2017_18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程学案.docx

2.3.2圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.知识链接1.圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r.2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断.预习导引1.方程x2y2DxEyF0配方得：22.(1)当D2E24F0时，方程表示一个点，该点的坐标为；(2)当D2E24F0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为，半径等于，上述方程称为圆的一般方程.2.比较二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0和圆的一般方程x2y2DxEyF0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即AC0；(2)没有xy项，即B0；(3)D2E24AF0时，它才表示圆.要点一圆的一般方程的概念例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆.(2)方程x2xyy26x7y0中含有xy这样的项.它不能表示圆.(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆.(4)方程2x22y25x0化为2y22，它表示以为圆心，为半径长的圆.规律方法二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆，应满足的条件是：AC0，B0，D2E24AF0.跟踪演练1如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_.答案解析由题意可知(2)2124k0，即k.要点二求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点为A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解方法一设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.圆心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.方法二设ABC的外接圆方程为(xa)2(yb)2r2，A、B、C在圆上，解得即外接圆的圆心为(1，1)，半径为5，圆的标准方程为(x1)2(y1)225，展开易得其一般方程为x2y22x2y230.方法三kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形.圆心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.展开得一般方程为x2y22x2y230.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪演练2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程.解设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.要点三求动点的轨迹方程例3等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5).又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1).故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点.规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.跟踪演练3已知直角ABC的两个顶点A(1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.解方法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC.且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1).方法二ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1).1.圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A.(2,3) B.(2,3)C.(2,3) D.(2,3)答案D解析2，3，圆心坐标是(2，3).2.方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A.k B.kC.k D.k0k.3.方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为()A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(a，b)为圆心的圆C.点(a，b) D.点(a，b)答案D解析原方程可化为：(xa)2(yb)20.所以它表示点(a，b).4.圆x2y22x4ym0的直径为3，则m的值为_.答案解析(x1)2(y2)25m，r，m.5.圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.答案3解析圆心(1,2)到直线3x4y40的距离为3.1.圆的一般方程x2y2DxEyF0，来源于圆的标准方程(