二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题

二次函数的实际应用二次函数的实际应用 最大最大 小小 值问题值问题 知识要点 知识要点 二次函数的一般式 化成顶点式 cbxaxy 2 0 a a bac a b xay 4 4 2 2 2 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即当时 函数有最小值 并且当 0 a a b x 2 a bac y 4 4 2 最小值 当时 函数有最大值 并且当 0 a a b x 2 a bac y 4 4 2 最大值 如果自变量的取值范围是 如果顶点在自变量的取值范围内 21 xxx 21 xxx 则当 如果顶点不在此范围内 则需考虑函数在自变量的取 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 值范围内的增减性 如果在此范围内随的增大而增大 则当时 yx 2 xx 当时 cbxaxy 2 2 2最大1 xx cbxaxy 1 2 1最小 如果在此范围内随的增大而减小 则当时 当yx 1 xx cbxaxy 1 2 1最大 时 2 xx cbxaxy 2 2 2最小 二次函数极值问题二次函数极值问题 1 1 二次函数二次函数中 中 且 且时时 则 则 2 yaxbxc 2 bac 0 x 4y A A B B C C D D 4y 大大 4y 大大 3y 大大 3y 大大 2 2 已知二次函数已知二次函数 当 当 x x 时 函数达到最小值 时 函数达到最小值 22 3 1 xxy 3 3 若一次函数若一次函数的图像过第一 三 四象限的图像过第一 三 四象限 则函数则函数 A A 最大值最大值B B 最大值最大值C C 最小值最小值D D 有最小值有最小值 4 4 若二次函数若二次函数的值恒为正值的值恒为正值 则则 2 ya xhk A A B B C C D D 0 0ak 0 0ah 0 0ak 0 0ak 5 5 函数函数 当 当 2 X 4 2 X 4 时函数的最大值为时函数的最大值为 9 2 xy 6 6 若函数若函数 当 当函数值有最函数值有最32 2 xxy24 x 值为值为 二次函数应用利润问题二次函数应用利润问题 类型一类型一 1 1 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果 物价部门规定每箱售价不得高于 55 元 市 场调查发现 若每箱以 50 元的价格调查 平均每天销售 90 箱 价格每提高 1 元 平均每 天少销售 3 箱 1 求平均每天销售量 箱 与销售价 元 箱 之间的函数关系式 3 分 y x 2 求该批发商平均每天的销售利润 元 与销售价 元 箱 之间的函数关系 wx 式 3 分 3 当每箱苹果的销售价为多少元时 可以获得最大利润 最大利润是多少 4 分 2 有一种螃蟹 从海上捕获后不放养 最多只能存活两天 如果放养在塘内 可以延长存 活时间 但每天也有一定数量的蟹死去 假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变 现 有一经销商 按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内 此时市场价为每千克 30 元 据测算 此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元 但是 放养一天需支出各种费用为 400 元 且平均每天还有 10 kg 蟹死去 假定死蟹均于当天全部销售出 售价都是每千克 20 元 1 设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元 写出 p 关于 x 的函数关系式 2 如果放养 x 天后将活蟹一次性出售 并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元 写出 Q 关 于 x 的函数关系式 3 该经销商将这批蟹放养多少天后出售 可获最大利润 利润 Q 收购总额 类型二类型二 1 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展 对花木的需求量逐年提高 某园林专业户计 划投资种植花卉及树木 根据市场调查与预测 种植树木的利润与投资量成正比例关 1 yx 系 如图 12 所示 种植花卉的利润与投资量成二次函数关系 如图 12 所示 注 2 yx 利润与投资量的 单位 万元 1 分别求出利润与关于投资量的函数关系式 1 y 2 yx 2 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木 他至少获得多少利润 他能获取 的最大利润是多少 变试题 1 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售 在对历年市场行情和生 产情况进行调查的基础上 对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测 提 供了两个方面的信息 如图所示 注 两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月 份的售价和成本 生产成本 6 月份最低 图甲的图像是线段 图乙的图像是抛物线 请你根据图像提供的信息说明 1 在 3 月份出售这种蔬菜 每千克的收益是多少元 收益 售价 成本 2 哪个月出售这种蔬菜 每千克的收益最大 说明理由 3 已知市场部销售该种蔬菜 4 5 两个月的总收益为 48 万元 且 5 月份的销量比 4 月份 的销量多 2 万公斤 求 4 5 两个月销量各多少万公斤 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 元 与产品的日销售量 件 之间xy 的关系如下表 若日销售量是销售价的一次函数 yx x 元 152030 y 件 252010 求出日销售量 件 与销售价 元 的函数关系式 yx 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是 多少元 类型三类型三 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神 最近 州委州政府又出台了 一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农副产品 已 知这种产品的成本价为 20 元 千克 市场调查发现 该产品每天的销售量 千克 与销 售价 元 千克 有如下关系 2 80 设这种产品每天的销售利润为 元 1 求 与 之间的函数关系式 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 千克 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少元 变式题 1 市 健益 超市购进一批 20 元 千克的绿色食品 如果以 30 元 千克销售 那么 每天可售出 400 千克 由销售经验知 每天销售量 千克 与销售单价 元 yx 存在如下图所示的一次函数关系式 30 x 试求出与的函数关系式 yx 设 健益 超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元 当销售单价为 何值时 每天可获得最大利润 最大利润是多少 根据市场调查 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元 现该 超市经理要求每天利润不得低于 4180 元 请你帮助该超市确定绿色 食品销售单价的范围 直接写出答案 x 2 我区某工艺厂为迎接建国 60 周年 设计了一款成本为 20 元 件的工艺品投放市场进 行试销 经过调查 其中工艺品的销售单价 元 件 x 与每天销售量 件 之间满足如图 3 4 14 所示关系 y 1 请根据图象直接写出当销售单价定为 30 元和 40 元时相应的日销售量 2 试求出与之间的函数关系式 y x 若物价部门规定 该工艺品销售单价最高不能超过 45 元 件 那么销售单价定为多少时 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总价 成本总价 类型四 为了扶持大学生自主创业 市政府提供了 80 万元无息贷款 用于某大学生开办公司生产并 销售自主研发的一种电子产品 并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款 已知该产 品的生产成本为每件 40 元 员工每人每月的工资为 2500 元 公司每月需支付其它费用 15 万元 该产品每月销售量y 万件 与销售单价x 元 之间的函数关系如图所示 1 求月销售量y 万件 与销售单价x 元 之间的函数关系式 2 当销售单价定为 50 元时 为保证公司月利润达到 5 万元 利润 销售额 生产成本 员工工资 其它费用 该公司可安排员工多少人 3 若该公司有 80 名员工 则该公司最早可在几个月后还清无息贷款 变式题 大学毕业生响应国家 自主创业 的号召 投资开办了一个装饰品商店 该店采 购进一种今年新上市的饰品进行了 30 天的试销售 购进价格为 20 元 件 销售结束后 得知日销售量 P 件 与销售时间 x 天 之间有如下关系 P 2x 80 1 x 30 且 x 为整数 又知前 20 天的销售价格 元 件 与销售时间 x 天 之间有如下关系 1 Q 1 1 Q30 2 x 1 x 20 且 x 为整数 后 10 天的销售价格 元 件 与销售时间 x 天 之间有如下 2 Q 关系 45 21 x 30 且 x 为整数 2 Q 1 试写出该商店前 20 天的日销售利润 元 和后 l0 天的日销售利润 元 分别 1 R 2 R 与销售时间 x 天 之间的函数关系式 2 请问在这 30 天的试销售中 哪一天的日销售利润最大 并求出这个最大利润 注 销售利润 销售收入一购进成本 4 2 1 406080 x 元 万件 y O 类型五 青青商场经销甲 乙两种商品 甲种商品每件进价 15 元 售价 20 元 乙种商品每件进价 35 元 售价 45 元 1 若该商场同时购进甲 乙两种商品共 100 件恰好用去 2700 元 求能购进甲 乙两种 商品各多少件 2 该商场为使甲 乙两种商品共 100 件的总利润 利润 售价进价 不少于 750 元 且不超过 760 元 请你帮助该商场设计相应的进货方案 那种进货方案花钱最少 那种进 货方案获利最大 3 在 五 一 黄金周期间 该商场对甲 乙两种商品进行如下优惠促销活动 打折前一次性购物总金额优惠措施 不超过 300 元不优惠 超过 300 元且不超过 400 元售价打九折 超过 400 元售价打八折 按上述优惠条件 若小王第一天只购买甲种商品一次性付款 200 元 第二天只购买乙种商 品打折后一次性付款 324 元 那么这两天他在该商场购买甲 乙两种商品一共多少件 通过计算求出所有符合要求的结果 变式题 我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A B C 三种脐橙共 100 吨到外地销售 按计划 20 辆汽车都要装运 每辆汽车只能装运同一种脐橙 且必须装满 根据下表提供的信息 解答以下问题 脐 橙 品 种ABC 每辆汽车运载量 吨 654 每吨脐橙获得 百元 121610 1 设装运 A 种脐橙的车辆数为x 装运 B 种脐橙的车辆数为y 求y与x之间的 函数关系式 2 如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆 那么车辆的安排方案有几种 并写出 每种安排方案 那种方案获得利润最大 最大利润是多少 2 义洁中学计划从荣威公司购买 A B 两种型号的小黑板 经洽谈 购买一块 A 型小黑板 比买一块 B 型小黑板多用 20 元 且购买 5 块 A 型小黑板和 4 块 B 型小黑板共需 820 元 1 求购买一块 A 型小黑板 一块 B 型小黑板各需要多少元 2 根据义洁中学实际情况 需从荣威公司购买 A B 两种型号的小黑板共 60 块 要求 购买 A B 两种型号小黑板的总费用不超过 5240 元 并且购买 A 型小黑板的数量应大于 购买 A B 种型号小黑板总数量的三分之一 请你通过计算 求出义洁中学从荣威公司购买 A B 两种型号的小黑板有哪几种方案 课后练习课后练习 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住 当每个房间的定价为每天 200 元时 房间可以住 满 当每个房间每天的定价每增加 10 元时 就会有一个房间空闲 对有游客入住的房间 宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加元 求 x 1 房间每天的入住量 间 关于 元 的函数关系式 yx 2 该宾馆每天的房间收费 元 关于 元 的函数关系式 zx 3 该宾馆客房部每天的利润 元 关于 元 的函数关系式 当每个房间的定价wx 为每天多少元时 有最大值 最大值是多少 w 红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元 经过市场调研发现 这种商品在未来 40 天内的日销售量 m 件 与时间 t 天 的关系如下表 时间 t 天 1361036 日销售量 m 件 9490847624 未来 40 天内 前 20 天每天的价格 y1 元 件 与时间 t 天 的函数关系式为 且 t 为整数 后 20 天每天的价格 y2 元 件 与时间 t 天 的25t 4 1 y1 20t1 函数关系式为 且 t 为整数 下面我们就来研究销售这种商40t 2 1 y2 40t21 品的有关问题 1 认真分析上表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定 一个满足这些数据的 m 件 与 t 天 之间的关系式 2 请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大 最大日销售利润是多少 3 在实际销售的前 20 天中 该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润 a 4 给希 望工程 公司通过销售记录发现 前 20 天中 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 天 的增大而增大 求 a 的取值范围 在 2012 年年青岛崂山北宅樱桃节前夕 某果品批发公司为指导今年的樱桃销售 对往 年的市场销售情况进行了调查统计 得到如下数据 销售价 x 元 千克 25 24 23 22 销售量 y 千克 200 0 250 0 300 0 350 0 1 在如图的直角坐标系内 作出各组有序数对 x y 所对应的点 连接各点 并观察所得的图形 判断 y 与 x 之间的函数关系 并求出 y 与 x 之间的函数关系式 2 若樱桃进价为 13 元 千克 试求销售利润 P 元 与销售价 x 元 千克 之 间的函数关系式 并求出当 x 取何值时 P 的值最大 我州有一种可食用的野生菌 上市时 外商李经理按市场价格 20 元 千克收购了这种野生 菌 1000 千克存放入冷库中 据预测 该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元 但冷 x 元 50 1200 800 y 亩 O x 元 100 3000 2700 z 元 O 冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计 310 元 而且这类野生菌在冷库中最多保 存 160 元 同时 平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售 1 设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元 试写出y与x之间的函数关系式 2 若存放x天后 将这批野生菌一次性出售 设这批野生菌的销售总额为P元 试写 出P与x之间的函数关系式 3 李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元 利润 销售总额 收购成本 各种费用 某市种植某种绿色蔬菜 全部用来出口 为了扩大出口规模 该市决定对这种蔬菜的种植 实行政府补贴 规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元 经调查 种植亩数 亩 与补贴数额 元 之间大致满足如图 3 4 13 所示的一次函数关系 随着补贴yx 数额的不断增大 出