优质课：任意角的三角函数教学设计

1 M A O P 任意角的三角函数教学设计任意角的三角函数教学设计 福建师大附中 张春晓 一 教学内容解析一 教学内容解析 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型 在其它学科领域也有着广泛的应用 任 意角的三角函数是函数的下位概念 它建立在 数学 1 中函数概念的基础上 是对锐角三角函数概念的 扩张 引入锐角三角函数的概念 目的是为了研究三角形中的边角关系 定义侧重于从几何的角度 在直 角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系 而引入任意角三角函数的概念 是为了研究周期变化现象 定义侧重于从代数的角度 以单位圆为工具 得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系 在弧度制下 是数集到数集的映射 本节课是在学习完 任意角和弧度制 后的第一节新授课 教材中对任意角的三角函数的定义有两 种 单位圆定义法和终边定义法 从研究任意角的三角函数作用看 单位圆定义法显得更为简单直观 为后续研究三角函数性质埋下伏笔 从数学史发展看 单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推 动作用 因此 本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发 以数学实际应用为线索 完 成任意角的三角函数的建构过程 二 教学目标二 教学目标 知识与技能 知识与技能 理解任意角三角函数的定义 树立映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 过程与方法 过程与方法 经历单位圆定义法 培养合情猜测的能力 体会函数模型的作用 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 通过学生积极参与知识 发现 与 形成 的过程 加深对数学概念本质的理解 感悟数学概念的严谨性与科学性 重点重点 任意角三角函数的定义 难点 难点 任意角三角函数概念的建构过程 三 教学流程三 教学流程 1 1 复习 复习 通过对任意角的概念的学习 你认为它与初中角的概念有什么区别 设计意图设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础 2 2 创设情境 引出主题 创设情境 引出主题 问题 问题 已知摩天轮的中心离地面的高度为 它的直径为 逆时针方向做匀速转动 转动一周需要 0 h2r 360 秒 若现在你坐在座舱中 从初始位置点出发 求相对于地面的高度与时间 的函数关系式 Aht 师 让我们一起分析一下 在整个运动过程中 高度是怎样变化的 h 师生 开始高度先渐渐增高至最高点 再渐渐降低至最低点 再渐渐升高 h 最后回到初始位置 第二周 第三周 周而复始 呈现周期现象 设计意图设计意图 以解决实际问题为背景 引入任意角三角函数概念 突出研究问题 的 周期性 特点 师 我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢 让我们先从特殊情形入手 例如 过了 20s 后 人距离地面的高度是多少 生 0 0 sin20hhr 2 师 你能对这个式子做一解释吗 生 表示水平位置距离地面的高度 表示距离水平位置的高度 即 0 hOA 0 sin20rPOA 0 MP hh 师 如果过了s 呢 对上面式子做怎样修改 40 师生 将换成 即 一般地 过了 秒呢 猜想 0 20 0 40 0 0 sin40hhr t 0 sinhhrt 师 这样猜想合情 但合理吗 随着摩天轮的转动 从最初的锐角被推广到了任意角 对任意角POA 该如何定义呢 这就是这节课我们要学习的内容 任意角的三角函数 sin 设计意图设计意图 为引出任意角的三角函数做准备 按照从特殊到一般地策略来探究 让学生感受到接下来学 习 新知识的必要性 3 3 概念生成 概念生成 师 当在水平但位置上方时 当在水平位置下方时 即 POA 0 MP hh POA 0 MP hh 0 MP hh 与相比较 要想两者和谐统一 必须有 即 0 sinhhrt sin MP rt MP sin r t 师生小结 当点在圆周上运动时 随之变化 任一个 对应着唯一点 进而有唯一PPOA POA P 得到 MP MP sin r t 师 不过这样表述时 还是不够简洁 何时取正值 何时取负值 能否用一个量去代替 MP MPMP 使上述表示形式更简单 它的绝对值与的长度相等 符号在上方表示正的 下方表示负的 MPOAOA 生 引入直角坐标系 用点的纵坐标来替代或 Py MP MP 设计意图设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中 坐标系的引入是自然的 有必要的 师 接下来 我们把角放在平面直角坐标系中 以原点为圆心 半径为做圆 与角的终边交于点 r P 假设点坐标为 利用我们刚才对上述问题的分析 这里 P x ysin y r 师 当是锐角时 此规定与初中规定是否吻合 生 吻合 利用初中对锐角三角函数定义 即 即 MP sin OP MP y OP r 师 三角函数只有这一个吗 生 还有余弦 正切 师 你能仿照正弦给出它们的类似定义吗 3 y x OP r tan y x cos x r sin y r O P x y 生 cos x r tan y x 师 从高中函数定义来看 他们是真正意义上的函数吗 生 是的 任意给定角 其终边唯一确定 终边与圆的交点就唯一确定 比值随之唯一确定 P 师 比值会随着点在终边上的变化而变化吗 P 生 不会 由相似三角形知识 比值是唯一确定的 师 很好 任意给定唯一确定比值 那如果是任意角呢 我们不妨 假设此时终边落在第二象限 终边与圆的交点仍然是 坐标为 P x y 显然 我们已经不能把放在一个锐角三角形内 但是我们同样可以发现 当给定后 终边唯一确定 其与圆的交点唯一确定 仍然符合函数的定义 P 师 这种比值形式能进一步简化吗 生 另 则 1rsin y cosx tan y x 师 此时点具有什么特点 P 生 点即是角终边与单位圆的交点 P 师 它们是函数吗 生 是的 当给定时 点即定 函数值唯一确定 P 师 既然是函数 则有三要素 它们的定义域是什么 生 的定义域均为 的定义域是siny cosy Rtany k kZ 2 师 很好 我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数 其实 我们可以发现 任意角的三角函数是 以角作为自变量 以坐标或者坐标的比值为函数值的函数 即从角的集合到实数集的一种对应关系 设计意图设计意图 这里采用概念同化的学习方式 让学生理解定义的合理性 理解概念的背景和生成过程 4 4 概念运用 概念运用 例 1 口算 求下列三角函数值 1 2 3 0 sin270cos3 3 tan 4 变式 若已知 你能写出的一个角吗 cos1 例 2 角的终边经过点 求它的三角函数值 13 22 P 设计意图设计意图 让学生熟悉定义 从中概括出用定义解题的步骤 例 3 设且 确定是第几象限的角 sin0 tan0 设计意图设计意图 通过定义的应用 让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律 并从中进一 4 y x M P PT B A O A S 步理解三角函数的概念 体会数形结合的思想 例 4 不求值 判断下列三角函数值的符号 1 2 3 0 sin 1060 16 cos 5 0 tan556 设计意图设计意图 引出公式一 突出sin 2 sink cos 2 cosk tan 2 tank 函数周期变化的特点 以及数形结合的思想 5 5 探究发现 探究发现 在如图所示的单位圆中 角的顶点在原点 始边与轴的非负半轴重合 终边为 则有向线段 xOP 分别称为角的正弦线 余弦线 正切线 余切线 正割线和余割线 图中的 MP OM AT BS OT OS 正弦线 余弦线均为圆上的弦的一段 如是圆的弦上的一段 是圆的弦MPOMOMPO PPOMO AA 上的一段 图中正切线 余切线均为圆上的切线段 图中正割线 余割线均为圆上的割ATBSOOTOSO 线段 你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释 并说明理由 设计意图设计意图 针对学生素质差异 设计有层次的思考题 留给学生课后自主探究