2013高考数学复习专题-直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)

2012 高考高考数学复习专题 直线与圆锥曲线问题的处理方法直线与圆锥曲线问题的处理方法 2 基础知识 基础知识 高考要求高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题 压轴题出现 主要涉及位置关系的判定 弦长 问题 最值问题 对称问题 轨迹问题等 突出考查了数形结合 分类讨论 函数与方程 等价转化等数学思 想方法 要求考生分析问题和解决问题的能力 计算能力较高 起到了拉开考生 档次 有利于选拔的功能 重难点归纳重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解 成实数解的个数问题 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系灵活转化 往往就能事半功倍 典型题例示范讲解典型题例示范讲解 例例 1 如图 已知某椭圆的焦点是 F1 4 0 F2 4 0 过点 F2并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B 且 F1B F2B 10 椭圆上不同的两点 A x1 y1 C x2 y2 满足条件 F2A F2B F2C 成等差数列 1 求该弦椭圆的方程 2 求弦 AC 中点的横坐标 3 设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y kx m 求m 的取值范围 命题意图 本题考查直线 椭圆 等差数列等基本知识 一 二问较简单 第 三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围 设计新颖 综合性 灵活性强 知识依托 椭圆的定义 等差数列的定义 处理直线与圆锥曲线的方法 错解分析 第三问在表达出 k y0 时 忽 36 25略了 k 0 时的情况 理不 清题目中变量间的关系 技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程 第二问利用椭圆的第二定义 即焦半径公式 求解 第三 问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0 利用 y0的范围求 m 的范围 解 1 由椭圆定义及条件知 2a F1B F2B 10 得 a 5 又 c 4 所以 b 3 22 ca 故椭圆方程为 1 925 22 yx 2 由点 B 4 yB 在椭圆上 得 F2B yB 因为椭圆右准线方程为 x 离心率为 根据椭圆定义 有 5 9 4 25 5 4 F2A x1 F2C x2 5 4 4 25 5 4 4 25 由 F2A F2B F2C 成等差数列 得 x1 x2 2 由此得出 x1 x2 8 5 4 4 25 5 4 4 25 5 9 设弦 AC 的中点为 P x0 y0 则 x0 4 2 21 xx 3 解法一 由 A x1 y1 C x2 y2 在椭圆上 得 22 11 22 22 9259 25 9259 25 xy xy 得 9 x12 x22 25 y12 y22 0 即 9 0 x1 x2 2 25 2 21 212121 xx yyyyxx F1F2 B C B A o y x 将 k 0 kxx yy y yy x xx1 2 4 2 21 21 0 21 0 21 代入上式 得 9 4 25y0 0 k 0 k 1 即 k y0 当 k 0 时也成立 36 25 由点 P 4 y0 在弦 AC 的垂直平分线上 得 y0 4k m 所以 m y0 4k y0 y0 y0 9 25 9 16 由点 P 4 y0 在线段 BB B 与 B 关于 x 轴对称 的内部 得 y0 所以 m 5 9 5 9 5 16 5 16 解法二 因为弦 AC 的中点为 P 4 y0 所以直线 AC 的方程为 y y0 x 4 k 0 k 1 将 代入椭圆方程 1 得 925 22 yx 9k2 25 x2 50 ky0 4 x 25 ky0 4 2 25 9k2 0 所以 x1 x2 8 解得 k y0 当 k 0 时也成立 259 4 50 2 0 k k 36 25 以下同解法一 例例 2 若抛物线上总存在关于直线对称的两点 求的范围 2 1yax 0 xy a 解法一 对称曲线相交法 曲线关于直线对称的曲线方程为 2 1yax 0 xy 2 1xay 如果抛物线上总存在关于直线对称的两点 则两曲线 2 1yax 0 xy 与必有不在直线上的两个不同的交点 如图所示 从而可由 2 1yax 2 1xay 0 xy 2 2 1 1 yax xay 22 yxa xy 0 xy 1 yx a 代入得 有 2 1yax 2 1 10axx a 两个不同的解 2 13 1 4 1 0 4 aa a 解法二 对称点法 设抛物线上存在异于于直线的交 2 1yax 0 xy 点的点 且 00 A xy x ay2 1 y ax2 1 x y 0 1 A A o y x y ax2 1 x y 0 1 A A o y x 关于直线的对称点也在抛物线上 00 A xy0 xy 00 Ayx 2 1yax 则 必有两组解 2 00 2 00 1 1 2 1 yax xay 1 2 得 必有两个不同解 22 0000 yxa xy 00 0yx 有解 00 1a xy 从而有 有两个不等的实数解 2 00 1 1a xax 即 有两个不等的实数解 22 00 10a xaxa 22 4 1 0aaa 0a 3 4 a 解法二 点差法 设抛物线上以为端点的弦关于直线对称 且以为中点是抛物线 2 1yax 1122 A x yA x y 0 xy 00 M xy 即 内的点 2 1yax 2 1 1 xy a 从而有 120120 2 2xxxyyy 由 2 11 2 22 1 1 2 1 yax yax 1 2 得 22 1212 yya xx 12 120 12 2 AA yy ka xxax xx 由 000 1111 121 2222 AA kaxxyM aaaa 从而有 2 1113 1 224 a aaa 例例 3 试确定的取值范围 使得椭圆上有不同两点关于直线对称 m 22 1 43 xy 4yxm M y ax2 1 x y 0 1 A A o y x 解 设椭圆上以为端点的弦关于直线对称 且以为中点是 22 1 43 xy 1122 A x yA x y 4yxm 00 M xy 椭圆内的点 22 1 43 xy 从而有 120120 2 2xxxyyy 由 22 11 22 22 1 3412 2 3412 xy xy 1 2 得 2222 1212 4 3 yyxx 01212 12120 33 4 4 AA xyyxx k xxyyy 由 0 00 0 311 3 444 AA x kyx y 由在直线上 00 M xy4yxm 00 3 3 xm ymMmm 从而有 22 2 3 42 13 2 13 1 43131313 mm mm 例例 4 已知直线 过定点 A 4 0 且与抛物线交于 P Q 两点 若以 PQ 为直径的圆恒过l 2 2 0 C ypx p 原点 O 求的值 p 解 可设直线 的方程为代入l4xmy 2 2ypx 得 2 280ypmyp 设 1