⑦参数估计.doc

七、参数估计这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求一致 、 考试大纲要求 考试内容 点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体均值的区间估计 单个正态总体方差和标准差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 考试要求 估计量的概念和评选标准；求估计量的方法；置信区间.(1) 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的基本标准无偏性、有效性（最小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会证明估计量的无偏性；会比较两个无偏估计量的方差；会利用大数定律证明估计量的相合性(2) 掌握求估计量的方法矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩(3) 掌握建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法(4) 掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法、考试内容提要统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个基本问题是统计估计和统计检验统计推断的众多分支、应用、方法及原理都是围绕着估计与检验建立和展开的参数估计，就是根据样本来估计总体的未知参数，分为点估计和区间估计 评选估计量的标准 点估计是用统计量的值估计未知参数的值；作估计用的统计量称为估计量；估计量是随机变量，它所取的具体值称为估计值例如，对于任意总体，可以分别用样本均值和样本方差做总体的数学期望和方差的估计量我们用统计量（有时简记为）做未知参数的估计量，其中是简单随机样本的函数同一个未知参数一般有多个可供选择的估计量评选估计量的标准，是对于估计量优良性的要求，考试大纲要求掌握无偏性、有效性（最小方差性）、相合性1、无偏性 称估计量为未知参数的无偏估计量，如果=2、有效性 假设和都是的无偏估计量，那么如果，则称估计量比更有效在未知参数任何两个无偏估计量中，显然应该选更有效者方差较小者3、相合性 称估计量为未知参数的相合估计量，如果依概率收敛于换句话说，当充分大时，相合估计量以十分接近1的概率近似等于它所估计的未知参数，即相合性一般是大数定律的推论 求估计量的方法考试大纲要求掌握最常用的两种求估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法1、矩估计法 矩估计法，是用样本矩估计相应的总体矩、用样本矩的函数估计总体矩相应函数的一种估计方法矩估计法无需知道总体的分布总体的阶原点矩和阶中心矩定义分别定义为 和 (k=0,1,2,)考试大纲只涉及一阶矩和二阶矩矩估计法的步骤为：(1) 用阶样本原点矩估计阶总体原点矩，用阶样本中心矩估计总体的阶中心矩例如，用一阶样本原点矩样本均值=估计总体的数学期望，用二阶样本中心矩未修正样本方差估计总体的方差DX(2) 设是一阶原点矩和二阶原点矩的函数，则就是的矩估计量(见例7.19)(3) 设(=1,2)是一阶原点矩和二阶原点矩的函数，则就是( =1,2)的矩估计量(见例7.5、例7.187.20)2、最大似然估计法 最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学表达式我们用概率函数表示总体的概率分布，其中是一维参数或是二维参数对于离散型总体，其概率函数为 (7.1)对于连续型总体，其概率函数就是概率密度(1) 似然函数 设总体的概率函数为，是来自总体的简单随机样本，则称函数 (7.2)为参数的似然函数；称函数 (7.2)为对数似然函数，亦简称似然函数(2) 最大似然估计量 对于给定的样本值，使似然函数或达到最大值的参数值，称做未知参数的最大似然估计值对于几乎一切样本值，使似然函数或达到最大值的估计量，称做未知参数的最大似然估计量，即最大似然估计量（以概率1）决定于条件：(3) 似然方程 由函数有极值的必要条件，得方程 或 ， (7.3)称做参数的似然方程；假如未知参数是二维的，则得似然方程（组） 或 (7.4)在相当广泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估计量一般，要用微积分中判断最大值的方法来判断似然方程的解是否最大似然估计量有时，只能用近似计算的方法求解似然方程在有些情形下，似然函数对的导数不存在，这时应采用其他方法求最大似然估计量(见例7.19，例7.21和例7.27)(4) 最大似然估计量的函数 假设参数的函数有唯一反函数，而是的最大似然估计量，则是的最大似然估计量 参数的区间估计未知参数的区间估计，亦称 “置信区间”，是以统计量为端点的随机区间,它以充分大的概率包含未知参数的值，其中区间的端点和是统计量1、置信区间 设是总体的未知参数，是来自总体的简单随机样本，是两个统计量，满足， (7.5)则称随机区间为参数的置信度为的区间估计或置信区间，简称为的置信区间；区间的端点统计量分别称做置信下限和置信上限对于具体的样本值，是直线上一个普通的区间，称做置信区间的一个实现置信度是随机区间 “包含”或“覆盖”未知参数的值的概率置信度一般选充分接近1的数，例如0.95直观上，如果多次使用置信度为0.95的置信区间估计参数，则该区间平均有95%的实现包含的值，不包含值的情形大致只有5%左右2、单侧置信区间 设和都是参数的置信区间，其中和是已知常数或无穷大，则称做下置信区间，而上置信区间3、置信区间的求法 设是总体的未知参数，是来自总体的简单随机样本建立未知参数的置信区间的一般步骤为（见例7.26和例7.27）：(1) 选择一个包含参数的样本的函数，但是其分布不依赖于参数；假设是的反函数；(2) 对于给定的置信度，根据的概率分布选两个常数(分位数)使之满足条件； (7.11)(3) 利用和之间的反函数关系，由(7.11)式可得，其中，若是的增函数，则，；若是的减函数，则，；由此得参数的置信区间注 式(7.11)中的选择有一定任意性，因此具有相同置信度的置信区间并不惟一对于对称分布（如正态分布、分布）以及偏度不大的分布（如分布和分布），通常按如下原则选取： (7.12) 正态总体参数的区间估计正态总体参数的置信区间，主要是一个正态总体均值和方差的置信区间，以及两个正态总体均值差和方差比的置信区间1、一个正态总体参数的区间估计 假设总体，是来自总体的简单随机样本；是样本均值，是样本方差表7-1列出了和的置信区间表7-1 和的置信区间未知参数置信区间分 位 数附表2未知附表2附表32、两个正态总体参数的区间估计 假设，；和分别是来自总体和的简单随机样本，是相应的样本均值和样本方差；是联合样本方差(见(6.16)式)和的置信区间列入表7-2表7-2 均值差和方差比的置信区间未知参数置信区间分位数 ,已知附表2 ,未知 =附表2附表4、 典型例题分析填空题例7.1（估计量p.169） 假设总体服从参数为的泊松分布，是来自总体的简单随机样本，是样本均值，是样本方差，则对于任意实数，= 分析 熟知，对于任何总体，样本均值是总体数学期望的无偏估计量，样本方差是总体方差的无偏估计量；对于泊松分布，数学期望和方差都等于分布参数，因此例7.2（最大似然估计量p.169） 设总体服从参数为的泊松分布，是来自总体的简单随机样本，则概率的最大似然估计量为 分析 熟知，样本均值是参数的最大似然估计量，而是的单调函数根据最大似然估计量的性质，是的最大似然估计量，即概率的最大似然估计量例7.3（最大似然估计量p.169） 设总体的概率密度为： 是来自总体的简单随机样本，则未知参数的最大似然估计量= 分析 参数的似然函数为由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数的最大值当时，而当时，即当时随的增大而增大，当时取最大值例7.4（矩估计量p.169） 设来自总体的简单随机样本，总体的概率分布为，其中00，是来自总体的简单随机样本，则的矩估计量为 分析 总体的数学期望（一阶原点矩）为用一阶样本矩（样本均值）估计总体的一阶矩，得关于未知参数的方程，其解就是的矩估计量：例7.9（置信区间p.171） 设正态总体的标准差为1，由来自的简单随机样本建立的数学期望的0.95置信区间，则当样本容量为25时置信区间的长度= ；为使置信区间的长度不大于0.5，应取样本容量 分析 正态总体的数学期望的0.95置信区间的一般公式为，其中根据条件由此可见，当样本容量为已知时置信区间的长度当限定置信区间的长度不大于时，样本容量为应满足例7.10（无偏估计量p.171）设总体服从参数为的泊松分布；是来自的简单随机样本，则的无偏估计量为 分析 熟知设为样本均值，则由此可见的无偏估计量为选择题例7.12（估计量p.172） 设是总体X的标准差，是来自总体X的简单随机样本，则样本标准差是总体标准差的(A) 矩估计量 (B) 最大似然估计量 (C) 无偏估计量 (D) 相合估计量 D 分析 应选（D）因为总体标准差的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差，所以（A）和（B）不成立；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计，因此（C）也不成立；从而只有（D）正确例7.13(p.172) 设，并且相互独立；基于分别来自总体和容量相应为9和11的简单随机样本，得样本均值和，样本方差；记由熟知的事实“服从自由度为的分布的随机变量的方差等于2”，可见的4个无偏估计量中方差最小者是(A) (B) (C) (D) D 分析 应选（D）利用“自由度为的分布的随机变量的方差等于2”,容易计算出4个无偏估计量的方差事实上,和分别服从自由度为=8和=10的分布，可见于是，估计量中方差最小者是例7.15(p.173) 设是来自正态总体的简单随机样本，为使成为总体方差的无偏估计量，应选=(A) (B) (C) (D) C 分析 由条件知：假如统计量是总体方差的无偏估计量，则 解答题 例7.19（最大似然估计量p.174） 假设随机变量在区间上均匀分布，试求区间端点和最大似然估计量。解 随机变量的概率密度可见未知参数和似然函数为其中和。分别对和求偏导数并令其等于0，得和的似然方程组此方程组显然无解，因此需要直接求是似然函数达到最大值的和。因为当时显然，而对于任意和，若，则，所以当时达到最大值。因此是和最大似然估计量。例7.21（最大似然估计量p.175） 假设随机变量在数集0,1,2,上等可能分布，求的最大似然估计量 解 这里是所要估计的未知参数随机变量的概率函数为参数的似然函数为由于要不能对求导，需直接求的最大值而且随着的减小而增大记；因为当时=，而当时，所以当时达到最大值，即就是参数的最大似然估计量例7.22(估计量p.175) 设来自总体的简单随机样本，的概率分布为，其中01分别以表示 中1，2出现的次数，试求(1) 未知参数的最大似然估计量；(2) 未知参数的矩估计量；(3) 当样本值为（1,1,2,1,3,2）时的最大似然估计值和矩估计值解 (1) 求参数的最大似然估计量样本 中1，2和3出现的次数分别为，则似然函数和似然方程为似然方程的惟一解就是参数的最大似然估计量：(2) 求参数的矩估计量总体的数学期望为在上式中用样本均值估计数学期望，可得的矩估计量：(3) 对于样本值（1,1,2,1,3,2），由上面的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值例7.25（最大似然估计量p.179） 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比（未知常数）现在按还原抽样方式随意抽取的件中发现件不合格品试求的最大似然估计值解 设a是这批产品中不合格品的件数，则b是合格品的件数从而，合格品率为设是随意抽取的一件产品中不合格品的件数，则服从参数为的0-1分布对于来自总体的简单随机样本 ，记，则的似然函数和似然方程为由条件知，于是似然方程的惟一解，就是的最大似然估计值例7.27（置信区间p.180） 假设总体在区间上服从均匀分布，是来自的简单随机样本，试求端点的(1) 最大似然估计量； (2) 0.95置信区间解 记由总体的分布函数和例3.25知，的分布函数为(1) 总体的概率密度函数为未知参数的似然函数为似然函数无驻点，应直接求的最大值点，记；由于当时=0；当时随减小而增大，所以当时达到最大值，故就是未知参数的最大似然估计量现在讨论估计量的无偏性为此，首先求的概率分布总体的分布函数为由于独立同分布，可见的分布函数为这样，是的有偏估计量显然，的无偏估计量为(2) 求端点的0.95置信区间选统计量利用的分布函数，确定两个常数和，使之满足下列关系式：从而，端点的置信区间为例7.28（置信区间p.181） 为观察某药对高胆固醇血症的疗效，测定了五名患者服药前和服药一个疗程后的血清胆固醇含量，得如下数据：患 者 12345服 药 前313255290328281服 药 后301250271320271假设化验结果服从正态分布律试建立服药前后血清胆固醇含量的均值差的0.95置信区间，并对所得结果作出解释解 分别以和表示五名患者服药前和服药一个疗程后的血清胆固醇含量，设这样，分别来自总体，和Z的容量为5的三个样本相应为服 药 前 313255290328281服 药 后 301250271320271Z=12519810建立服药前后均值差的置信区间，不能采用表7-2中的一般公式，因为相应的公式要求来自的和来自的两个样本相互独立，而这里上述条件显然不成立不过，可以基于来自Z的样本，建立均值的置信区间，而这实际上就是的置信区间这里，由附表