单元综合测试导数及其应用.doc

1 北大附中北大附中 20132013 届高三数学一轮复习单元综合测试 导数及其应用届高三数学一轮复习单元综合测试 导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 曲线y 在点M 0 处的切线的斜率为 sinx sinx cosx 1 2 4 A B 1 2 1 2 C D 2 2 2 2 答案 B 2 已知 2 3 1 f xxxf 则 1 f为 A 2B 1C 0D 1 答案 B 3 若函数 3 3f xxx 在区间 2 12 aa 上有最小值 则实数a的取值范围是 A 1 11 B 1 4 C 1 2 D 1 2 答案 C 4 已知函数1 23 xaxxxf在 上是单调函数 则实数的取值范围是 A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 答案 B 5 设函数 其中 则导数的取值范 围是 A B C D 答案 D 6 对正整数n 设曲线 1 xxy n 在2x 处的切线与y轴交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n a n 的前n项和的公式是 A 2nB 22 n C 1 2n D 1 22 n 答案 D 7 设函数 2 f xaxbxc a b cR 若 1x 为函数 2 f x e 的一个极值点 则下 2 列图象不可能为 yf x 的图象是 答案 D 8 若对任意 x R R 3 4fxx f 1 1 则 f x 是 A 4 f xx B 4 2f xx C 3 45f xx D 4 2f xx 答案 B 9 函数 0 3 3 abaxxxf的极大值为 6 极小值为 2 则 xf的减区间是 A 1 1 B 0 1 C 1 0 D 2 1 答案 A 10 函数 xfy 在一点的导数值为0是函数 xfy 在这点取极值的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件 答案 D 11 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 1 3 A 13 万件B 11 万件 C 9 万件D 7 万件 答案 C 12 已知二次函数 f x的图象如下图所示 则其导函数f x的图象的大致形状是 答案 C 3 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 某日中午12时整 甲船自A处以16 km h的速度向正东行驶 乙船自A的正北km18处 以16 km h的速度向正南行驶 则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是 答案 1 6 14 设P为曲线C y x2 x 1 上一点 曲线C在点P处的切线的斜率的范围是 1 3 则 点P纵坐标的取值范围是 答案 3 4 3 15 已知函数qxpxxxfy 23 的图象与x轴切于非原点的一点 且4 极小 y 那么 p q 答案 6 9 16 若函数axaxf x a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 答案 1 4 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 f x 2 47 2 x x 0 1x 1 求函数 f x的单调区间和值域 2 设1a 函数 g x 22 32xa xa 0 1x 若对于任意 1 0 1x 总存在 0 0 1x 使 01 g xf x 成立 求实数a的取值范围 答案 1 2 2 4167 0 2 xx fx x 17 22 x 且2x 0 1x f x的增区间 1 1 2 减区间 1 0 2 7 0 2 f 13f 1 4 2 f f x的值域 4 3 2 2 23gxxa 1a 0gx 0 1x g x在 0 1x 上是减函数 值域为 2 1 32 2aaa 由题意使 10 f xg x 需 4 3 2 1 32 2aaa 18 已知函数 xf是定义在实数集 R 上的奇函数 当x 0 时 lnRaxaxxf 其中 1 已知函数 xf的解析式 2 若函数 xf在区间 1 上是单调减函数 求 a 的取值范围 3 试证明对 1 1 1 e fef feRa 使存在 答案 1 0 0 f 0 x时 ln xaxxfxf 所以 0 ln 0 0 0 ln xxax x xxax xf 2 函数 xf是奇函数 则 xf在区间 1 上单调递减 当且仅当 xf在区间 1 上单 5 调递减 当0 x时 x axfxaxxf 1 ln 由 x axf 1 0 得a xx 1 1 在区间 1 的取值范围为 0 1 所以 a 的取值范围为 1 3 1 1 1 1 1 1 e a e qe e fef 解 1 11 e aaf 得 11 分 因为 1 e 1 e 所以1 e 为所求 19 已知函数 2 2 x x xx e f xg x ee 求函数 f x的极值 求证 当1x 时 f xg x 如果 21 xx 且 12 f xf x 求证 12 2 f xfx 答案 f x x x e fx 1 x x e 令 fx 0 解得1x x 1 1 1 fx 0 f x 极大值 e 1 当1x 时 f x取得极大值 1 f 1 e 证明 2 2 x x xx e F xf xg x ee 令 则 F x 22 22 1 1 1 xx xx xexx ee eee 当1x 时 1x 0 2x 2 从而 22x ee 0 F x 0 F x在 1 是增函数 11 1 0 1 F xFxf xg x ee 故当时 证明 f x在 1 内是增函数 在 1 内是减函数 6 当 12 xx 且 12 f xf x 时 1 x 2 x不可能在同一单调区间内 12 1xx 由 的结论知1x 时 F xf xg x 0 22 f xg x 12 f xf x 12 f xg x 又 22 2 g xfx 12 2 f xfx 20 已知函数 2 ln a f xxa x R 1 若函数 f x 在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若函数 f x 在 1 e上的最小值为 3 求实数a的值 答案 1 2 ln a f xx x 2 12 a fx xx f x 在 2 上是增函数 2 12 a fx xx 0 在 2 上恒成立 即a 2 x 在 2 上恒成立 令 2 x g x 则a min 2 g xx 2 x g x 在 2 上是增函数 min 2 1g xg a 1 所以实数a的取值范围为 1 2 由 1 得 2 2 xa fx x 1 xe 若2 1a 则 20 xa 即 0fx 在 1 e上恒成立 此时 f x 在 1 e上是增函数 所以 min 1 23f xfa 解得 3 2 a 舍去 若1 2ae 令 0fx 得 2xa 当1 2xa 时 0fx 所以 f x 在 1 2 a 上是减函数 7 当2a xe 时 0fx 所以 f x 在 2 a e 上是增函数 所以 min 2ln 2 13f xfaa 解得 2 2 e a 舍去 若2a e 则 20 xa 即 0fx 在 1 e上恒成立 此时 f x 在 1 e上是减函 数 所以 min 2 13 a f xf e e 所以a e 综上所述 a e 21 已知函数 f x x3 ax g x 2x2 b 它们的图象在 x 1 处有相同的切线 1 求函数 f x 和 g x 的解析式 2 如果 F x f x mg x 在区间 1 2 3 上是单调增函数 求实数 m 的取值范围 答案 1 f x 3x2 a g x 4x 由条件知 f 1g 1 f 1g 1 1a2b 3a4 a 1 b0 f x x3 x g x 2x2 2 F x f x mg x x3 x 2mx2 F x 3x2 4mx 1 若 F x 在区间 1 2 3 上为增函数 则需 F x 0 即 3x2 4mx 1 0 在 1 2 3 上恒 成立 m 2 3x1 4x 在 1 2 3 上恒成立 令 h x 2 3x1 4x x 1 2 3 则 h x 2 3x1 4x 31 x 44x 由基本不等式可得 当且仅 当 31 x 44x 即 x 3 3 时 h x 取得最小值 则 h x 在区间 1 2 3 上的最小值是 h 3 3 3 2 因此 实数 m 的取值范围是 m 3 2 8 22 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与利率的平方成正比 比例系数为 0 k k 且知当利率为 0 012 时 存款量为 1 44 亿 又贷款的利率为4 8 时 银行吸收 的存款能全部放贷出去 若设存款的利率为x 0 0 048 x 则当x为多少时 银行可获 得最大收益 提示 银行收益 贷款获得利润 银行支付的利息 答案 由题意知 存款量 2 f xkx 当利率为 0 012 时 存款量为 1 44 亿 即0 012x 时 1 44y 由 2 1 44 0 012 k 得10000k 故 2 10000f xx 银行应支付的利息 3 10000g x