含有绝对值不等式的解法 典型例题.doc

典型例题含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式x+3x-5解：由不等式x+3x-5两边平方得x+32x-52，即（x+3）2（x-5）2,x1 原不等式的解集为xx1评析 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据x2x2，可在两边平方脱去绝对值符号当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐例2 对任意实数x，若不等式x+1-x-2k恒成立，则实数k的取值范围是（ ）Ak3 Bkk对任意实数x恒成立，只要x+1-x-2的最小值大于k因x+1的几何意义为数轴上点x到-1的距离，x-2的几何意义为点x到2的距离，x+1-x-2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3， kx+3分析 解此类不等式，要分x+30和x+30两种情况讨论解：当x+30，即x-3时，原不等式又要分-3x 和x 两种情况求解：当-3xx+3，即x- ，此时不等式的解为-3xx+3，即x2，此时不等式的解为x2又当x+30，即x-3时，不等式是绝对不等式取、并集知不等式的解集为xx2例4 解不等式 x-5-2x+31解：x5和x- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（） 或（） 或（） 解（）得 x-7，解（）得 5；（）（）（）的并集xx 即为原不等式的解集说明 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解例5 解不等式12x-15解法一：原不等式等价于 或 解得 1x3;解得 -2x0 原不等式的解集为x-2x0或1x3解法二：原不等式等价于12x-15， 或 -52x-1-1，即 22x6， 或 -42x0，解得 1x3， 或 -2x0 原不等式的解集为x-2x0，或1x8分析 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论解法一：由代数式x+3、x-3知，-3和3把实数集分为三个区间：x-3,-3x3，x3当x8，即x-4，此时不等式的解为x-4；当-3x8，此时无解；当x3时，x+3+x-38，即x4，此时不等式的解为x4取、的并集得原不等式的解集为xx4点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集模仿例1，我们还有解法二：不等式x+3+x-38表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8 原不等式的解集为xx4解法三：分别画出函数y1x+3+x-3和y28的图像，如下图y1 不难看出，要使y1y2，只须x4 原不等式的解集为xx4点评 对于形如x-a+x-bc，或x-a-x-bc的不等