北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验3-最优化与存储模型.docx

3. 最优化与存储模型试验修改版3.1 基本实验1. 非线性最小二乘问题一位医药管理人员想建立一个模型，对重伤病人出院后的长期恢复情况进行预测。自变量是病人住院的天数（），因变量是病人出院后长期恢复的预后指数（），指数的数值越大表示预后结局越好。为此，研究了15个病人的数据，这些数据列在表3.1中。根据经验，病人住院的天数（）和预后指数（）服从非线性模型试用最小二乘方法、最小一乘方53法和最大偏差最小的方法估计参数a，b，c，并分析三种方法的估计效果（注：用LINGO软件求解，用其他软件画出散点图和回归曲线）。表3.1 关于重伤病人的数据病号住院天数（）预后指数（）病号住院天数38（）预后指数（）12549341825501038133745114584103712521151435135386192514604726201565683116解： （1）用最小二乘法解，分别用x、y代替、LINGO中程序：SETS:quantity/1.15/: x,y;ENDSETSDATA:x=2 5 7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65;y=54 50 45 37 35 25 20 16 18 13 8 11 8 4 6;ENDDATAmin=sum(quantity: (b*2.71828(c*x)+a-y)2);free(a); free(b);free(c);程序运行结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 44.78049 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 68 Variable Value Reduced Cost B 57.33209 0.000000 C -0.4460386E-01 0.000000 A 2.430177 0.000000 X( 1) 2.000000 0.000000 X( 2) 5.000000 0.000000 X( 3) 7.000000 0.000000 X( 4) 10.00000 0.000000 X( 5) 14.00000 0.000000 X( 6) 19.00000 0.000000 X( 7) 26.00000 0.000000 X( 8) 31.00000 0.000000 X( 9) 34.00000 0.000000 X( 10) 38.00000 0.000000 X( 11) 45.00000 0.000000 X( 12) 52.00000 0.000000 X( 13) 53.00000 0.000000 X( 14) 60.00000 0.000000 X( 15) 65.00000 0.000000 Y( 1) 54.00000 0.000000 Y( 2) 50.00000 0.000000 Y( 3) 45.00000 0.000000 Y( 4) 37.00000 0.000000 Y( 5) 35.00000 0.000000 Y( 6) 25.00000 0.000000 Y( 7) 20.00000 0.000000 Y( 8) 16.00000 0.000000 Y( 9) 18.00000 0.000000 Y( 10) 13.00000 0.000000 Y( 11) 8.000000 0.000000 Y( 12) 11.00000 0.000000 Y( 13) 8.000000 0.000000 Y( 14) 4.000000 0.000000 Y( 15) 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 44.78049 -1.000000由上可得，a=2.4302,b=57.3321,c=-0.0446039y=2.4302+57.3321e-0.0446039x=2.4302+57.3321e0.0446039（2）用“最小一乘法”解，分别用x、y代替、LINGO中程序：SETS:quantity/1.15/: x,y;ENDSETSDATA:x=2 5 7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65;y=54 50 45 37 35 25 20 16 18 13 8 11 8 4 6;ENDDATAmin=sum(quantity: abs(a+b*exp(c*x)-y);free(a); free(b); free(c);程序运行结果如下：Linearization components added: Constraints: 60 Variables: 60 Integers: 15 Local optimal solution found. Objective value: 20.80640 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 643 Variable Value Reduced Cost A 3.398267 0.000000 B 57.11461 0.000000 C -0.4752126E-01 0.000000 X( 1) 2.000000 0.000000 X( 2) 5.000000 0.000000 X( 3) 7.000000 0.000000 X( 4) 10.00000 0.000000 X( 5) 14.00000 0.000000 X( 6) 19.00000 0.000000 X( 7) 26.00000 0.000000 X( 8) 31.00000 0.000000 X( 9) 34.00000 0.000000 X( 10) 38.00000 0.000000 X( 11) 45.00000 0.000000 X( 12) 52.00000 0.000000 X( 13) 53.00000 0.000000 X( 14) 60.00000 0.000000 X( 15) 65.00000 0.000000 Y( 1) 54.00000 0.000000 Y( 2) 50.00000 0.000000 Y( 3) 45.00000 0.000000 Y( 4) 37.00000 0.000000 Y( 5) 35.00000 0.000000 Y( 6) 25.00000 0.000000 Y( 7) 20.00000 0.000000 Y( 8) 16.00000 0.000000 Y( 9) 18.00000 0.000000 Y( 10) 13.00000 0.000000 Y( 11) 8.000000 0.000000 Y( 12) 11.00000 0.000000 Y( 13) 8.000000 0.000000 Y( 14) 4.000000 0.000000 Y( 15) 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 20.80640 -1.000000由上可得，a=3.3983 , b=57.1146 , c=-0.04752;y=3.3983+57.1146e-0.04752x=3.3983+57.1146e-0.04752（3）用“最大偏差最小法”解，分别用x、y代替、LINGO中程序：SETS:quantity/1.15/: x,y;ENDSETSDATA:x=2 5 7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65;y=54 50 45 37 35 25 20 16 18 13 8 11 8 4 6;ENDDATAmin=max(quantity:ABS(a+b*EXP(c*x)-y);free(a);free(b);free(c);程序运行结果如下： Linearization components added: Constraints: 91 Variables: 76 Integers: 30 Local optimal solution found. Objective value: 2.774408 Extended solver steps: 38 Total solver iterations: 7654 Variable Value Reduced Cost A 2.885594 0.000000 B 55.86246 0.000000 C -0.4441314E-01 0.000000 X( 1) 2.000000 0.000000 X( 2) 5.000000 0.000000 X( 3) 7.000000 0.000000 X( 4) 10.00000 0.000000 X( 5) 14.00000 0.000000 X( 6) 19.00000 0.000000 X( 7) 26.00000 0.000000 X( 8) 31.00000 0.000000 X( 9) 34.00000 0.000000 X( 10) 38.00000 0.000000 X( 11) 45.00000 0.000000 X( 12) 52.00000 0.000000 X( 13) 53.00000 0.000000 X( 14) 60.00000 0.000000 X( 15) 65.00000 0.000000 Y( 1) 54.00000 0.000000 Y( 2) 50.00000 0.000000 Y( 3) 45.00000 0.000000 Y( 4) 37.00000 0.000000 Y( 5) 35.00000 0.000000 Y( 6) 25.00000 0.000000 Y( 7) 20.00000 0.000000 Y( 8) 16.00000 0.000000 Y( 9) 18.00000 0.000000 Y( 10) 13.00000 0.000000 Y( 11) 8.000000 0.000000 Y( 12) 11.00000 0.000000 Y( 13) 8.000000 0.000000 Y( 14) 4.000000 0.000000 Y( 15) 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2.774408 -1.000000由此可知最大偏差最小时相应曲线为：a=3.701164，b=54.54622，c=-0.44413 y=3. 701164+54. 54622-0.44413x =3. 701164+54. 54622e-0.44413（4）通过上述分析，三种方法时的时候相应模拟曲线为：最小二乘法：=2.4302+57.3321e0.0446039（下图绿线）;最小一乘法：=3.3983+57.1146e-0.04752;（下图红线）；最大偏差最小法：=3. 701164+54. 54622e-0.44413(下图蓝线)；说明：以下画图部分实在不会，现在这个是借鉴网上的，等后面学习R软件后我再补上，抱歉。通过Matlab程序画出相应的曲线图与散点图，程序如下：x=2 5 7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65y=54 50 45 37 35 25 20 16 18 13 11 8 8 4 6plot(x,y,.);hold on;x=2:3:65;y=2.4302+57.3321.*2.71828.(-0.0446039.*x);plot(x,y,-g);hold on;x=2:3:65;y=3.3983+57.1146.*2.71828.(-0.04752.*x);plot(x,y, -r);hold on;x=2:3:65;y=4.3604+53.9964.*2.71828.(-0.04858.*x);plot(x,y, -b);hold on;程序执行结果：2. 非线性优化问题（1）一家石油公司现有5000桶A类原油，和10000桶B类原油.公司销售两种石油产品：汽油与民用燃料油。两种产品是由A类原油和B类原油化合而成。每种原油的质量指数如下：A类原油为10, B类原油为5.汽油的质量指数至少为8，民用燃料油少为6。每种产品的需求量与该产品的广告有关：10元的广告费可以带来5桶的汽油需求量，或者是10桶民用燃料油的需求量。汽油的售价是每桶250元，民用燃料油的售价为每桶200元.建立相应的数学模型帮助公司获得最大利润。（假定没有其它类型的产品可以购买）。（2）考虑问题（1），并作如下修正：假定我们添加称为SQ的化学添加剂来改善汽油和民用燃料油的质量指数。如果在每桶汽油中添加x量的SQ，则汽油的质量指数将比原指数提高x0.5，如果在每桶民用燃料油中添加x量的SQ，则民用燃料油的质量指数将比原指数提高0.6x0.6。.加到民用燃料油的SQ不能超过原体积的5 %，类似地，加到汽油的SQ也不能超过原体积的5 %。SQ可以在市场上买到，其售价为每桶200元。（3）考虑问题（2），并作如下修改：在购买400桶SQ后，每桶SQ的价格可以折扣100元。注意：（1）x桶的A类原油与y桶的B类原油混合，其质量指数为：10x+5yx+y（2）汽油（或民用燃料油）的体积将随着SQ的添加而增加。解：（1）设x11、x12、x13为汽油加工所需要的A、B类原油与广告费的值，设x21、x22、x23为民用燃油所需要的A、B类原油与广告费的值。相应的目标函数为总利润Z=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23 =124*x13+199*x23根据题意，约束条件分别为：(10x11+5x12)/(x11+x12)8;(10x21+5x22)/(x21+x22)6;x11+x215000;x12+x2210000;5*x13/10x11+x12;10*x23/10x21+x22;LINGO中程序：max=124*x13+199*x23;(10*x11+5*x12)/(x11+x12)=8;(10*x21+5*x22)/(x21+x22)=6;(10*x21+5*x22)/(x21+x22)=8;x11+x21=5000;x12+x22=0.5*x13;x21+x22=x23;GIN(x11);GIN(x12);GIN(x13);GIN(x21);GIN(x22);GIN(x23);程序运行结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 3230000. Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 38 Variable Value Reduced Cost X13 10000.00 -124.0000 X23 10000.00 -199.0000 X11 3000.000 0.000000 X12 2000.000 0.000000 X21 2000.000 0.000000 X22 8000.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3230000. 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 2.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 Y( 11) 8.000000 0.000000 Y( 12) 11.00000 0.000000 Y( 13) 8.000000 0.000000 Y( 14) 4.000000 0.000000 Y( 15) 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 44.78049 -1.000000由以上可得最优的生产方案见下表：原油类别原油A/桶原油B/桶广告费/元总利润/元汽油/桶30002000100003230000民用燃油/桶2000800010000（2）由题目中条件可令加入汽油中的添加剂SQ为x14桶，可令加入民用燃油中的添加剂SQ为x24桶，则可得新的目标函数为：Z=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23-200x14-200x24;约束条件为：x11+x215000;x12+x2210000;(10*x11+5*x12)/(x11+x12+x14)+(x14/(x11+x12+x14)0.5=8;(10x21+5x22)/(x21+x22+x24)+0.6*(x24/(x21+x22+x24)0.6=6;x13/10*5x11+x12+x14;x23/10*10x21+x22+x24;x14(x11+x12)*5%;x24(x21+x22)*5%;LINGO中程序：max=124*x13+199*x23-200*x14-200*x24;(1+(x14/(x11+x12+x14)0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)=8;(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24)0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)=6;x11+x21=5000;x12+x22=0.5*x13;x21+x22+x24=x23;0.05*x11+0.05*x12=x14;0.05*x21+0.05*x22=x24;GIN(x11);GIN(x12);GIN(x13);GIN(x14);GIN(x21);GIN(x22);GIN(x23);GIN(x24);程序运行结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 3756000. Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost X13 31500.00 -124.0000 X23 0.000000 -199.0000 X14 750.0000 200.0000 X24 0.1426852E-07 200.0000 X11 5000.000 0.000000 X12 10000.00 0.000000 X21 0.2853705E-06 0.000000 X22 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3756000. 1.000000 2 0.1214526 0.000000 3 4.965650 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.2996390E-06 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000可以得到新的生产方案：原油类别原油A/桶原油B/桶广告费/元SQ/桶总利润/元汽油/桶500010000314947473755856民用燃油/桶0000(3)当x14+x24400后可以得新的LINGO程序LINGO中程序：max=124*x13+199*x23-100*x14-100*x24;(1+(x14/(x11+x12+x14)0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)=8;(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24)0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)=6;x14+x24400;x11+x21=5000;x12+x22=0.5*x13;x21+x22+x24=x23;0.05*x11+0.05*x12=x14;0.05*x21+0.05*x22=x24;GIN(x11);GIN(x12);GIN(x13);GIN(x14);GIN(x21);GIN(x22);GIN(x23);GIN(x24);程序运行结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 3831000. Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 29 Variable Value Reduced Cost X13 31500.00 -124.0000 X23 0.000000 -199.0000 X14 750.0000 100.0000 X24 0.000000 100.0000 X11 5000.000 0.000000 X12 10000.00 0.000000 X21 0.1352903E-08 0.000000 X22 0.1298988E-07 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3831000. 1.000000 2 0.1214526 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 350.0000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.1505992E-07 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000由此可以得出新的生产方案：原油类别原油A/桶原油B/桶广告费/元SQ/桶总利润/元汽油/桶500010000315007503831000民用燃油/桶00003. 毛巾清洗服务问题（1）某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗。旅馆每天有600条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来取