数值分析试题及答案

1 一 填空题 每题 6 分 共 30 分 1 辛普生求积公式具有 3 次代数精度 其余项表达式为 4 4 1802 ba ba fa b 2 则 2 1 f xx 1 2 3 1 1 2 3 4 0ff 3 设是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数 则 0 1 2 j lxjn 1 ji lx 1 0 ij ij 0 1 2 i jn 0 n j j lx 4 设是区间上的一组 n 次插值基函数 则插值 0 1 2 j lxjn a b 型求积公式的代数精度为 至少是 n 插值型求积公式中求积系数 且 b a j A b k a lx dx 0 n j j A 5 按四舍五入原则数 2 7182818 与 8 000033 具有五位有效数字的近似值 分别为 2 7183 和 8 0000 二 计算题 每题 10 分 共计 60 分 注意写出详细清晰的步 骤 1 已知函数的相关数据 yf x i0 1 2 3 i x ii yf x 0 1 2 3 1 3 9 27 由牛顿插值公式求三次插值多项式 并计算的值近似值 3 P x 1 3 2 P 注 要求给出差商表 解 差商表 得分签名 2 i i x i f x 1 ii f x x 12 iii f x xx 123 iiii f x xxx 0 1 2 3 0 1 2 3 1 3 9 27 2 6 8 2 64 3 由牛顿插值公式 32 33 32 3 48 21 33 14 118 1 3 2 12 23 223 2 p xNxxxx p 2 已知一组试验数据如下 i x20 40 60 80 100 i f4 35 7 55 10 40 13 80 16 80 求它的拟合曲线 直线 解 设则可得yabx 530052 90 300220003797 ab ab 于是 即 1 235 0 15575ab 1 2350 15575yx 4 已知 012 113 424 xxx 1 推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式 0 1 1 012 0 113 424 f x dxA fA fA f 2 指明求积公式所具有的代数精度 3 用所求公式计算 1 2 0 x dx 解 1 所求插值型的求积公式形如 3 1 012 0 113 424 f x dxA fA fA f 111 12 00 000 0102 111 02 11 000 1012 1 01 22 0 202 13 2 24 1113 3 4244 13 1 44 1113 3 2424 xx xxxx Alx dxdxdx xxxx xx xxxx Al x dxdxdx xxxx xxxx Alx dx xxx 11 00 1 11 2 42 3131 3 4442 xx dxdx x 故 1 0 1113 2 2 3424 f x dxfff 2 所求的求积公式是插值型 故至少具有 2 次代数精度 再将 代入上述公式 可得 34 f xxx 1 3333 0 1 4444 0 11113 2 2 43424 11113 2 2 53424 x dx x dx 故代数精度是 3 次 3 由 2 可得 1 2222 0 11131 2 2 34243 x dx 5 用二分法求方程在区间内的根时 若要求精确 3 1f xxx 1 1 5 到小数点后二位 1 需要二分几次 2 给出满足要求的近似根 解 6 次 1 32x 6 用列主元消去法解线性方程组 123 123 123 2346 3525 433032 xxx xxx xxx 4 解 2346433032433032 352535253525 43303223462346 433032433032 011 441 219011 441 219 03 2