滩桥高中高三周考理科数学

滩桥高中高三周考理科数学滩桥高中高三周考理科数学 一 选择题 一 选择题 1 设集合 集合 则等于 24 x Ax lg 1 Bx yx AB A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 2 已知 是虚数单位 若与互为共轭复数 则 a b Ria 2 i b 2 i ab A B C D 34i 5 4i3 4i 54i 3 右边程序框图的算法思路源于世界数学名题 问题 执13 x 行该程序框图 若输入的 则输出 i 3 N A 6 B 7 C 8 D 9 4 根据如下样本数据 得到的回归方程为 y 7 9ybxaax 若 则 每增加 1 个单位 y 就 A 增加 1 4 个单位 B 减少 1 4 个单位 C 增加 1 2 个单位 D 减少 1 2 个单位 5 已知各项不为零的等差数列满足 数列是等比数列 且 则 n a 2 2127 22aaa n b 77 ab 为 95b b A 4 B 8 C 16 D 64 6 设实数 满足约束条件 则的取值范围是 xy 10 10 1 xy xy x 2 2 2xy A B C D 1 17 2 1 171 17 2 17 2 7 将 5 位同学分别保送到北京大学 上海交通大学 中山大学这 3 所大学就读 每所大学至少保 送 1 人 则不同的保送方法共有 A 150 种 B 180 种 C 240 种 D 540 种 8 过双曲线 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C的左焦点 F 作圆 222 2 ayxC 的切线 设切点为 M 延长 FM 交双曲线于点 N 若点 M 为线段 FN 的中点 则双曲线 C1的离心率为 1 C A 5 1 B 2 5 C 5 D 2 15 9 已知函数关于直线对称 且 则 sin3cosf xaxx 6 x 12 4f xf x 的最小值为 12 xx A B C D 6 3 5 6 2 3 10 已知过球面上三点 A B C 的截面到球心距离等于球半径的一半 且 6ACBC 4AB 则球面面积为 A B C D 42 48 54 60 11 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某个四面体的三视图 则该四面体的表面 积为 A B 88 24 6 88 22 6 C D 22 26 126 224 12 已知函数 若的图像与x轴有3个 2 21 ln 2 12 xxx f x xx 2 xaxfxg 不同的交点 则实数a的取值范围是 A B C D 1 1 0 e 3 1 0 e e 1 2 2ln e3 1 3 2ln2 二 填空二 填空题题 13 的展开式中 的系数为 25 xxy 52 x y 14 在 ABC 中 点 O 在线段 BC 的延长线上 且 时 3 BOCOAOxAByAC 当 则 x y 15 已知函数满足 函数关于点对称 且 则 f x 6 0f xf x 1 yf x 1 0 1 2f 2015 f 16 平面凸四边形 则此四边形的最大面积为ABCD5 4 3 2 ADCDBCAB 三 解答题 三 解答题 17 设数列的前项和为 若 是数 n an n S 1 2a 2 8a 11 452 nnn SSSn n T 列的前项和 1 求数列的通项公式 2n al ogn n a 2 求满足的最大正整数的值 101 51 1 1 1 1 1 1 32 n TTT n 18 已知正方形CDA 的边长为2 F G 分别是边A C CD DA的中 点 1 在正方形CDA 内部随机取一点 求满足的概率 1PE 2 从A C D F G 这八个点中 随机选取两个点 记这两个点之间 的距离的平方为 求随机变量 的分布列与数学期望 19 如图 将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折 连接 AC FD 形成如图所示的多面体 且6AC 1 证明 平面 ABEF 平面 BCDE 2 求 DE 与平面 ABC 所成角的正弦值 20 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 左顶点为 左焦点为 点CxA 1 2 0F 在椭圆上 直线与椭圆交于 两点 直线 分别 2B 2 C 0ykx k CEFAEAF 与轴交于点 yMN 求椭圆的方程 C 以为直径的圆是否经过定点 若经过 求出定点的坐标 若不经过 请说明理由 MN 21 设函数 xmxxfln 2 1 2 xmxxg 1 2 求函数的单调区间 xf 当时 讨论函数与图像的交点个数 0 m xf xg 请考生在第请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 答题时请写清题号 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 答题时请写清题号 22 如图 在中 以为ABC 90ABC AB 直 径的圆交于点 点是 边的中点 OACEDBC连 接交圆于点 ODOM 求证 是圆的切线 DEO 求证 DE BCDM ACDM AB 23 在平面直角坐标系xOy中 直线的参数方程 为参数 以坐标原点为极点 x轴 1 2 2 3 2 xt yt 正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 C4cos 求直线的极坐标方程 求直线与曲线C交点的极坐标 来源 Zxxk Com 0 02 A B C D E M O 24 设函数 221 0 f xxaxa 2g xx 当时 求不等式的解集 1a f xg x 若恒成立 求实数a的取值范围 f xg x 参考答案参考答案 1 1 答案答案 B B 解析 集合 集合 所以 24 x Ax 2x x lg 1 Bx yx 1x x 1 2 故选 B AB 2 2 答案答案 C C 解析解析 则 1 2 ba 2 i ab ii43 2 2 3 3 答案答案 C C 解析 8 17 26 45 8 4 163 52 103 1 iNiNiNiN iNiNiNNi 4 答案答案 B B 解析 代入回归方程可得 259 48 xy 1 4 b 5 答案答案 C 解析 因为 所以 3117 2aaa 2 7777 40 40aaaa 或舍 又因为 777 b 4ab 2 5 97 16b bb 6 答案 A 解析解析 画出不等式组表示的平面区域 如图 三角形 ABC 表示三角形 ABC 内或边上一 2 2 2xy 点到点 0 2 之间的距离的平方 点 B 到 0 2 之间的距离的平方为 17 点 0 2 到 直线 x y 1 0 距离的平方为 故选 A 1 2 7 答案 A 解析解析 保送方法有两类 1 2 2 1 的分配方式 22 3 53 3 2 2 30 390 C C A A 2 3 1 1 的分配方式 总共 150 种 33 53 10 660C A 8 答案 C 解析 则 11 2 222 FNb FNa FNFNaba 5e 9 答案 D 解析 xxaxfcos3sin 2 3 sin3cos3sin tan f xaxax a 11 1 4 63 f xxkkZaf xf x 对称轴为 4 2 xf 112212min 52 2 2 663 xkxkxx 10 答案 C 解析 外接圆的半径 ABC 2 9 227 42 rR 2 454SR 球表 11 答案 A 解析 该几何体为如图中的三棱锥 C A1C1E EC EA1 A1C 42 5161616 三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为 2 32 表面积为 S 24 24 44 24 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 388 24 6 12 答案 C 解析 作出示意图 的图像与 x 轴有 3 个不同的交点可转化为与 2 xaxfxg xfy 有 3 个不同交点 易知直线过定点 A 2 0 斜率为 当直线 2 xay 2 xaya 与相切时是一个临界状态 设切点为 2 xay 2ln xy C 又函数过点 B 2 ln4 故 e aex xxa x a yx 1 2 2ln 2 2 1 0 00 000 e kAC 1 所以 2 2ln 4 2ln2 BC k e a 1 2 2ln 13 答案 30 解析 展开式中含含 系数为 30 30 22322332 55 xx x x 1 CyCy 52 x y 21 53 C C 14 答案 2 解析 33 AOABBOABCOABAOAC 所以 又因为 所以 所以 13 22 AOABAC AOxAByAC 13 22 xy 2xy 15 答案 2 解析 由于 6 xfxf xfxfxfxf 66612 故函数的周期为 12 把函数的图象向右平移 1 个单位 得 因此的图 xfy 1 xfy xfy 象关于对称 为奇函数 0 0 2015167 12 111111 12112ffffff 16 答案 302 解析 如图连接 在中分别应用余弦定BDBCDABD 和 理 CCDBCCDBCAADABADABBDcos2cos2 22222 整理有 1cos6cos5 CA 四边形的面积 ABCD CACCDBCAADABSSS BCDABD sin6sin5sin 2 1 sin 2 1 式 式平方相加得 36 cos 60251 2 CAS120 cos 6060 2 CAS 当时 四边形的面积取到最大值为 CAABCDS302 17 本小题满分 12 分 解 当时 1 分2n 11 45 nnn SSS 2 分 3 分 11 4 nnnn SSSS 1 4 nn aa 4 分 1 2a 2 8a 21 4aa 数列是以为首项 公比为的等比数列 5 分 n a 1 2a 4 6 分 121 242 nn n a 由 1 得 7 分 21 22 221 n n anl ogl og 21222nn Taaal ogl ogl og 1321n 8 分 121 2 nn 2 n 23 111 111 n TTT 222 111 111 23n 9 分 2222 2222 2131411 234 n n 10 分 2222 13243511 234 nn n 1 2 n n E B1 C1 A1 D C B A 令 解得 故满足条件的最大正整数的值为 12 分 1 2 n n 101 51 101 nn100 18解 1 这是一个几何概型 点 构成的区域是正方形CDA 的内部 2 24S 满 足的点 构成的平面区域是以 为圆心 1为半径的圆的内部与正方形CDA 内部的公1PE 共部分 所以的概率为 4 分 2 S 1PE 8 2 从A C D F G 这八个点中 任意选取两个点 共可构成 2 8 C28 条 不同的线段 其中长度为1的线段有8条 长度为2的线段有4条 长度为2的线段有6条 长 度为5的线段有8条 长度为2 2的线段有2条 所以 所有可能的取值为1 2 4 5 8 6 分 且 82 1 287 41 2 287 63 4 2814 82 5 287 21 8 2814 10 分 所以随机变量 的分布列为 12458 2 7 1 7 3 14 2 7 1 14 随机变量 的数学期望为 2132124 12458 77147147 12 分 19 本小题满分 12 分 证明 正六边形 ABCDEF 中 连接 AC BE 交点为 G 易知ACBE 且 3AGCG 在多面体中 由 6AC 知 222 AGCGAC 故 AGGC 2 分 又 GCBEG GC BE 平面BCDE 故AG 平面BCDE 5 分 又AG 平面 ABEF 所以平面 ABEF 平面 BCDE 6 分 2 以 G 为坐标原点 分别以 GC GE GA 所在的直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的坐标 系 由 3AGCG BG 1 3GE 则 A 0 0 3 0 1 0 3 0 0 BC 3 2 0 0 3 0 F 0 2 3DE 0 1 3AB 3 0 3AC 8 分 3 1 0 DE 设平面 ABC 的法向量为 1 nx y z 则 1 1 0 0 nAB nAC 即 30 330 yz xz 令1z 得 1 1 3 1n 所以 所以 FE 与平面 ABC 所成角的正弦值为 12 分 1 15 cos 5 DE n 15 5 20 解析解析 解法一 解法一 设椭圆的方程为 C 22 22 1 0 xy ab ab 因为椭圆的左焦点为 所以 1 分 1 2 0F 22 4ab 设椭圆的右焦点为 已知点在椭圆上 2 2 0F 22B C 由椭圆的定义知 12 2BFBFa 所以 2 分23 224 2a 所以 从而 3 分2 2a 2b 所以椭圆的方程为 4 分C 22 1 84 xy 解法二 解法二 设椭圆的方程为 C 22 22 1 0 xy ab ab 因为椭圆的左焦点为 所以 1 分 1 2 0F 22 4ab 因为点在椭圆上 所以 2 分 22B C 22 42 1 ab 由 解得 3 分2 2a 2b 所以椭圆的方程为 4 分C 22 1 84 xy 解法一 解法一 因为椭圆的左顶点为 则点的坐标为 5 分CAA 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy EF 设点 不妨设 则点 00 Exy 0 0 x 00 Fxy 联立方程组消去得 22 1 84 ykx xy y 2 2 8 12 x k 所以 则 0 2 2 2 12 x k 0 2 2 2 12 k y k 所以直线的方程为 6 分AE 2 2 2 112 k yx k 因为直线 分别与轴交于点 AEAFyMN 令得 即点 7 分0 x 2 2 2 112 k y k 2 2 2 0 112 k M k 同理可得点 8 分 2 2 2 0 112 k N k 所以 9 分 2 22 2 2 12 2 22 2 112112 k kk MN k kk 设的中点为 则点的坐标为 10 分MNPP 2 0 P k 则以为直径的圆的方程为 MN 2 2 2 xy k 2 2 2 12k k 即 11 分 22 2 2 4xyy k 令 得 即或 0y 2 4x 2x 2x 故以为直径的圆经过两定点 12 分MN 1 2 0P 2 2 0P 解法二 解法二 因为椭圆的左端点为 则点的坐标为 5 分CAA 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy EF 设点 则点 00 E xy 00 Fxy 所以直线的方程为 6 分AE 0 0 2 2 2 2 y yx x 因为直线与轴交于点 AEyM 令得 即点 7 分0 x 0 0 2 2 2 2 y y x 0 0 2 2 0 2 2 y M x 同理可得点 8 分 0 0 2 2 0 2 2 y N x 所以 000 2 0 00 2 22 216 82 22 2 yyy MN xxx 因为点在椭圆上 所以 00 E xyC 22 00 1 84 xy 所以 9 分 0 8 MN y 设的中点为 则点的坐标为 10 分MNPP 0 0 2 0 x P y 则以为直径的圆的方程为 MN 2 2 0 0 2x xy y 2 0 16 y 即 11 分 22 0 0 2 2 x xyy y 4 令 得 即或 0y 2 4x 2x 2x 故以为直径的圆经过两定点 12 分MN 1 2 0P 2 2 0P 解法三 解法三 因为椭圆的左顶点为 则点的坐标为 5 分CAA 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy EF 设点 则点 2 2cos 2sinE 0 2 2cos 2sinF 所以直线的方程为 6 分AE 2sin 2 2 2 2cos2 2 yx 因为直线与轴交于点 AEyM 令得 即点 7 分0 x 2sin cos1 y 2sin 0 cos1 M 同理可得点 8 分 2sin 0 cos1 N 所以 9 分 2sin2sin4 cos1cos1sin MN 设的中点为 则点的坐标为 10 分MNPP 2cos 0 sin P 则以为直径的圆的方程为 MN 2 2 2cos sin xy 2 4 sin 即 11 分 22 4cos 4 sin xyy 令 得 即或 0y 2 4x 2x 2x 故以为直径的圆经过两定点 12 分MN 1 2 0P 2 2 0P 21 本小题满分 12 分 解 函数的定义域为 f x 0 2 xm fx x 当时 所以函数的单调增区间是 无减区间 0m 0fx f x 0 2 分 当时 当时 函数的单调递减 0m xmxm fx x 0 xm 0fx f x 当时 函数的单调递增 xm 0fx f x 综上 当时 函数的单调增区间是 无减区间 当时 函数0m f x 0 0m 的单调增区间是 减区间是 4 分 f x m 0 m 解 令 问题等价于求函数的零点个 2 1 1 ln 0 2 F xf xg xxmxmx x F x 数 5 分 当时 有唯一零点 当时 0m 2 1 0 2 F xxx x 0m 1 xxm F x x 当时 函数为减函数 注意到 1m 0F x F x 3 1 0 2 F 4 ln40F 所以有唯一零点 7 分 F x 当时 或时 时 1m 01x xm 0F x 1xm 0F x 所以函数在和单调递减 在单调递增 注意到 来源 Zxxk Com F x 0 1 m 1 m 1 1 0 2 Fm 所以有唯一零点 9 分 22 ln 22 0Fmmm F x 当时 或时 时 01m 0 xm 1x 0F x 1mx 0F x 所以函数在和单调递减 在单调递增 意到 F x 0 m 1 1 mln0m 所以 而 22ln 0 2 m F mmm 22 ln 22 0Fmmm 所以有唯一零点 11 分 F x 综上 函数有唯一零点 即两函数图象总有一个交点 12 分 F x 22 本小题满分 10 分 解 1 连结 点是中点 点是中点 OEDBCOAB ACOD 2 1 ABOD AEOEOD OEOA AEOA EODBOD 在和中 EOD