34 导数的实际应用(理).doc

3.4 导数的实际应用（理）知识要点梳理：1.优化问题:社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大,用料最省,效率最高等问题通常称为优化问题.2.利用导数解决实际问题中的最值问题的一般步骤:(1)阅读,审题,将冗长的叙述抽象为简单的、本质性的内容，分析各量之间的关系，以及实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数解方程(3)求出函数的极值点,比较函数在区间端点和极值点函数值大小，确定函数的最大（小）值.(4)回归,根据数学问题的答案回答实际问题中的优化问题.疑难点、易错点剖析：利用导数解决实际问题中的优化问题应注意的几点:(1) 在求实际问题的最值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去。(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这点有极大值(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值。(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式给予表示，还应该确定出函数关系式中自变量的定义区间。直击考点:考点一 面积、体积最大问题考例1（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。举一反三：要设计一容积为的有盖圆柱储油罐，已知侧面积的单位积造价是底面积造价的一半，而盖的单位面积造价又是侧面积造价的一个半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？答案: 解；由，设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为 得：，解得：由问题的实际意义，上述的惟一可能极值点就是的最小值点。故当时，储油罐的造价最省。考点二 最大利润问题 例某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）思路分析：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解。解：每月生产x吨时的利润为 故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.锦囊妙计：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点。举一反三：已知某厂生产件产品成本为（1） 要使平均成本最低，就生产多少件产品？（2） 若产品以每件500元售出，要使利润最大，就生产多少件产品？分析： 本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解。解：（1）设平均成本为元，则令 得 （舍去）当在x=1000附近左侧时，；在x=1000附近右侧时，；故当x=1000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使，且函数在该点取得极小值，那么函数在该点取得最小值。（2）利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300-25000-.令，得：x=6000, 当x在6000附近右侧时；当x在6000附近左侧时；故当x=6000时,取得极大值。由于函数只有一个点使，且函数在该点取得极大值，那么函数在该点取得最大值。因此，要是利润最大，应生产6000件产品。考点三 追击用时最少问题考例3. 一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以a=1 m/s2的加速度开始行驶，问这个人是否能追上汽车？若追不上，求出该人与车的最近距离 思路分析: 借助物理相关的位移公式建立数学模型,利用导数求最值点. 解：假设经过时间t秒后人能追上汽车，此时人所走的位移为S1=6t，汽车所走的位移为，由于=122-4500，此方程无解，所以人不能追上汽车 由于人不能追上汽车，所以经过时间t秒后人与汽车之间的距离, 求导，得 因此，当t=6时，人与车的距离最近，最近距离为7米故人不能追上汽车且它们之间的最小距离为7米 锦囊妙计：这是一个关于追赶问题的最小值题，经过转化后，它实际也是一个求二次函数最小值的问题实际上二次函数的最大（小）值求法除用导数方法外，还可以用顶点坐标法、配方法、图象法等.举一反三： （06福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。误区警示例.( 2005年全国高考题)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?常见错误:(1)不注意考虑实际问题的意义,不会对不符合实际意义的值加以舍去。只注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式给予表示，不注意确定出函数关系式中自变量的定义区间。正解：设容器的高为x，容器的体积为V， 则V=（90-2x）（48-2x）x,(0x24) =4x3-276x2+4320xV=12 x2-552x+4320由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36时，V36时，V0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960，又V(0)=0,V(24)=0, 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960.紧扣考纲大演练一.单项选择题1. （原创题）圆柱形金属饮料罐容积一定时，要使材料最省，则它的高与半径的比应为( )A , B 2. C . D 3 答案B.2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左右两边各空1dm，张贴的长与宽尺寸为( )才能使四周空白面积最小？A 20 dm，10 dm. B 12 dm ，9 dm C 10 dm，8 dm D 8 dm，5 dm答案A. 提示:设海报的长与宽尺寸分为:则.则3.（改编题） 面积为S的一切矩形中,其周长c最小值是（ ）A . B. . C. D 答案: D4某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。要想宾馆利润最大，每间房的定价为每天（ ）元。A . 170 B 300. C. 350. D. 400 答案:C . 提示:设每个房间在原定价的基础上增加个10元，即,定价为（180+10x）元，则。,房间定价为故选C。5从边长为10cm16cm的矩形纸板的四个角,截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,盒子的最大容积为（ ）cm3A . 2 B. . C. 144. D. 答案:C 提示：当x=2时,=144 .6.现要制作一个圆锥形漏斗, 其母线长为t，要使其体积最大, 其高为（ ）A . B . C. . D. 答案: B 解:设漏斗的高为， 则漏斗底面半径为 ,于是体积解得:,.由于在区间0,t的端点, 因此是的最大值点.即当高为时，圆锥形漏斗的体积最大。故选B解:设小正方形的边长为x,则盒子的容积 , ,令 解得:或(舍), 因为极值点只有一个,该点就是最大值.所以当x=2时,=144 . 二.填空题 8 一汽车以50的速度沿直线驶出，同时一汽球以10的速离开此车直线上升，则1h后它们彼此分离的速度为 。答案: 解：利用导数的物理意义，即路程对时间的导数为瞬时速度，因而需求出时间t与路程s的函数关系。解：设时间为t，路程为s，则汽车与汽球之间的距离为：所以1h后它们彼此分离的速度是9. 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为 . 答案: 0.875(m/s)解 设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1.4 m时，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0 875(m/s)10. 用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架,如果制作容器的一边比另一边长0.5m,那么高为_时,容器容积最大答案: 高为1.2 ,最大容积为1.8. 解答： 设容器的短边长为xm , 另一边长 (x+0.5)m, 高为,则y=x (x+0.5) (3.2 -2x) = -2 x2+2.2x+1.6x (0x1),OFABDE在RtCDF中,.C所以梯形的面积为所以当x=时,.S 取最小值.所以当OC=时, 直角梯形OCDB的面积S最小。3. 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一不定期的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加销售额约为-t2+5t（百万元）(0t5)(1)若公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额投入）。解：（1）设投入t（百万元）的广