆否命题为真.10.设命题“如果a,b,c均为奇数,那么方程ax2+bx+c=0(a0)没有等根”.试判断它的四种命题的真假.解:设a=2m-1,b=2n-1,c=2p-1(m,n,pZ),则b2-4ac=(2n-1)2-4(2m-1)(2p-1)=4n2-n-(2m-1)(2p-1)+1为奇数.b2-4ac0.方程ax2+bx+c=0(a0)没有等根.即原命题是真命题.它的逆否命题“若方程ax2+bx+c=0(a0)有等根,则a,b,c不全为奇数”也是真命题.它的逆命题为“若方程ax2+bx+c=0(a0)没有等根,则a,b,c均为奇数”当a=1,b=0,c=-1时,方程x2-1=0没有等根,其中b=0不是奇数.所以它的逆命题是假命题.它的否命题“如果a,b,c不全为奇数,则方程ax2+bx+c=0(a0)有等根”也是假命题.1.2 充分条件与必要条件自测自评1.已知集合AB,则“AB”是“AB=A”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案:C 2.“|x|2”是“x2-x-6B,q:BCAC;(3)p:在ABC中,A60,q:sinA (4)p:m0,q:x2+x-m=0有实根.答案 (1)p是q的必要不充分条件.(2)p是q的充要条件.(3)p是q的既不充分也不必要条件.(4)p是q的充分不必要条件.【变式训练2】 求不等式ax2+2x+10恒成立的充要条件.【变式训练3】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.分析 明确问题的条件是“a+b+c=0”,结论为“有一根为1”.由条件结论是证明条件的充分性;由结论条件是证明条件的必要性.证明 必要性:由关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,则将x=1代入方程满足a12+b1+c=0,即a+b+c=0.充分性:a+b+c=0,c=-a-b代入ax2+bx+c=0中有ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.综上所证知关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0. 技能演练答案:A2.(2010福建月考)设m、n是整数,则“m、n均为偶数”是“m+n是偶数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A3.(2009四川卷)已知a、b、c、d为实数,且cd,则“ab”是“a-cb-d”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B4.“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案:B5.有下述说法:ab0是a2b2的充要条件;ab0是的 充要条件;ab0是a3+b30的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个 B.1个C.2个 D.3个答案:A解析:P=1,3,Q=-1,3,PQ,则xPxQ,但xQxP,故xP是xQ的充分不必要条件.答案:充分不必要8.圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是_.分析:(1)用集合的观点考察问题,先写出p和q,然后,由qp,但pq来求m的取值范围;(2)将p是q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解.解法2:p是q的必要不充分条件,qp且pq.pq且qp,即p是q的充分不必要条件.结合数轴感悟高考1.(2010北京)若a,b是非零向量,“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:f(x)=x2ab-a2x+b2x-ab=abx2+(b2-a2)x-ab,若f(x)为一次函数,只须ab=0,且b2-a20,ab是f(x)为一次函数的必要不充分条件.答案:B答案:A1.3 简单的逻辑联结词自测自评1.命题:“不等式(x-2)(x-3)0的解为2x1,q:42,3,则在下列三个命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为( )A.3 B.2C.1 D.0答案:C典例剖析【变式训练1】 分别指出下列命题的形式及构成它的命题,并判断真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等;(2)9的算术平方根不是-3;(3)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两段弧.分析 根据组成上述各命题的语句中所出现的逻辑联结词,并用真值表判断真假.解 (1)这个命题是pq的形式,其中p:相似三角形周长相等;q:相似三角形对应角相等,因为p假q真,所以pq为真.(2)这个命题是p的形式,其中p:9的算术平方根是-3,因为p假,所以p为真.(3)这个命题是pq的形式, 其中p:垂直于弦的直径平分这条弦;q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧,因为p真q真,所以pq为真. 【变式训练2】 (2010河南高二上期末)已知命题p:不等式的解集为x|0xB”是“sinAsinB”成立的必要不充分条件.有下列四个结论:p真q假;“pq”为真;“pq”为真;p假q真.其中正确结论的序号是_.(请把正确结论的序号都填上)解析 的解为0xBsinAsinB,故AB是sinAsinB的充要条件,故q为假命题.故选.答案 【变式训练3】 设p:关于x的不等式ax1的解集是x|x0恒成立,则m1/4命题q:在ABC中,AB是sinAsinB的充要条件,则( )A.p真q假 B.“pq”为真C.“pq”为假 D.“pq”为真解析:x2+x+m0恒成立,只须=1-4m 1/4,命题p正确.在ABC中,ABsinAsinB,命题q正确.故选B.答案:B5.命题p:若a,bR,则a1是|a|1的充分不必要条件;命题q:函数y 的定义域是(-,-13,+),则( )A.“p或q”为假 B.“p且q”为真C.p真q假 D.p假q真答案:B6.已知命题p:若实数x、y满足x2+y2=0,则x、y全为0;命题q:若ab,则给出下列四个命题:pq;pq;p;q.其中真命题是_.解析:命题p为真命题,命题q为假命题,pq与q为真命题,故填.答案:7.命题p:菱形的对角线互相垂直,则p的否命题是_,p是_.答案:不是菱形的四边形,其对角线不互相垂直菱形的对角线不互相垂直8.已知命题p:(x+2)(x-6)0,命题q:-3x7,若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则实数x的取值范围为_.解析:由题条件可知p与q一真一假,p为真命题时,x满足-2x6,满足条件的x的范围是-3,-2)(6,7.答案:-3,-2)(6,79.已知命题p:lg(x2-2x-2)0;命题q:0x4.若p且q为假,p或q为真,求实数x的取值范围.解:由lg(x2-2x-2)0,得x2-2x-21,x3或x-1.即p:x3或x-1.p:-1x3.又q:0x0,y0,都有x2+y22xyD.x0,y0,使x2+y22xy答案:A4.下列四个命题:nR,n2n;nR,n2n;nR,mR,m2n;nR,mR,mn=m.其中真命题的序号是_.答案:典例剖析【变式训练1】 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,并判断其真假.(1)有一个实数,sin2+cos21;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解;(4)存在实数x,使得 解 (1)(4)是特称命题,(2)(3)是全称命题.(1)对于R,都有sin2+cos2=1,(1)是假命题.(2)当直线的倾斜角是90时,不存在斜率,(2)是假命题.(3)当a=0,b=-1时,方程无解,(3)是假命题.(4)对于任意xR,2,(4)是假命题. 【变式训练2】 写出下列命题的“否定”.(1)xR,x3-x2+10;(2)xR,有cosx1;(3)x0R,x02-2x00.(2)否定:xR,使cosx1.(3)否定:x0R,x02-2x01.(4)否定:所有的三角形不是锐角三角形.【变式训练3】 已知函数f(x)=x2-2x+5.(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意xR恒成立,并说明理由.(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立,求实数m的取值范围.解 (1)不等式m+f(x)0可化为m-f(x),即m-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m-(x-1)2-4对于任意xR恒成立,只需m-4即可.故存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意xR恒成立,此时,只需m-4.(2)不等式m-f(x0)0可化为mf(x0),若存在一个实数x0,使不等式mf(x0)成立,只需mf(x)min.又f(x)=(x-1)2+4,f(x)min=4,m4.所以,所求实数m的取值范围是(4,+).技能演练1.(2010山东日照质检)命题“x0,x2+x0”的否定是( )A.x0,使得x2+x0B.x0,x2+x0C.x0,都有x2+x0D.x0,都有x2+x0答案:B 2.(2010北京东城区期末)下列四个命题中的真命题为( )A.x0Z,14x00答案:D3.(2010福建高二质检)已知命题p:xR,sinx1,则( )A.p:xR,sinx1B.p:xR,sinx1C.p:xR,sinx1D.p:xR,sinx1答案:C4.命题“存在点P(x0,y0),使x02+y02-10成立”的否定是( )A.不存在点P(x0,y0),使x02+y02-10成立B.存在点P(x0,y0),使x02+y02-10成立C.对任意的点P(x0,y0),使x2+y2-10成立D.对任意的点P(x0,y0),使x2+y2-1x2;q:R,使sin3=3sin;r:xR,使得|x+1|1且x24;s:R,函数y=sin(2x+)都不是偶函数.以上命题的否定为真命题的序号是( )A. B.C. D.解析:x=1时,x4=x2,p是假命题,p是真命题.当=0时,sin(30)=3sin0,q为真命题,q为假命题.由|x+1|1,得-2x0,由x24得x2或x-2,命题r是假命题,r为真命题.当时,函数 是偶函数,故s为真命题,s为假命题.答案:D6.已知命题p:xR,x20,则p:_.答案:xR,x20.解:(1)p:x,yZ,2x+y3,当x=0,y=3时, 2x+y=3,因此p是假命题.(2)q:xR,x2+x-40,当x=0时,x2+x-4=-40,因此q是真命题10.(2010湖南长沙月考)已知函数f(x)=2x2-2ax+b,f(-1)=-8.对xR,都有f(x)f(-1)成立,记集合A=x|f(x)0,B=x|x-t|1.(1)当t=1时,求（CRA)B;(2)设命题p:AB,若p为真命题,求实数t的取值范围.解:由题意(-1,-8)为二次函数的顶点,f(x)=2(x+1)2-8=2(x2+2x-3).A=x|x1.(1)B=x|x-1|1=x|0x2.(CRA)B=x|-3x1x|0x2=x|-3x2.(2)B=x|t-1xt+1.感悟高考(2010安徽)命题“存在xR,使得x2+2x+5=0”的否定是_.解析:特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词.答案:对任意xR,都有x2+2x+50 第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程自测自评答案:C2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为( )答案:B答案:B4.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_.典例剖析分析 求椭圆的标准方程时,要先判断焦点的位置,确定出适合题意的椭圆的标准方程的形式,最后由条件确定出a和b即可.【变式训练2】 过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于AB两点,则AB与椭圆的另一个焦点F2构成ABF2的周长是( )分析 依题意画出图形,根据椭圆的定义可得出结果. 解析 如下图所示,|AF1|+|AF2|=2, |BF1|+|BF2|=2,|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. 答案 B【变式训练3】 已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值,故可考虑利用椭圆的定义来求其方程.解 以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如下图所示的直角坐标系,则BC两点的坐标分别为(-4,0)(4,0).|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,|AB|+|AC|=12,12|BC|,点A的轨迹是以BC为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).由2a=12,2c=8及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故所求的轨迹方程为 1(y0).技能演练1.已知两定点F1(-4,0),F2(4,0),点P是平面上一动点,且|PF1|+|PF2|=8,则点P的轨迹是( )A.圆 B.直线C.椭圆 D.线段答案:D答案:C答案:B4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )A.(0,2) B.(0,+)C.(-,1) D.(0,1)答案:D答案:C6.与椭圆x2+4y2=4有公共的焦点,且经过点A(2,1)的椭圆的方程为_.2 1208.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,则圆心P的轨迹方程为_.解析:圆P与圆A内切,圆A的半径为10,两圆的圆心距|PA|=10-|PB|,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).点P的轨迹是以AB两点为焦点的椭圆.2a=10,2c=6.a=5,c=3,b2=52-32=16.点P的轨迹方程为感悟高考2.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时自测自评答案:D答案:A答案:C答案:4典例剖析【变式训练1】 椭圆25x2+y2=25的离心率为_.【变式训练3】 已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1F1A,POAB(O为椭圆中心),求椭圆的离心率.技能演练答案:D答案:B答案:D答案:D答案:C7.在一椭圆中以焦点F1F2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率e等于_.感悟高考(2010广东文数)若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )答案:B第二课时自测自评答案:C2.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2),则该椭圆的离心率等于( )答案:A解析:|AB|+|F2A|+|F2B|=4a=20,|AB|=20-(|F2A|+|F2B|)=8.答案:8典例剖析技能演练答案:A答案:B答案:B答案:A解析:设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,两圆的半径为R,由题意可知|PM|+|PN|的最大值为|PF1|+|PF2|+2R,最小值为|PF1|+|PF2|-2R,又因为|PF1|+|PF2|=2a=6,R=1,所以|PM|+|PN|的最大值为8,最小值为4.答案:A答案:2感悟高考答案:C2.2 双曲线2.2.1