二项式定理和性质.ppt

肥城一中高二数学组 二项式定理 1 在n 1 2 3时 写出并研究 a b n的展开式 a b 1 a b C10a C11b 2 那么n 4时呢 研究问题 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 a4a3ba2b2ab3b4 项 系数 a b 4 a b a b a b a b 问题2 a b 4展开有哪些项 各项的系数是什么 结果 实验猜想 发现规律 对于 a b n 的展开式中an rbr的系数是在n个括号中 恰有r个括号中取b 其余括号中取a 的组合数 那么 我们能不能写出 a b n的展开式 将 a b n展开的结果又是怎样呢 归纳提高 引出定理 总结特征 这个公式表示的定理叫做二项式定理 公式右边的多项式叫做 a b n的 其中 k 0 1 2 n 叫做 叫做二项展开式的通项 用Tk 1表示 该项是指展开式的第项 展开式共有 个项 二项式定理 一般地 对于nN 有 展开式 二项式系数 k 1 n 1 1 系数规律 2 指数规律 各项的次数均为n 其中每一项中a的次数由n降到0 b次数由0升到n 3 项数规律 二项和的n次幂的展开式共有n 1个项 4 展开式中的每一项都来自于n个括号的各个括号 注 二项式定理 公式 的特点 5 注意区别二项式系数与项的系数的概念 项的系数为 二项式系数与数字系数的积 即字母的系数 二项式系数为 特别地 2 令a 1 b x 1 把b用 b代替 3 二项展开式定理 x 1时 解 第三项的二项式系数为 第六项的系数为 解 第四项系数为280 2 由展开式所得的x的多项式中 系数为有理数的共有多少项 例3 1 试判断在的展开式中有无常数项 如果有 求出此常数项 如果没有 说明理由 解 设展开式中的第r 1项为常数项 则 由题意可知 故存在常数项且为第7项 常数项 常数项即项 例3 1 试判断在的展开式中有无常数项 如果有 求出此常数项 如果没有 说明理由 解 的展开式的通项公式为 点评 求常数项 有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析 综合性强 考点多且对思维的严密性要求也高 有理项即整数次幂项 2 由展开式所得的x的多项式中 系数为有理数的共有多少项 练习 1 求的展开式常数项 解 解 仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是 解法2 运用等比数列求和公式得 在的展开式中 含有项的系数为 所以的系数为 20 二项式定理的逆用 例4化简 解 1 将原式变形 例4计算并求值 解 2 原式 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点 也是重点 只有熟练掌握公式的正用 才能掌握逆向应用和变式应用 1 二项式定理及结构特征 2 二项式系数与项系数不同 4 定理特例 小结 余数是1 所以是星期四 变式 若将除以9 则得到的余数是多少 变式 若将除以9 则得到的余数是多少 所以余数是1 8 1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 复习提问 1 二项式定理的内容 右边多项式叫 a b n的二项展开式 2 二项式系数 3 二项展开式的通项Tk 1 针对 a b n的标准形式而言 k 0 1 2 n 4 在定理中 令a 1 b x 则 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是哪些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 计算 a b n展开式的二项式系数并填入下表 对称性 议一议 1 请看系数有没有明显的规律 2 上下两行有什么关系吗 3 根据这两条规律 大家能写出下面的系数吗 每行两端都是1Cn0 Cnn 1 从第二行起 每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn 1m Cnm Cnm 1 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 若 a b n的展开式中 第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等 知识对接测查1 1 在 a b 展开式中 与倒数第三项二项式系数相等是 A第 项B第 项C第 项D第 项 则n B 8 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 由 即二项式系数前半部分是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 增减性与最大值 二项式系数的性质 1 在 1 x 10的展开式中 二项式系数最大为 在 1 x 11的展开式中 二项式系数最大为 3 在二项式 x 1 11的展开式中 求系数最小的项的系数 最大的系数呢 知识对接测查2 2 指出 a 2b 15的展开式中哪些项的二项式系数最大 并求出其最大的二项式系数 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 二项式系数的性质 例1证明在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 赋值法 证明 性质4 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 归纳提高 知识对接测查3 2 求证 证明 倒序相加法 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 1 2 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 所以 3 例题点评 求二项展开式系数和 常常得用赋值法 设二项式中的字母为1或 1 得到一个或几个等式 再根据结果求值